课时分层作业(十六) 双曲线的标准方程
一、选择题
1．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A．＝1 B．＝1(x≥4)
C．＝1 D．＝1(x≥3)
2．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
3．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A． B．
C． D．
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于( )
A． B．
C． D．
5．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6．若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5．若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．
8．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)已知双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)，F2(5，0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程．
10．已知双曲线＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．
11．(多选题)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为π，则双曲线C的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．＝1 D．＝1
12．(多选题)已知方程＝1表示的曲线为C．给出以下判断，正确的是( )
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
13．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，则|AB|＝________；若三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C，则点C的轨迹方程为________．
14．过双曲线＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
15．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
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1．D ［由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴M点的轨迹方程为＝1(x3)．］
2．C ［由得(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C．］
3．D ［因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2，0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3．又因为A(1，3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝．故选D．］
4．C ［双曲线的方程为＝1，所以a＝b＝，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝2，所以根据余弦定理，得cos∠F1PF2＝．］
5．B ［∵||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4＋2|PF1||PF2|，由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|·cos 60°，又∵a＝1，b＝1，∴c＝，∴|F1F2|＝2c＝2，∴4＋2|PF1||PF2|－8＝|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4，设P到x轴的距离为|y0|，|PF1||PF2|sin 60°
＝|F1F2||y0|，∴|y0|，∴y0＝．］
6．(－3，2)∪(3，＋∞) ［依题意有解得－33．所以实数m的取值范围是(－3，2)∪(3，＋∞)．］
7．26 ［根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8．∴|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21．所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．］
8．x2－＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，所以所以双曲线的标准方程为x2－＝1．］
9．解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)．又c＝5，a＝3，故b2＝52－32＝16．因此，所求双曲线的标准方程为
＝1．
10．解：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(不妨设r1>r2)，θ＝∠F1MF2，因为r1r2sin θ，θ已知，所以只要求r1r2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r1r2．
(1)当θ＝90°时，r1r2．由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，由双曲线定义，得|r1－r2|＝2a＝4，两边平方，得－2r1r2＝16，又＝|F1F2|2，即|F1F2|2－4＝16，也即52－16＝4＝9．
(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，|F1F2|2＝－2r1r2cos 120°＝(r1－r2)2＋3r1r2＝52，所以r1r2＝12，求得．同理，可求得若∠F1MF2＝60°，．
(3)由以上结果可见，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
证明如下：
由双曲线定义及余弦定理，得
②－①，得r1r2＝，所以．
因为0<θ<π，所以0<，在是增函数．因此当θ增大时，减小．即随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
11．AB ［四边形 A1PA2Q 的面积为2，∴4×，得ab＝，
记四边形 A1PA2Q 内切圆半径为r，则2πr＝．∴2cr＝2，又∵c2＝a2＋b2＝3，得∴C的方程为＝1．］
12．BCD ［A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴14．］
13．4 x2－＋y2＝1．∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2，0)，B(2，0)，|AB|＝4．又∵sin B－sin A＝sin C，∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．］
14．
，
所以y＝．又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，所以|AF2|＝24＋．
即所求距离分别为．］
15．解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，半径为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，∴||MP|－|FP||的最大值为2．
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