课时分层作业(十八)
1．B ［当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故选B．］
2．D ［y2＝2px的焦点为，而椭圆的右焦点为(2，0)，由＝2得p＝4．故选D．］
3．C ［抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0)．从而kAF＝．］
4．D ［如图，由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∵△FPM是等边三角形，
∴S△PMF＝．故选D．］
5．C ［依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知，欲求从M到A，B修建公路的最低费用，只需求出B到直线l的距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，∴B到点A的水平距离为3 km，
∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，那么修建这条公路的总费用最低为5a万元，故选C．］
6．4 ［抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4．］
7．2 ［设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋＝3，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，∵M(2，y0)在抛物线上，∴＝8，∴|OM|＝．］
8．6 ［因为＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．］
9．解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0)．由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．所以，所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44，0)．
10．解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2．
解方程组所以N．
11．ACD ［抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，A满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋
，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线y2＝10x的有ACD．］
12．C ［过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M'，D，如图所示，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，∵M为AB的中点，且|MM'|＝6，
∴|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝12．］
13．y2＝4x 3 ［椭圆＝1，∴p＝2．所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．由抛物线的方程为y2＝4x，可得焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，∵＝x1·x3，且log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，∴log2＝3，解得x2＝2，∴|P2F|＝x2－(－1)＝3．］
14．y2＝12x ［如图所示，过点M作MD垂直于抛物线的准线，垂足为D，交直线x＝于C，
∴sin∠MFA＝，由抛物线定义可得MF＝MD，∴，即5x0＋p，∴x0＝3p．∵点M(x0，6是抛物线上一点，∴(6)2＝2px0，即36×6＝6p2，∴p＝6，得y2＝12x．］
15．解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(9，－8)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．∵B点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，∴p＝，∴抛物线的方程为x2＝－y．当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6．∴|DE|不超过6 m才能使货船通过拱桥．
3 / 3课时分层作业(十八) 抛物线的标准方程
一、选择题
1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
3．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用(单位：万元)最低是( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
二、填空题
6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于________．
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则||＋||＋||＝________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图2．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
10．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程y2＝10x的有( )
A．焦点在x轴上
B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
C．焦点到准线的距离为5
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为( )
A．6 B．9
C．12 D．无法确定
13．已知抛物线C的焦点F与椭圆＝1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为_______________．若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且＝x1·x3，又log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，则|P2F|＝________．
14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，点M(x0，6)是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝交于A，B两点(A在B的上方)，若sin ∠MFA＝，则抛物线C的方程为____________．
15．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF．
若|CD|＝9 m，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
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