课时分层作业(十七) 双曲线的几何性质
一、选择题
1．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
2．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
5．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A． B．3
C．2 D．4
二、填空题
6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________．
7．已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为_________________．
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
10．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2，0)，离心率e＝2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
11．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是( )
A．有相同的焦点 B．有相同的焦距
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
12．设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
13．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于________．
14．已知椭圆＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝________的值为________．
15．已知椭圆C1：＋y2＝1的左右顶点是双曲线C2：＝1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且·＝－5，求|M1M2|的取值范围．
1 / 3课时分层作业(十七)
1．C ［由题意得双曲线的离心率e＝．即e2＝．∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋．故选C．］
2．A ［双曲线C的渐近线方程为＝0，即a2＝4b2，①
又a2＋b2＝c2＝25，②
由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为＝1，故选A．］
3．A ［设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝．］
4．B ［因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B．］
5．B ［根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2，0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，分别与两条渐近线y＝x联立，求得M(3，，所以|MN|＝＝3．］
6．2 y＝±
x．］
7．44 ［由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16．由左焦点F(－5，0)，且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44．］
8．x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝<2，∴点(4，x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．］
9．解：(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，因为＝12．故所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为．①
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以＝1．②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，则． ③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1． ④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32．∴所求双曲线的标准方程为＝1．
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．∴所求双曲线的标准方程为＝1．
10．解：(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝．所以所求双曲线方程为x2－＝1．
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立
整理得2x2－2mx－m2－3＝0．(*)设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝，所以线段MN的垂直平分线的方程为y－，即x＋y－2m＝0，与坐标轴的交点分别为(0，2m)，(2m，0)，可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±．
11．BD ［两方程均化为标准方程为
，故C错误．］
12．D ［结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得＝9，因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×
<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D．］
13．
．］
14． ［因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得解得又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝．］
15．解：(1)由椭圆C1：
可得b＝1，所以双曲线C2的方程为－y2＝1．
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，代入－y2＝1，消去y并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，要与C2相交于两点，则应有 ，①
设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1·x2＝－．又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，又［(1＋k2)·(－3m2－3)＋6k2m2＋m2(1－3k2)］＝－5，整理得m2＝1－9k2，②
将y＝kx＋m，代入＋y2＝1，消去y并整理得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
要有两交点，则Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0 3k2＋1>m2，③
由①②③得0，又m2＝1－9k2，代入得|M1M2|＝＝
12，令t＝k2，则t∈，令f(t)＝内单调递增，故f(t)∈，则有|M1M2|∈(0，］．
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