课时分层作业(十九) 抛物线的几何性质
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2 B．1
C．4 D．8
2．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝( )
A．1∶4 B．1∶2
C．2∶5 D．3∶8
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝3x B．y2＝5x
C．y2＝7x D．y2＝8x
4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，|BF|满足|AF|＋|BF|＝8，则k＝( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
三、解答题
9．已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－3)2＋y2＝4，F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于点D，点D是线段AB的中点．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求△OAB的面积．
10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．(多选题)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p，0)，若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
12．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( )
A．－ B．
C．± D．
13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________．
14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．
15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．课时分层作业(十九)
1．C ［抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的准线的距离等于4，故选C．］
2．C ［将点A(2，4)代入y2＝2px，得p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，已知B(8，－8)，∴．］
3．A ［可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F
＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p．①
由
．∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x．］
4．B ［设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2．由得x2－4x＋1＝0，Δ>0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．∴|AB|＝＝．］
5．C ［设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，易知k≠0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0，解得k>－1且k≠0，x1＋x2＝．由|AF|＝x1＋＝x2＋2，且|AF|＋|BF|＝8，即x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1且k≠0，故k＝2．］
6．0或1 ［当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．］
7．(3，2) ［设直线被抛物线截得的线段的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝2．∴所求点的坐标为(3，2)．］
8． ［设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0．由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，即直线方程为x－y＋1＝0，直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝．即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为．］
9．解：(1)因为抛物线C1：y2＝4x，所以抛物线的准线方程为x＝－1．
(2)当直线AB的斜率不存在时，D与F重合，不符合题意．易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)，联立直线与抛物线的方程，即可得y2－4my－4＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，故x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，所以D(2m2＋1，2m)，将D点坐标代入圆方程可得(m2－1)2＋m2＝1，解得m＝±1，根据抛物线的对称性，不妨设m＝1，联立方程可得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8，又点O到直线AB的距离为d＝，故S△OAB＝．
10．证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， ①
点A的坐标为(y0≠0)，则直线OA的方程为y＝x， ②
抛物线的准线方程是x＝－． ③
联立②③，可得点D的纵坐标为－．因为焦点F的坐标是． ④
联立①④，消去x，可得y0y2－(－p2)y－y0p2＝0，即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．当＝p2时，易知结论成立．所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．ACD ［选项A：设FM中点为N，则xA＝xN＝．故A正确．
选项B：．故B错误．选项C：|AB|＝p>2p＝4|OF|．故C正确．选项D：由选项A，B知A，所以p2<0，所以∠AOB为钝角；又p2<0，所以∠AMB为钝角；所以∠OAM＋∠OBM<180°．故D正确．
故选ACD．］
12．A ［将y＝1代入y2＝4x，得x＝
，故选A．］
13．y2＝8x 2 ［由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－
消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0．由k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0．又＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2．］
14．(x＋1)2＋(y－)2＝1 ［由y2＝4x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1．
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°．又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝．所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1．］
15．解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋．由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2．所以抛物线E的方程为y2＝4x．
(2)证明：法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．由A(2，2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B．又G(－1，0)，所以kGA＝，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2)．由A(2，2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B．又G(－1，0)，故直线GA的方程为2＝0，从而r＝．又直线GB的方程为2＝0，所以点F到直线GB的距离d＝＝r．这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
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