课时分层作业(二十) 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是( )
A．an＝1＋(－1)n+1 B．an＝1－(－1)n
C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cos nπ
2．已知数列－1，，…，(－1)n，…，则它的第5项为( )
A． B．－ C． D．－
3．在数列－1，0，，…中，0.08是它的( )
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．103 B．108
C．103 D．108
5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于( )
A．20 B．28
C．0 D．12
二、填空题
6．已知数列，…，则它的第10项是________．
7．已知数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)写出下面各数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…
(2)1，2，4，8，…
(3)9，99，999，9 999，…
10．已知数列．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．
11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是( )
A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
12．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为( )
A． B．5
C．6 D．
13．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点．
(1) (2) (3)
(4) (5)
14．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
图1 图2
15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？课时分层作业(二十)
1．C ［经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．］
2．D ［易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·．］
3．C ［∵an＝(舍去)．］
4．D ［把an＝－2n2＋29n＋3看成二次函数，对称轴为n＝，∵n∈N*，∴n＝7时a7最大，最大项的值是a7＝－2×72＋29×7＋3＝108．故选D．］
5．A ［a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20．］
6．．］
7．9 ［由an＝19－2n>0，得n<．∵n∈N*，∴n9．］
8．2 ［∴a2－a＝2，∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1．
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2．］
9．解：(1)观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1；
(2)这个数列的前4项可以写成20，21，22，23，所以它的一个通项公式为an＝2n-1；
(3)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式为an＝10n－1．
10．解：设f(n)＝＝．
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝．
(2)令，得9n＝300．
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝，又n∈N*，∴0<<1，∴0
即数列中的各项都在区间(0，1)内．
11．BCD ［结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．］
12．B ［a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝×…×＝log232＝log225＝5．］
13．21 n2－n＋1 ［观察图形可知，第5个图形有5×4＋1＝21个点，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．］
14．2 ［因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi+1，(i＝1，2，3，…)为直角三角形，∴OA2＝．］
15．解：(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列｛an｝中的第21项．令an＝1，得＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列｛an｝中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an+1，则有an＝an+1，即．解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
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