课时分层作业(二十一) 数列的递推公式
一、选择题
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n2
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是( )
A． B． C． D．6
3．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 025＝( )
A．6 B．－6
C．3 D．－3
4．在1，2，3，…，2 025这2 025个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则a50＝( )
A．289 B．295
C．301 D．307
5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n2时，an＝若an＝，则n的值等于( )
A．7 B．8
C．9 D．10
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a5为________．
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为________．
8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋(n2)，写出这个数列的前5项．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
11．(多选题)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，n∈N*，则下列说法正确的是( )
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 024＋a2 025＝1
D．a2 024＋a2 025＝
12．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用an表示解下n(n9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，满足a1＝1，且an＝则解下4个圆环所需的最少移动次数为 ( )
A．7 B．10
C．12 D．22
13．数列{(25－2n)2n-1}的第4项是________，最大项所在的项数为________．
14．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有ana6成立，求a的取值范围．
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1．B ［由题可知an－an-1＝n(n2)．］
2．B ［由an+1＝．故选B．］
3．C ［a1＝3，a2＝6，an+2＝an+1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴此数列周期为6，即an+6＝an．∴a2 025＝a6×337+3＝a3＝3．
所以C选项是正确的．］
4．B ［由题意可知an－1即是2的倍数，又是3的倍数，即an－1是6的倍数，则an－1＝6(n－1)(n∈N*)，所以an＝6n－5，所以a50＝50×6－5＝295．］
5．C ［因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝，所以n＝9．］
6．47 ［由a1＝2，an+1＝2an＋1，得a2＝2a1＋1＝5，a3＝2a2＋1＝11，a4＝2a3＋1＝23，a5＝2a4＋1＝47．］
7．an＝3n－1 ［因为a1＝2，an+1－an－3＝0，
所以an－an-1＝3，
an-1－an-2＝3，
an-2－an-3＝3，
…
a2－a1＝3，
以上各式相加，则有an－a1＝(n－1)×3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1．］
8．，a3－a2＝，…，a10－a9＝．
法二：由an+1＝an＋．］
9．解：由题意可知a1＝1，
a2＝1＋＝2，
a3＝1＋，
a4＝1＋，
a5＝1＋．
10．解：假设第n项an为最大项，则(n2，且n∈N*)
即解得即4n5，所以n＝4或5，故数列｛an｝中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝．
11．BC ［a2＝f；
a3＝f；
a4＝f；
a5＝f；
a6＝f；
…
∴从a3开始数列｛an｝是以3为周期的周期数列，但数列｛an｝并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 024＋a2 025＝a5＋a3＝1．∴C正确，D错误．故选BC．］
12．A ［由题意知a2＝2a1－1＝2×1－1＝1，a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，a4＝2a3－1＝2×4－1＝7，故选A．］
13．136 11 ［令an＝(25－2n)2n-1，则a4＝(25－2×4)×24-1＝136．当n2时，设an为最大项，则即解得．
而n∈N*，所以n＝11，又n＝1时，有a1＝23
14．640 ［a1＝1，a2＝a1＝1，
a3＝3，a4＝a2＝1，
a5＝5，a6＝a3＝3，
根据规律知当n5时只有n为偶数时才有可能取到5，
由an＝知a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝5，
故第8个5是该数列的第640项．］
15．解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列｛an｝中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0．
(2)an＝1＋，已知对任意的n∈N*，都有ana6成立，结合函数f(x)＝1＋<6，即－103 / 3