课时分层作业(二十二)
1．D ［∵an+1－an＝，∴数列｛an｝是首项为2，公差为的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)×，∴a101＝2＋＝52．］
2．B ［设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2．即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B．］
3．D ［由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d<0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10．故选D．］
4．B ［依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，∴(2x)2－4·2x－5＝0，∴(2x－5)(2x＋1)＝0，∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25．］
5．B ［公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)×(－4)＝88－4n，
令 216．3n ［因为n2时，an－an-1＝3，所以｛an｝是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n．］
7．＝2d，∴d＝．∴．∴a10＝．］
8．4 ［设公差为d，则c－a＝2d，而10－2＝4d，∴d＝2，故c－a＝2×2＝4．］
9．解：(1)当n2时，由｛an｝的通项公式an＝5－2n，可得an-1＝5－2(n－1)＝7－2n．于是d＝an－an-1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2．把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得a1＝5－2×1＝3．所以，｛an｝的公差为－2，首项为3．
(2)由已知条件，得d＝5－8＝－3．把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得
an＝8－3(n－1)＝11－3n．把n＝20代入上式，得a20＝11－3×20＝－49．所以，这个数列的第20项是－49．
10．解：(1)证明：∵xn＝f(xn-1)＝(n2且n∈N*)，∴，
∴(n2且n∈N*)，∴是等差数列．
(2)由(1)知，∴．
11．ABC ［由题可设an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d．∴n＝＋1．
∵d∈N*，∴d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数，故选ABC．］
12．BC ［等差数列2，6，10，…，190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6，所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，
其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10190，解得n，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16．故选BC．］
13．38 ［由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108．令450an600，解得85.5n123，又因为n为正整数，故有38项．］
14．an＝36－3n an＝38－5n ［若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数，可得解得－，
又∵d∈Z，∴d＝－5，∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n．］
15．解：(1)由于an+1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3．从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3．
(2)不存在实数λ，使数列｛an｝成为等差数列．
证明如下：
由a1＝1，an+1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使｛an｝为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3．于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24．这与｛an｝为等差数列矛盾．所以不存在λ使｛an｝是等差数列．
2 / 2课时分层作业(二十二) 等差数列的概念及通项公式
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝( )
A．－15 B．－28
C．15 D．28
3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
4．若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．0 B．log25
C．32 D．0或32
5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an0，且an＋1<0的n为( )
A．21 B．22
C．23 D．24
二、填空题
6．已知在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n2)，则an＝________．
7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．
8．若2，a，b，c，10成等差数列，则c－a＝________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2，…的第20项．
10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n2且n∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 025．
11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是( )
A．构成的新数列是等差数列，公差为10
B．构成的新数列是等差数列，公差为12
C．该数列共有16项
D．该数列共有18项
13．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间的项数为________．
14．等差数列{an}中，首项为33．若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．
15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
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