课时分层作业(二十五) 等差数列前n项和的性质
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝( )
A．110 B．150
C．210 D．280
3．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝( )
A． B．
C． D．
4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
5．＝( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．
7．已知数列的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列的通项公式为________．
an＝ [而S1＝1－2＋2＝1，
当n2时，Sn－Sn－1＝n2－2n＋2－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3．又a1＝1不适合上式，
故an＝]
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16＝________．
三、解答题
9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．
10．已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn．
11．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S10＞0，a6＜0，则( )
A．数列的最小项为第6项
B．－＜d＜－4
C．a5＞0
D．Sn＞0时，n的最大值为5
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
13．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
14．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是___________，共有________项．
15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
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1．B ［等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．］
2．D ［∵等差数列｛an｝前n项和为Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150．又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280．故选D．］
3．D ［因为｛an｝和｛bn｝是等差数列，所以，又S21＝21a11，T21＝21b11，故令n＝21有，故选D．］
4．C ［由题知S偶－S奇＝5d，∴d＝＝3．］
5．C ［通项an＝，∴原式＝＝＝．］
6．5 ［∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5．］
7．an＝而S1＝1－2＋2＝1，
当n2时，Sn－Sn-1＝n2－2n＋2－［(n－1)2－2(n－1)＋2］＝2n－3．又a1＝1不适合上式，故an＝］
8．120 ［因为等差数列｛an｝的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，
所以S9＝9a5＝54，3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝120．］
9．解：法一：．
法二：∵数列｛an｝，｛bn｝均为等差数列，∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n．
又，∴令Sn＝tn(2n＋1)，Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R．
∴an＝Sn－Sn-1
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n2)，
bn＝Tn－Tn-1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)
＝t(6n－5)(n2)．
∴(n2)，
∴．
10．解：(1)设等差数列｛an｝的公差为d．
因为bn＝
所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6．因为S4＝32，T3＝16，所以
整理，得
所以｛an｝的通项公式为an＝2n＋3．
(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，所以Sn＝＝n2＋4n，bn＝当n为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋［(2n－7)＋(4n＋2)］＋2n－3＝［－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)］＋［14＋22＋30＋…＋(4n＋2)］＝．当n>5时，Tn－Sn＝>0，所以Tn>Sn．当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋［(2n－5)＋(4n＋6)］＝［－1＋3＋7＋…＋(2n－5)］＋［14＋22＋30＋…＋(4n＋6)］＝．
当n>5时，Tn－Sn＝>0，所以Tn>Sn．综上可知，当n>5时，Tn>Sn．
11．ABC ［由题意S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)>0，又a6<0，所以a5>0，故选项C正确；
由a3＝12，且a5>0，a6<0，a5＋a6>0，得0，当n6时，an<0，所以S10>0，S11＝11a6<0，故Sn>0时，n的最大值为10，故选项D错误；由于d<0，数列｛an｝是递减数列，当1n5时，an>0，当n6时，an<0；当1n10时，Sn>0，当n11时，Sn<0，所以当1n5时，>0，故数列中最小的项为第6项，选项A正确．］
12．B ［Sn－Sn-4＝an＋an-1＋an-2＋an-3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14．］
13．8 ［∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0．∴当n＝8时，数列｛an｝的前n项和最大．］
14．11 7 ［设等差数列｛an｝的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n+1＝＝(n＋1)an+1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan+1，所以，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an+1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．］
15．解：(1)设｛an｝的公差为d，则解得a1＝13，d＝－2．
所以｛an｝的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n．
(2)由(1)得|an|＝当n7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
当n8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋［2(n－7)－1］＝14×7－72＋＝98－14n＋n2．综上，Tn＝
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