课时分层作业(二十四) 等差数列的前n项和
一、选择题
1．等差数列{an}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2．则其前n项和Sn＝( )
A．8＋n－n2 B．9n－n2
C．5n－n2 D．
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝( )
A．99 B．33
C．198 D．66
3．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A． B．
C．10 D．12
4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
5．设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、填空题
6．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n2)，则数列{an}的前9项和等于________．
7．若数列的前n项和为Sn＝n2－3n＋1，则该数列的通项公式为________．
8．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知数列{an}是等差数列．
(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2)若a1＝2，a2＝，求S10；
(3)若a1＝，Sn＝－5，求n．
10．设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．
11．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
12．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2 023＞0，S2 024＜0，对任意正整数n，都有|an||ak|，则下列判断正确的是( )
A．a1 012＞0 B．a1 013＞0
C．|a1 012|＞|a1 013| D．k的值为1 012
13．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则第9圈石板数为________，前9圈石板总数为________．
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2．
(1)求Sn，并画出{Sn}(1n13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减时n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
(3){Sn}中有多少项大于零？
1 / 3课时分层作业(二十四)
1．B ［∵a2－a3＝2，∴公差d＝a3－a2＝－2．又a1＋a4＝a1＋(a1＋3d)＝2a1－6＝10，∴a1＝8，∴Sn＝9n－n2．］
2．D ［因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则S11＝＝11a6＝11×6＝66，故选D．］
3．B ［∵公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6．∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝．故选B．］
4．A ［a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋［(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)］
＝3×5＝15．］
5．C ［若｛an｝为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋＝a1＋(n－1)·＝a1＋(n＋1－1)·
＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n2时，an＝Sn－Sn-1＝na1＋n(n－1)t－［(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t］＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an+1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－［a1＋2(n－1)t］＝2t为常数，所以｛an｝为等差数列，即乙 甲．所以甲是乙的充要条件，故选C．］
6．27 ［由a1＝1，an＝an-1＋＝9＋18＝27．］
7．an＝ ［由题意可知，当n＝1时，a1＝S1＝12－3×1＋1＝－1；
当n2时，an＝Sn－Sn-1＝－［(n－1)2－3(n－1)＋1］＝2n－4．
又a1＝－1不满足an＝2n－4．
因此，an＝ ］
8．304 ［因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40 d＝－8，所以an＝40－8n．所以|an|＝|40－8n|＝＝80＋224＝304．］
9．解：(1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2 700．
(2)因为a1＝2，a2＝d，可得S10＝10×2＋．
(3)把a1＝．整理，得n2－7n－60＝0．解得n＝12，或n＝－5(舍去)．所以n＝12．
10．解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd．因为bn＝，所以S3＝．因为S3＋T3＝21，所以6d＋，因为d>1，所以d＝3．所以｛an｝的通项公式为an＝3n．
(2)因为bn＝，且｛bn｝为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即2×，
所以－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d．
①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝，S99＝＝99×50d，T99＝．因为S99－T99＝99，所以99×50d－＝99，即50d2－d－51＝0，解得d＝或d＝－1(舍去)．
②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝，S99＝＝99×51d，T99＝．因为S99－T99＝99，
所以99×51d－＝99，即51d2－d－50＝0，解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．
综上，d＝．
11．ABD ［显然Sn对应的二次函数有最大值时d<0，且若d<0，则Sn有最大值，故A，B正确．
又若对任意n∈N*，Sn>0，则a1>0，d>0，｛Sn｝必为递增数列，故D正确．
而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列｛Sn｝递增，但S1＝－1<0，故C不正确．］
12．AD ［由等差数列｛an｝，可得S2 023＝<0，即a1＋a2 023>0，a1＋a2 024<0，可得2a1 012>0，a1 012＋a1 013<0，
∴a1 012>0，a1 013<0，∴A正确，B错误．又等差数列｛an｝为递减数列，且a1 012＋a1 013<0，∴|a1 012|<|a1 013|，∴C错误．
而对任意正整数n，都有|an||ak|，则k的值为1 012，故D正确．故选AD．］
13．81 405 ［设从第1圈到第9圈石板数所成数列为｛an｝，由题意可知｛an｝是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9．由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为S9＝9a1＋×9＝405(块)．］
14．2 000 ［假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＝2 000(米)．］
15．解：(1)Sn＝na1＋×(－2)＝－n2＋13n．｛Sn｝(1n13)的图象如图．
(2)Sn＝－n2＋13n＝－，n∈N*，∴当n＝6或7时，Sn最大；当1n6时，｛Sn｝单调递增；当n7时，｛Sn｝单调递减．｛Sn｝有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42．
(3)由图象得｛Sn｝中有12项大于零．
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