课时分层作业(二十七)
1．A ［法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1>0，得a1＝．所以a5＝a1·24＝·24＝1．
法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16．又数列｛an｝的各项都是正数，所以a7＝4．又a7＝a5×q2，则a5＝＝1．］
2．B ［∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21．∴1＋q2＋q4＝7．解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42．故选B．］
3．B ［由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，
∴a40a50a60＝16×4＝64．］
4．C ［因为等差数列＝0，因为各项不为零，所以a2 024＝4，因为数列是等比数列，所以b2 023·b2 025＝＝16．所以log2＝log216＝4，故选C．］
5．B ［设，x1，x2，4，∴q3＝＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴，故选B．］
6．256 ［因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512．因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256．］
7．
．］
8．50 ［因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5．所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln［(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)］＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50．］
9．解：an+1－2＝
．又a1＝1，故b1＝＝－1，所以，公比为4的等比数列，所以bn＋
．
10．解：设该城市的人口年平均增长率为x(0
11．BC ［由题意可知a1a2a3…a2 024＝a2 024，故a1a2a3…a2 023＝1，由于｛an｝是各项均为正数的等比数列且a1>1，所以a1 012＝1，公比01且0所以选BC．］
12．C ［设原杂质数为1，由题意，得每次过滤后水中杂质数成等比数列｛an｝，且a1＝1，公比q＝1－20%，故an+1＝(1－20%)n．由题意可知(1－20%)n<5%，
即0.8n<0.05．两边取对数，得nlg 0.8，即n>≈13.41，故取n＝14．］
13．2 2n＋1 ［由an+1＝λan－1，得an+1－1＝λan－2＝λ
＝1，解得λ＝2．因为首项为2，所以an－1＝2×
2n-1＝2n．即an＝2n＋1．］
14．4 2 ［∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4．
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4．∴a8a15＝±2．又∵｛an｝为递减数列，∴q>0．∴a8a15＝2．］
15．解：(1)证明：∵an＋Sn＝n， ①
∴an+1＋Sn+1＝n＋1. ②
②－①得an+1－an＋an+1＝1．∴2an+1＝an＋1，∴2(an+1－1)＝an－1，∴，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝，又cn＝an－1，∴q＝．∴｛cn｝是以－的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝，∴an＝cn＋1＝1－．∴当n2时，bn＝an－an-1＝1－．又b1＝a1＝．
3 / 3课时分层作业(二十七) 等比数列的性质
一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知在等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32 B．64
C．256 D．±64
4．在各项不为零的等差数列中＋2a2 025 ＝0，数列是等比数列，且b2 024＝a2 024，则log2的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A． B．或
C． D．以上都不对
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
7．已知数列满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________．
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
三、解答题
9．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
10．某城市2024年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2025年年初开始每年新建住房245万平方米，到2032年年底，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中011．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 024积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的值可能为( )
A．1 010 B．1 011
C．1 012 D．1 014
12．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中20%的杂质，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )
A．5 B．10
C．14 D．15
13．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________．
14．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a10a11a12a13＝________，a8a15＝________．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n2)，且an＋Sn＝n．
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．
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