课时分层作业(二十六) 等比数列的概念及通项公式
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2 026＝8a2 025，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝( )
A． B．
C． D．
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－是此数列的( )
A．第2项 B．第4项
C．第6项 D．第8项
4．已知－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( )
A． B．－
C．或－ D．
5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝( )
A．24 B．36
C．48 D．54
二、填空题
6．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
8．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项．
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
11．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A．＋1 B．3＋2
C．3－2 D．2－3
12．(多选题)有下列四个说法，正确的是( )
A．等比数列中的每一项都不可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b－c，c－a ，b－a成等比数列，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an．
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1．D ［因为a2 026＝8a2 025，所以a1q2 025＝8a1·q2 024，解得q＝8．］
2．A ［由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝．］
3．B ［由题意知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1(舍)或x＝－4，∴首项为－4，公比为．∴由－4×，解得n＝4．］
4．A ［由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝［(－4)－(－1)］＝－1．∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2．若设公比为q，则b2＝(－1)·q2，∴b2<0，∴b2＝－2，∴．］
5．D ［因为a1·a3＝36，且＝9．∵an>0，∴q＝3．∴a4＝a1q3＝2×33＝54．故选D．］
6．－2 ［设数列｛an｝的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1． ①
又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8， ②
所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．］
7．27，81 ［设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3．所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．］
8．64 ［设等比数列的公比为q，由得所以a1a2…an＝q1+2+…+(n-1)＝8n×，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64．］
9．解：由a4＝48，a6＝12，得
②的两边分别除以①的两边，得q2＝．
解得q＝．
把q＝代入①，得a1＝384．
此时a5＝a1q4＝384×＝24．
把q＝－代入①，得a1＝－384．
此时a5＝a1q4＝－384×＝－24．
因此，｛an｝的第5项是24或－24．
10．解：(1)由题意可得a2＝．
(2)由
．故｛an｝是首项为1，公比为(n∈N*)．
11．C ［设等比数列｛an｝的公比为q，由于a1，a3，2a2成等差数列，则2×＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q．由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，
解得 q＝1±．又等比数列｛an｝中各项都是正数，所以q>0，所以q＝1＋．
所以．］
12．AC ［对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．因此，正确的说法有AC，故选AC．］
13．＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0. ①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1. ②
由①②解得a1＝，d＝－1．］
14．
(舍去)．］
15．证明：(1)∵an+1＝Sn+1－Sn，an+1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn+1－Sn)．整理，得nSn+1＝2(n＋1)Sn，∴．又当n＝1时，S1＝a1＝1，∴＝1．故是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知Sn-1(n2)．于是Sn+1＝4(n＋1)·＝4an(n2)，又∵a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4a1．因此对于任意正整数n1，都有Sn+1＝4an．
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