课时分层作业(二十八) 等比数列的前n项和
一、选择题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )
A．－2 B．－1
C． D．
4．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
二、填空题
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
8．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn．已知S3＝，则a8＝________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知数列{an}是等比数列．
(1)若a1＝，求S8；
(2)若a1＝27，a9＝，q＜0，求S8；
(3)若a1＝8，q＝，求n．
10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
11．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( )
A．3 B．18
C．54 D．152
12．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后作新三角形的内切圆，如此下去．则下列说法正确的是( )
A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
C．n个内切圆的面积和为π
D．n个内切圆的面积和为3π
13．等差数列{an}中，公差＝a1a4，若，…成等比数列，则kn＝________．
14．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．
15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn．
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1．C ［设｛an｝的公比为q(q≠±1)，由题意知解得q2＝4，故S6＝S4＋a5＋a6＝S4＋(a1＋a2)q4＝S4＋S2·q4＝15＋3×42＝63．］
2．C ［∵a3＝1，a6＝，∴a1＝4，∴a1a2＝8，∵，∴数列｛anan+1｝是以8为首项，为公比的等比数列．∴a1a2＋a2a3＋…＋anan+1＝(1－4-n)．］
3．B ［由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝a1＋2，解得a1＝－1．故选B． ］
4．C ［设等比数列｛an｝的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则所以S8＝×(1－44)＝－85，故选C．］
5．B ［设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选B．］
6．－．］
7．6 ［由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n+1－2)棵，令2n+1－2100，则2n+1102，又26＝64，27＝128，且｛2n+1｝单调递增，所以n6，即n的最小值为6．］8．32 ［设｛an｝的首项为a1，公比为q，
则所以a8＝×27＝25＝32．］
9．解：(1)因为a1＝，所以S8＝．
(2)由a1＝27，a9＝，即q8＝．又由q<0，得q＝－，
所以S8＝．(3)把a1＝8，q＝，得
．整理，得．
解得n＝5．10．解：(1)由a1＝2，an+1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2．
当n2时，bn＝bn+1－bn．
整理得，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n+1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1．
故Tn＝(n－1)2n+1＋2(n∈N*)．
11．C ［因为an+1＝2Sn＋2，所以当n2时，an＝2Sn-1＋2，两式相减得an+1－an＝2an，即an+1＝3an，所以数列｛an｝是公比q＝＝3的等比数列．当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C．］
12．BC ［S△ABC＝
π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，则C正确，D错误．故选BC．］
13．3n+1 ［由题意得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，∴a1＝d，∴q＝＝3．
∴＝9a1×3n-1＝kna1，∴kn＝9×3n-1＝3n+1．］
14．2
，即2
，
所以Sn＝2n－1＋2－
＝2n－＋1．］
15．解：(1)设数列｛xn｝的公比为q，由已知可得q>0．由题意得消去x1得3q2－5q－2＝0．因为q>0，所以q＝2，x1＝1，因此数列｛xn｝的通项公式为xn＝2n-1．
(2)过P1，P2，…，Pn+1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn+1(图略)．由(1)得xn+1－xn＝2n－2n-1＝2n-1，记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，由题意得bn＝×2n-1＝(2n＋1)×2n-2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2-1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n-3＋(2n＋1)×2n-2． ①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n-2＋(2n＋1)×2n-1． ②
①－②得，－Tn＝3×2-1＋(2＋22＋…＋2n-1)－(2n＋1)×2n-1＝－(2n＋1)×2n-1．所以Tn＝．
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