课时分层作业(二十九) 等比数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8 C．15 D．16
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A． B．
C． D．
3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400
4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于( )
A．1 025 B．1 024
C．10 250 D．20 240
5．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝( )
A．30 B．20
C．10 D．5或40
二、填空题
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
7．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________．
8．如果lg x＋lg x2＋…＋lg x10＝110，那么lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．
10．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是( )
A．＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
12．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A．3n－1 B．
C． D．
13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
14．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n-1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________．
15．设数列{an}的前n项和为Sn．已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
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1．C ［由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，∴q＝2，∴S4＝＝15．］
2．B ［显然公比q≠1，由题意得解得(舍去)
∴S5＝．］
3．A ［依题意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得S20＝－20或S20＝30，又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150．故选A．］4．C ［∵log2xn+1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn+1＝2xn，且xn>0，n｝数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C．］
5．A ［设等差数列的公差为d，因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6，即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即(3d－1)2(1＋d)·(1＋5d)，
解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3，所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A．］
6．2 ［设｛an｝的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝．由题意得．∴1＋q＝3，∴q＝2．］
7．2n－1 ［设等差数列｛an｝的公差为d(d≠0)，则S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，因为＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1．］
8．2 046 ［由已知(1＋2＋…＋10)lg x＝110，∴55lg x＝110．∴lg x＝2．∴lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046．］
9．证明：当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．当q≠1时，Sn＝，
S2n－Sn＝＝qnSn，S3n－S2n＝＝qn(S2n－Sn)，所以＝qn．因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．：(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0．当n2时，由2Sn＝nan，得2Sn-1＝(n－1)an-1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an-1，即(n－1)an-1＝(n－2)an，＝0，故当n3时，，则·…··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n3)．当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1．
(2)令bn＝，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn-1＋bn＝＋…＋， ①
＋…＋， ②
由①－②得＋…＋，
即Tn＝2－．
11．ABC ［∵q≠1，∴＝1＋qm．而
，得m＝3，q＝2，∴C正确；D中，≠3，∴D错误，故选ABC．］
12．A ［由点(＝0，即(an＋3an-1)(an－3an-1)＝0，又数列｛an｝各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an-1>a4＋…＋a2m＝，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋，∴q＝．
∴Tn＝a1·a2·…·an＝q1+2+…+n-1＝，故当n＝1或2时，Tn取最大值，最大值为2．］
14．2n－1 2n+1－n－2 ［因为an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2．］
15．解：(1)由题意得又当n2时，由an+1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn-1＋1)＝2an，得an+1＝3an，故an＝3n-1(n2，n∈N*)，又当n＝1时也满足an＝3n-1，所以数列｛an｝的通项公式为an＝3n-1，n∈N*．
(2)设bn＝|3n-1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1．当n3时，由于3n-1>n＋2，故bn＝3n-1－n－2，n3．设数列｛bn｝的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3．n3时，Tn＝3＋＝．∴Tn＝
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