课时分层作业(三十)
1．B ［因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2．故选B．］
2．C ［因为当n＝k时，左端＝1－＋…＋＋…＋．］
3．B ［由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．］
4．D ［用数学归纳法证明不等式1＋＋…＋5．D ［在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D．］
6．n＝k＋2时等式成立 ［由于n为正偶数，已知假设n＝k(k2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为：n＝k＋2时等式成立．］
7．(k＋3)3 ［假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3．
为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．］
8．＋…＋，当n＝k＋1时，f(2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋，所以f(2k+1)－f(2k)＝1＋＋…＋＋…＋＝＋…＋．］
9．证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边．
(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．
10．证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋α，右边＝1＋α，命题成立．
(2)假设当n＝k(k1)时，命题成立，即(1＋α)k1＋kα．那么，当n＝k＋1时，因为α>－1，所以1＋α>0．根据假设知，(1＋α)k1＋kα，所以(1＋α)k+1＝(1＋α)k(1＋α)(1＋kα)(1＋α)＝1＋(k＋1)α＋kα2．因为kα20，所以1＋(k＋1)α＋kα21＋(k＋1)α．从而(1＋α)k+11＋(k＋1)α．这表明，当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数n都成立．
11．C ［若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5时命题成立．若n＝5不成立，则n＝4时该命题不成立．］
12．BC ［n＝1时，
＋…＋，当n＝k＋1时，左边的代数式为＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式得，即为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC．］
13．1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4 ［当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．］
14．π ［由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π．］
15．解：取n＝1，2，3可得．
下面用数学归纳法证明＋…＋．即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立，
故存在a＝使已知等式成立．
3 / 3课时分层作业(三十) 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋<2
C．1＋<3 D．1＋<3
2．用数学归纳法证明1－，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )
A． B．－
C． D．
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
4．利用数学归纳法证明1＋A．1项 B．k项
C．2k-1项 D．2k项
5．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
二、填空题
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－时，若已知假设n＝k(k2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．
7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
8．已知f(n)＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)－f(2k)＝________．
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．
10．(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：(1＋α)n1＋nα(其中α＞－1，n∈N*)．
11．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
12．(多选题)用数学归纳法证明不等式＞的过程中，下列说法正确的是( )
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
13．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________．
15．是否存在a，b，c使等式对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
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