课时分层作业(三十三)
1．B ［由题意可得f'(x)＝，故选B．］
2．B ［∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f'(x)＝3ax2＋6x，又f'(－1)＝3a－6＝4，∴a＝．］
3．B ［∵f'(x)＝aex＋1，∴f'(0)＝a＋1＝2，解得a＝1，f(0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2．故选B．］
4．B ［由题意得f'(x)＝2f'(1)＋，令x＝1，得f'(1)＝2f'(1)＋1，解得f'(1)＝－1．
∴f'(x)＝－2＋＝e－2．故选B．］
5．C ［由于f(x)＝，∴f(x0)＝，f'(x)＝，∴f'(x0)＝，
依题意知f(x0)＋f'(x0)＝0，∴＝0，∴2x0－1＝0，得x0＝．］
6．1 ［∵f'(x)＝－f'sin x＋cos x，∴f'，得f'－1．∴f(x)＝(＝1．］
7．64 ［∵y＝，∴曲线在点(a，，
∴切线方程为y－(x－a)．令x＝0得y＝；令y＝0得x＝3a．∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝＝18，∴a＝64．］
8．25π ［因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝
π×50＝25π．］
9．解：因为y＝xn+1，所以y'＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得x＝，所以an＝lg＝lg(n＋1)－lg n，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 026－lg 2 025＝lg 2 026．
10．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b．令x＝1，得f'(1)＝3＋2a＋b，又f'(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3．令x＝2，得f'(2)＝12＋4a＋b，又f'(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－．则f(x)＝x3－．又f'(1)＝2×＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0．
11．C ［由题意可知y'＝
，故选C．］
12．BCD ［f(x)＝
，D正确．故选BCD．］
13．120 ［因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，所以f'(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，所以f'(0)＝1×2×3×4×5＝120．］
14．2e (－4，0) ［f'(x)＝(x＋1)ex，∴f'(1)＝2e．设点B(x0，x0)为曲线C上任意一点，∵y'＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0－ax0－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a<0，解得－4
∴a的取值范围是(－4，0)．］
15．解：(1)7x－4y－12＝0可化为y＝x－3．当x＝2时，y＝，于是故f(x)＝x－．
(2)证明：设点P(x0，y0)为曲线上任意一点，由y'＝1＋(x－x0)，即y－(x－x0)．令x＝0，得y＝－．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为·|2x0|＝6．故曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6．
3 / 3课时分层作业(三十三) 基本初等函数的导数函数的和、差、积、商的导数
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则该函数的导函数f′(x)＝( )
A． B．
C． D．2x－cos x
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A． B． C． D．
3．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′＝( )
A．－2 B．e－2
C．－1 D．e
5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于( )
A．0 B．1
C． D．－1
二、填空题
6．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
7．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________．
8．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，圆面积的膨胀率是________．
三、解答题
9．设曲线y＝xn+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg ，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 025．
10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
11．曲线y＝在点1，处的切线方程为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
12．(多选题)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
13．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________．
14．已知f(x)＝xex，则f′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求证：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
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