课时分层作业(三十四) 简单复合函数的导数
一、选择题
1．若f(x)＝ex ln 2x，则f′(x)＝( )
A．exln 2x＋ B．ex ln 2x－
C．ex ln 2x＋ D．2ex·
2．已知函数f(x)＝2ln (3x)＋8x，则的值为( )
A．10 B．－10
C．－20 D．20
3．已知f(x)＝，则f′＝( )
A．－2－ln 2
B．－2＋ln 2
C．2－ln 2
D．2＋ln 2
4．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x ln x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为( )
A．y＝－x B．y＝－x＋2
C．y＝x D．y＝x－2
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
二、填空题
6．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________．
7．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
8．已知P为指数函数f(x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求下列函数的导数：
(1)y＝(3x＋5)3；
(2)y＝e-0.05x+1；
(3)y＝ln (2x－1)．
10．曲线y＝f(x)＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
11．(多选题)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A．π B．π
C．π D．π
12．曲线y＝f(x)＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．1
13．设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′＝，则φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________．
14．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
15．设函数f(x)＝aex ln x＋．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
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1．C ［f'(x)＝exln 2x＋ex×．］
2．C ［∵f(x)＝2ln(3x)＋8x，∴f'(x)＝．根据导数定义知＝－2＝－2f'(1)＝－20．故选C．］
3．D ［依题意有f'(x)＝，故f'＝2＋ln 2，所以选D．］
4．A ［因为x<0，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，f(－1)＝1，f'(x)＝－ln(－x)－1，f'(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x．故选A．］
5．B ［设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2．］
6．2sin 2x ［∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，∴y'＝(－cos 2x)'＝－(－sin 2x)·(2x)'＝2sin 2x．］
7．(e，e) ［设P(x0，y0)．∵y＝xln x，∴y'＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴k＝1＋ln x0．又∵k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e．∴y0＝eln e＝e．∴点P的坐标是(e，e)．］
8．
．］
9．解：(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝(u3)'·(3x＋5)'＝3u2×3＝9(3x＋5)2．
(2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝(eu)'·(－0.05x＋1)'＝－0.05eu＝－0.05e-0.05x+1．
(3)函数y＝ln(2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝(ln u)'·(2x－1)'＝×2＝．
10．解：∵y＝esin x，∴y'＝f'(x)＝esin xcos x，∴f'(0)＝1．∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0．由得m＝－1或3．∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0．
11．AC ［因为y＝，所以y'＝．因为ex>0，所以ex＋2，当且仅当x＝0时，等号成立．所以y'∈［－1，0)，所以tan α∈［－1，0)．又因为α∈［0，π)，所以α∈．故选AC．］
12．A ［依题意得y'＝e-2x·(－2)＝－2e-2x，f'(0)＝－2e-2×0＝－2．
曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2．在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是．］
13．x＋φ)．由条件知，f'，∴sin φ＝，∵0<φ<π，∴φ＝．又f(x)＋f'(x)＝cos(x＋φ)＝2sin，若f(x)＋f'(x)为奇函数，
则f(0)＋f'(0)＝0，即0＝2sin＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝．］
14．(x>0)，∵1－x－＝－1，当且仅当x＝1时等号成立．∴y'－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，∴tan θ－1，又θ∈［0，π)，∴θ∈．］
15．解：(1)由f(x)＝aexln x＋，得f'(x)＝(aexln x)'＋(x>0)．
(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2．将x＝1代入导函数f'(x)中，得f'(1)＝ae＝e，∴a＝1．∴a＝1，b＝2．
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