课时分层作业(三十五) 单调性
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)( )
A．在(0，＋∞)上单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递减
2．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＞0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
3．已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为( )
A B C D
4．函数f(x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________．
7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
8．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)讨论函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的单调性．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间1，m＋上单调，求实数m的取值范围．
11．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
12．(多选题)若函数y＝exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的函数的选项为( )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
13．已知函数f(x)＝＋a ln x＋x，且曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
15．已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
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1．D ［函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f'(x)＝1＋ln x，令f'(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝，∴当00．∴f(x)在上单调递增．故选D．］
2．B ［当x>0时，x·f'(x)>0 f'(x)>0 函数单调递增，根据图形知，x>1或x<－1 x>1；当x＝0时，不成立；当x<0时，x·f'(x)>0 f'(x)<0 函数单调递减，根据图形知，－13．A ［当x<0时，f(x)＝2x－ln(－x)，f'(x)＝2－·(－1)＝2－>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，则B，D错误；当x>0时，f(x)＝2x－ln x，f'(x)＝2－上单调递增，所以A正确，故选A．］
4．B ［∵f(x)＝x3＋kx2－7x，∴f'(x)＝3x2＋2kx－7，由题意可知，不等式f'(x)0对于任意的x∈［－1，1］恒成立，所以解得－2k2．
因此，实数k的取值范围是［－2，2］．故选B．］
5．B ［依题意可设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g'(x)＝f'(x)－2>0．所以函数y＝g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0．所以要使g(x)＝f(x)－2x－4>0，即g(x)>g(－1)，只需要x>－1，故选B．］
6．．］
7．［－
］．］
8． ［因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f'(x)＝4x－，由f'(x)＝0，得x＝．］
9．解：f'(x)＝6x2－6x－36＝6(x＋2)(x－3)．设f'(x)>0，则6(x＋2)(x－3)>0，即x<－2或x>3．故当x∈(－∞，－2)或x∈(3，＋∞)时，f'(x)>0，因此，函数f(x)在区间(－∞，－2)和(3，＋∞)上单调递增；当x∈(－2，3)时，f'(x)<0，因此，函数f(x)在区间(－2，3)上单调递减．
10．解： (1)由已知，h'(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h'(x)＝2ax＋b，∴∴h(x)＝x2－8x＋2，h'(x)＝2x－8，∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2．
(2)∵f'(x)＝＋2x－8＝(x>0)．令f'(x)>0，解得03；令f'(x)<0，解得1即实数m的取值范围为．
11．C ［因为在R上单调递减．又因为a0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．故选C．］
12．AD ［A中，exf(x)＝ex·2-x＝在R上单调递增，故f(x)＝2-x具有M性质；
B中，exf(x)＝ex·3-x＝在R上单调递减，故f(x)＝3-x不具有M性质；
C中，exf(x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g'(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴当x>－3时，g'(x)>0，当x<－3时，g'(x)<0，∴exf(x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3不具有M性质；
D中，exf(x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则g'(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex［(x＋1)2＋1］>0，∴exf(x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋2具有M性质．］
13．－1 (2，＋∞) ［f(x)＝＋aln x＋x，其定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝－，由题知f'(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，这时f'(x)＝，由f'(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，令f'(x)>0，即x2－x－2>0且x>0，得x>2，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．］
14．(0，＋∞) ［若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y'＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0．］
15．解：(1)当a＝3时，f(x)＝x2＋2x－ln x，其定义域为(0，＋∞)．∴f'(x)＝3x＋2－．令f'(x)<0，解得00，解得x>，∴函数f(x)的单调递减区间为．
(2)∵f(x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，∴f'(x)＝ax＋2－(a∈R)．若函数f(x)存在单调递增区间，则f'(x)>0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1>0在区间(0，＋∞)上有解．分离参数得a>，则依题意，只需a>g(x)min即可．∵g(x)＝－1，∴g(x)min＝－1，
∴a>－1，即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞)．
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