课时分层作业(三十七)
1．C ［因为y'＝1－cos x，当x∈上单调递增，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C．］
2．C ［∵f'(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，x∈［－3，3］，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32．］
3．D ［因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在［－2，0)上单调递增，在(0，2］上单调递减，所以当x＝0时，f(x)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以最小值是－37，故选D．］
4．D ［由于f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，f(－1)＝f(2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA］，即m∈(－1，2］，故选D．
］
5．C ［因为f(x)＝2x3－6x2＋3－a，所以f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，x∈(－2，2)，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2．在(－2，0)上f'(x)>0，f(x)单调递增；在(0，2)上f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝3－a．因为对任意的x∈(－2，2)都有f(x)0，所以f(x)max＝3－a0，得a3．故选C．］
6．［0，e］ ［∵f'(x)＝，x∈［－1，1］．令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．∵f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝，∴函数f(x)＝，x∈［－1，1］的值域为［0，e］．］
7．，x∈［1，＋∞)且a>0．令f'(x)＝0，得x＝(舍去)，若x＝<1，不符合题意；若f(x)max＝f(1)＝－1，符合题意．］
8．［e，＋∞) ［由f(x)＝
)＝ln a＋1．要使f(x)2恒成立，需ln a＋12恒成立，则ae．］
9．解：易知f(x)的定义域为．
(1)f'(x)＝＝．当－0；当－1－时，f'(x)>0，从而f(x)在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间．又因为f＝ln <0，所以f(x)在区间上的最大值为f．
10．解：(1)f'(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．由f'(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f'(x)＝0，－2x2，得x＝－1．因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2x2时，f(x)min＝－5＋a．要使f(x)2 024对任意x∈［－2，2］恒成立，只需f(x)min＝－5＋a2 024，解得a2 029．
11．AB ［由f(x)＝，当x∈(0，1)时，ln x<0，ex>0，∴f(x)<0，所以f(x)在(0，1)上的图象位于x轴的下方，所以A正确；因为f'(x)＝>0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以B是正确的；设g(x)＝ln x－(x>0)，所以g'(x)>0，函数g(x)单调递增，则函数f'(x)＝0只有一个根x0，使得f'(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f'(x)<0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，函数单调递增，所以函数只有一个极小值点，所以C不正确；由g(x)＝ln x－>0，所以函数在(1，2)上先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB．］
12．CD ［函数f(x)＝－x2ln x(x>0)，则f'(x)＝－2xln x－x＝－x(2ln x＋1)，令f'(x)>0，可得0，所以f(x)在上单调递增，
在上单调递减，故选项B错误；当x＝，故选项C正确；在区间(0，＋∞)内，f(x)有唯一的极大值即最大值f()>0，故选项A错误；因为当x→0时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，又f·f(e)<0，由零点的存在性定理可得，f(x)在区间内存在唯一的零点，故选项D正确．］
13．1 ［∵函数f(x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)，∴f'(x)＝4x－，
由f'(x0)＝3，x0>0，解得x0＝1．令f'(x)＝0得x＝，当00，故当x＝时，f(x)取得极小值，由题意可知，∴实数k的取值范围是．］
14．＋6x0＋a＝2a，可化为＋6x0＝a，设g(x)＝x3－x2＋6x，x∈［－1，4］，则g'(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，令g'(x)＝0，得x＝1或x＝2．∴g(1)＝，g(4)＝16．由题意，g(x)minag(x)max，∴－a16．］
15．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝aex－．由题设知，f'(2)＝0，所以a＝．从而f(x)＝．当0当x>2时，f'(x)>0．所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a－ln x－1．设g(x)＝－ln x－1，则g'(x)＝．
当01时，g'(x)>0，所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)g(1)＝0．因此，当a时，f(x)0．
3 / 3课时分层作业(三十七) 最大值与最小值
一、选择题
1．y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B．－1
C．π D．π＋1
2．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16 B．12
C．32 D．6
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上的最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为( )
A．0 B．－5
C．－10 D．－37
4．函数f(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－1，1]
C．(－1，2) D．(－1，2]
5．若函数f(x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f(x)0，则a的取值范围为( )
A．(－∞，3) B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，3)
二、填空题
6．当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝的值域是________．
7．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
8．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．设函数f(x)＝ln (2x＋3)＋x2．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)2 024对任意x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．
11．(多选题)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．当x∈(0，1)时，f(x)图象位于x轴下方
B．f(x)存在单调递增区间
C．f(x)有且仅有两个极值点
D．f(x)在区间(1，2)上有最大值
12．(多选题)已知函数f(x)＝－x2ln x，则( )
A．f(x)0恒成立
B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．f(x)在x＝处取到极大值
D．f(x)只有一个零点
13．已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若 x0∈[－1，4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝aex－ln x－1．
(1)设f(2)是函数f(x)的极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a时，f(x)0．
1 / 2
