课时分层作业(三十八)
1．C ［设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝．所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·，令S'＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．］
2．A ［要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为．令L'＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．］
3．A ［由题意，函数f(x)＝cos x＋ln(|x|＋1)(x∈［－2π，2π］)，满足f(－x)＝cos(－x)＋ln(|－x|＋1)＝cos x＋ln(|x|＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，且f(0)＝cos 0＋ln(|0|＋1)＝1，f(π)＝cos π＋ln(|π|＋1)∈(0，1)，排除C、D，又由当x∈(0，2π］时，f(x)＝cos x＋ln(x＋1)，则f'(x)＝－sin x＋，则f'>0，即f'·f'(π)<0，所以函数在之间有一个极小值点，故选A．］
4．D ［由题意，得总成本函数为C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)
＝所以P'(x)＝令P'(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．］
5．B ［由题意知f'(x)＝3x2＋a，要使函数f(x)存在3个零点，则f'(x)＝0要有2个不同的根，则a<0．令3x2＋a＝0，解得x＝±
即a<－3．故选B．］
6． ［由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(00；当7．1.2 m ［设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为［14.8－4x－4(x＋0.5)］＝(3.2－2x)m．由3.2－2x>0及x>0，得00，y单调递增；当x∈(1，1.6)时，y'<0，y单调递减．因此当x＝1时，y取最大值，ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m．］
8．(ax2＋1，则f'(x)＝x2＋ax．由f(x)＝0有一个实数根，得Δ0(Δ是方程f'(x)＝0的根的判别式)或f(x1)·f(x2)>0(x1，x2是f(x)的极值点)．
①由Δ0，得a＝0；
②令f'(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a，则f(x1)·f(x2)＝－．
综上，实数a的取值范围是(，＋∞)．］
9．解：设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，
因为v＝10时，p＝6，所以k＝＝0.006．于是有p＝0.006v3．又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为
(v>0)．q'＝0.012v－(v3－8 000)，令q'＝0，解得v＝20．当020时，q'>0，所以当v＝20时，q取得最小值．即当速度为20千米/时时，航行1千米所需的费用总和最少．
10．解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝．故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3．从而V'(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V'(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1．当00；当111．BCD ［记f(x)＝x3＋ax＋b，当a＝－3，b＝2时，f(x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，x＝1或x＝－2，不满足题意；当a＝－3，b＝－3时，f(x)＝x3－3x－3，f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)只有一个零点，即f(x)＝0只有一个实根；同理当a＝－3，b>2时，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，f(x)只有一个零点，即f(x)＝0只有一个实根；当a＝1，b＝2时，f(x)＝x3＋x＋2＝(x＋1)(x2－x＋2)＝0，只有一个实根－1，故选BCD．］
12．B ［由a≠0，f'(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝
>0，即a>2或a<－2．又a<0，所以a<－2，所以a的取值范围是(－∞，－2)．故选B．］
13． ［因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(h－3)2，所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，
所以正四棱锥的体积V＝，
所以V'＝，当3l<2 时，V'<0，所以当l＝2 ，又当l＝3时，V＝，所以正四棱锥的体积V的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．］
14．6 ［设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y'＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y'＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．］
15．证明：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)．f'(x)＝．
因为y＝ln x在(0，＋∞)内单调递增，y＝在(0，＋∞)内单调递减，所以f'(x)单调递增．又f'(1)＝－1<0，f'(2)＝ln 2－>0，故存在唯一的x0∈(1，2)，使得f'(x0)＝0．又当0x0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一实根x＝α．由α>x0>1得<14 / 4课时分层作业(三十八) 导数在函数有关问题及实际生活中的应用
一、选择题
1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32，16 B．30，15
C．40，20 D．36，18
3．函数y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为( )
A B
C D
4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
5．函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)
C．(－4，－1) D．(－3，0)
二、填空题
6．已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
7．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
8．若x3＋ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
10．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1．问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
11．(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )
A．a＝－3，b＝2 B．a＝－3，b＝－3
C．a＝－3，b＞2 D．a＝1，b＝2
12．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
13．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l3，则该正四棱锥体积的取值范围是________．
14．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
15．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1．证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
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