课时分层作业(三十六) 极大值与极小值
一、选择题
1．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0，1) D．(－1，0)
3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A．f是极大值
B．f(－2)是极大值
C．f(2)的极大值
D．f是极小值
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
5．已知a为常数，函数f(x)＝x ln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为( )
A． B．(0，e)
C． D．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________．
7．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值的差为________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断f(x)在x＝±1处取得极大值还是极小值，并说明理由．
11．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则等于( )
A． B．
C． D．
12．(多选题)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
13．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
14．已知函数f(x)＝xe2x－1，则函数f(x)的极小值为________，零点有________个．
15．已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f(x)无极值？
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0．
1 / 3课时分层作业(三十六)
1．D ［f'(x)＝＝0，得x＝2，当x∈(0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f'(x)>0．因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D．］
2．D ［∵f'(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，则f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1
0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．］
3．A ［对于A选项，当－20，f(－2)是极小值，B选项错误；对于C选项，当2时，f'(x)>0，f(2)是极小值，C选项错误；对于D选项，由于函数y＝f(x)为可导函数，且f'不是极小值，D选项错误．故选A．］
4．B ［∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，∴y'＝3x2＋2bx＋c．
又x＝1，3是y'＝0的两个根，∴∴y＝x3－6x2＋9x，
又y'＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，∴当x＝1时，f(x)极大值＝4，当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B．］
5．A ［f'(x)＝ln x＋2－2ax，x>0，函数f(x)有两个极值，则f'(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)'＝，则有．故选A．］
6．．］
7．［1，5) ［∵f'(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，
即f'(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根．又函数f'(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－．∴应满足∴1a<5．］
8．4 ［函数f(x)求导得f'(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2取得极值，所以f'(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0．①
又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
所以f'(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②
联立①②可得a＝－1，b＝0，所以f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当f'(x)>0时，x<0或x>2；当f'(x)<0时，09．解：因为f(x)＝x3－4x＋4，所以f'(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f'(x)＝0，解得x＝－2或x＝2．当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示．
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－2)＝；
当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)＝－．
10．解：f'(x)＝3ax2 ＋2bx＋c．
(1)法一：∵f(x)在x＝±1处取得极值，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝．
法二：由f'(1)＝f'(－1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0， ①
3a－2b＋c＝0， ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝．
(2)由(1)知f(x)＝x，∴f'(x)＝(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时f'(x)>0，当－1在(－1，1)上单调递减．∴当x＝－1时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值．
11．C ［函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f'(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，．］
12．BCD ［因为函数f(x)＝aln x＋
即故选BCD．］
13．0 4e-2 ［由题意知f'(x)＝［x2＋(2－m)x－2m］ex．由f'(0)＝－2m＝0，解得m＝0．则f(x)＝x2ex，f'(x)＝(x2＋2x)ex，令f'(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值，且有f(－2)＝4e-2．］
14．－
，
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x －
f'(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极小值为f －1，f(x)＝0 e2x＝的图象的交点个数，如图所示．
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f(x)只有一个零点．］
15．解：(1)∵f(x)＝，∴f'(x)＝．要使f(x)无极值，只需f'(x)0或f'(x)0恒成立即可．设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，∵ex>0，∴f'(x)与g(x)同号．
∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)0恒成立，∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)20，解得k＝4，∴当k＝4时，f(x)无极值．
(2)由(1)知k≠4，令f'(x)＝0，得x1＝2，x2＝．①当<2，即k<4时，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 2 (2，＋∞)
f'(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由题意知f＝0，可得2·＋k＝0，∴k＝0，满足k<4．
②当>2，即k>4时，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 2
f'(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由题意知f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，∴k＝8，满足k>4．综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0．
4 / 4