【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.2.1 4.2.2 第2课时 等差数列的性质 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

第2课时　等差数列的性质
学习任务 核心素养
1．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点) 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1．通过对等差数列性质的学习，培养数学运算素养． 2．借助对等差数列的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
如图，第一层有1个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点1　等差数列的图象
等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以___________为斜率的直线上，是这条直线上的一系列孤立的点．
1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
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知识点2　等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝______．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．
(4){an}的公差为d，则d>0 {an}为____数列；
d<0 {an}为____数列；d＝0 {an}为常数列．
2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
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1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　)
A．20　　　B．22　　　C．24　　　D．26
2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．
类型1　灵活设元解等差数列
【例1】　已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
[思路探究]　前三项可以设为a－d，a，a＋d，也可以直接用“通法”解决．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　等差数列的设项方法与技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列．
(2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．
(3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．
[跟进训练]
1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
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类型2　等差数列的实际应用
【例2】　某公司2024年生产一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题．
[跟进训练]
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往路程为14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费________元．
类型3　等差数列的性质
【例3】　(1)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)
A．32　 　　B．27　　 　C．24　　 　D．16
(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15．
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2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8．
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　等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：在等差数列{an}中，
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．14
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
3．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
4．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
等差数列有哪些常见的性质？
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