第2课时 等差数列前n项和的性质
学习任务 核心素养
1．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．借助等差数列前n项和Sn性质的应用，培养逻辑推理素养． 2．通过应用裂项相消法求和，培养数学运算素养．
1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0)．
反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？
知识点 等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，_______，S3n－S2n，________，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
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(3)在等差数列{an}中，数列为等差数列．
在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
类型1 “片段和”的性质
【例1】 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110．
[思路探究] (1)可利用方程(组)思想求解．
(2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列的前11项的和求解．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
本题可从不同角度应用等差数列的性质(如通性通法，运用Sn和an之间的关系，运用前n项和“片段和”的性质，使用性质也是等差数列，前n项和Sn＝An2＋Bn表示的特点等)，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决．
[跟进训练]
1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．
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类型2 裂项相消法求和
【例2】 在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求．
[尝试解答] ________________________________________________________
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1.裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
2．常见数列的裂项方法
数列(n为正整数) 裂项方法
(k为非零常数) ＝
＝
＝
loga＝ loga(n＋1)－logan
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn.
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类型3 有限项等差数列前n项和的
性质及比值问题
【例3】 (1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝( )
A． B． C． D．
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．
1．a7，b7能分别用Sn，Tn表示吗？
2．在等差数列中，偶数项的和S偶与奇数项的和S奇之间的关系能用公差d表示吗？
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求的值．
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2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求的值．
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3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“”，求的值．
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等差数列前n项和计算的两种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
1．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( )
A．160 B．180 C．200 D．220
2．已知数列的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝( )
A．350 B．351
C．674 D．675
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( )
A．25 B．22
C．20 D．15
4．数列的前100项的和为________．
5．等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99．
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
等差数列前n项和的常用性质有哪些？
1 / 5第2课时 等差数列的性质
学习任务 核心素养
1．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点) 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1．通过对等差数列性质的学习，培养数学运算素养． 2．借助对等差数列的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
如图，第一层有1个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点1 等差数列的图象
等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一系列孤立的点．
1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
[提示] 等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)的直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝．
知识点2 等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(4){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
[提示] 不一定．如非零常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3．
1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为( )
A．20 B．22 C．24 D．26
C [∵{an}为等差数列，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，
a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24，
则2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24．]
2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．
15 [由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15．]
类型1 灵活设元解等差数列
【例1】 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
[思路探究] 前三项可以设为a－d，a，a＋d，也可以直接用“通法”解决．
[解] 法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，解得a＝6．
又前三项的乘积为66，
∴6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5．
由于该数列单调递减，∴d＝－5，且首项为11，
∴通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16．
令－5n＋16＝－34，解得n＝10．
∴－34是数列{an}的第10项．
法二：依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d＜0．故a1＝11，d＝－5．
∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16．
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，解得n＝10．
∴－34是数列{an}的第10项．
等差数列的设项方法与技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列．
(2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．
(3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．
[跟进训练]
1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
[解] 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d．
由已知有
整理得
解得a＝1，d＝±．
当d＝时，这5个数分别是－，1，；
当d＝－时，这5个数分别是，1，，－．
综上，这5个数分别是－，1，或，1，，－．
类型2 等差数列的实际应用
【例2】 某公司2024年生产一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？
[解] 记2024年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损．
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n．
由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11，
即从第12年起，也就是从2035年开始，该公司生产此产品将出现亏损．
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题．
[跟进训练]
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往路程为14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费________元．
23.2 [根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]
类型3 等差数列的性质
【例3】 (1)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝( )
A．32 B．27 C．24 D．16
(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
(1)C (2) [(1)法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq．
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
(2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，
则b＝2－＝．
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，∴这个等差数列的顺序为，c，d，．
则c＝，d＝．
∴m＝ab＝，n＝cd＝．
∴|m－n|＝＝．]
[母题探究]
1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15．
[解] 法一：因为a5，a10，a15成等差数列，
所以a5＋a15＝2a10．
所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32．
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，
所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝．
所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32．
2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8．
[解] 法一：∵在等差数列{an}中
a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450．
解得a5＝90．
∴a2＋a8＝2a5＝180．
法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．根据an＝a1＋(n－1)d，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450．∴a1＋4d＝90．
而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180．
等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：在等差数列{an}中，
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A．5 B．8 C．10 D．14
B [由a3＋a5＝a1＋a7可得a7＝10－2＝8．]
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5．]
3．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
A [∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3．方程中Δ＝(a4＋a6)2－4×10＝(2a5)2－40＝(2×3)2－40＝－4＜0．∴方程无实根．]
4．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)20．
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2．]
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
等差数列有哪些常见的性质？
[提示] (1) an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq．
特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak．
②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(3)下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．如a1，a3，a5，…组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，…，a5n－2，…组成公差为5d的等差数列．
课时分层作业(二十三) 等差数列的性质
一、选择题
1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
C [由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3．]
2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [∵2an＝an－1＋an＋1，
∴{an}是等差数列，
由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
∴a3＋a4＝3＋4＝7．]
3．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39 B．20
C．19.5 D．33
D [由等差数列的性质，得
a1＋a4＋a7＝3a4＝45，
a2＋a5＋a8＝3a5＝39，
a3＋a6＋a9＝3a6．
又3a5×2＝3a4＋3a6，
解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33．]
4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝( )
A．6 B．7
C．8 D．10
B [设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{an}，公差为d，则a2＝2 500，a5＝4 000．
由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500．
由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7．]
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．这个问题中，甲所得为( )
A．钱 B．钱
C．钱 D．钱
B [根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， ①
a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， ②
联立①②得a＝1，d＝－，则甲所得为1－2×＝钱．]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________．
132 [在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．]
7．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________．
2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．]
8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________．
18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝．
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，
∴a9＝7．
故d＝＝＝．
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，
∴13－7＝(k－9)×，
∴k＝18．]
三、解答题
9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28．求数列{an}的通项公式．
[解] 法一：设{an}的首项为a1，公差为d，
则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d．
代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±．
当d＝时，a1＝－，an＝n－；
当d＝－时，a1＝，an＝－n＋．
法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，
∴a8＝4．
a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，
∴16－25d2＝7，
∴d＝±．
当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－；
当d＝－时，an＝－n＋．
法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，
∴a8＝4，∴
∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，
∴或
由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，
∴an＝a3＋(n－3)d＝n－．
同理，由a3＝7，a13＝1，
得an＝－n＋．
10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 法一：设这三个数为a，b，c(a解得
∴这三个数为4，6，8．
法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4，6，8．
11．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为( )
A．个 B．个
C．个 D．个
C [易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d(d＞0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝．故最小一份的量为个，故选C．]
12．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
15 [不妨设A＝120°，c则a＝b＋4，c＝b－4，
于是cos 120°＝＝－，
解得b＝10，
所以S△ABC＝bc sin 120°＝15．]
13．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a3＋b3＝________，an＋bn＝________．
100 100 [设两个等差数列的公差分别为d1，d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2，
即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0．∴a3＋b3＝a1＋b1＝100，∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn}是常数列，即an＋bn＝100．]
14．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
[n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝．]
15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场平均出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
甲 乙
请根据提供的信息，回答下列问题：
(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10．
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn．
(1)由a1＝1，a6＝2，
得
∴ a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，
得
∴ b2＝26．
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2．
∴第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只．
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，
∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．
(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1n6，n∈N*)，
bn＝30＋(n－1)×(－4)
＝－4n＋34(1n6，n∈N*)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1n6，n∈N*)．
∵对称轴为n＝，∴当n＝2时，cn最大．
即第2年的规模最大．
1 / 14第2课时 等差数列前n项和的性质
学习任务 核心素养
1．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．借助等差数列前n项和Sn性质的应用，培养逻辑推理素养． 2．通过应用裂项相消法求和，培养数学运算素养．
1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0)．
反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？
知识点 等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
[提示] (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d．
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
(3)在等差数列{an}中，数列为等差数列．
在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
B [∵，
∴．
∴n＝10．故选B．]
类型1 “片段和”的性质
【例1】 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110．
[思路探究] (1)可利用方程(组)思想求解．
(2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列的前11项的和求解．
[解] 法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则
解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×
＝－110．
法二：∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，
∴a11＋a100＝－2．
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝＝－110．
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，
∴设该数列的公差为d，其前10项和为S10＋S20－S10＋…＋S100－S90＝S100＝10×100＋d＝10，解得d＝－22．
∴S110＝11×100＋×(－22)＝－110．
法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，则(n－1)．
∴数列是等差数列，其公差为．
∴＝(100－10)×，
且＝(110－100)×．
代入已知数值，消去d，可得S110＝－110．
法五：令Sn＝An2＋Bn．由S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝1102A＋110B＝1102×＝－110．
本题可从不同角度应用等差数列的性质(如通性通法，运用Sn和an之间的关系，运用前n项和“片段和”的性质，使用性质也是等差数列，前n项和Sn＝An2＋Bn表示的特点等)，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决．
[跟进训练]
1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．
[解] 在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210．
类型2 裂项相消法求和
【例2】 在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求．
[解] ∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴Sn＝na1＋d
＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，
∴，
∴
＝…
＝.
1.裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
2．常见数列的裂项方法
数列(n为正整数) 裂项方法
(k为非零常数) ＝
＝
＝
loga＝ loga(n＋1)－logan
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn.
[解] an＝＝，
∴Sn＝＋…＋
＝
＝＝，∴Sn＝.
类型3 有限项等差数列前n项和的
性质及比值问题
【例3】 (1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝( )
A． B． C． D．
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．
1．a7，b7能分别用Sn，Tn表示吗？
[提示] a7＝T13．
2．在等差数列中，偶数项的和S偶与奇数项的和S奇之间的关系能用公差d表示吗？
[提示] S偶－S奇＝nd(项数为2n项时)．
(1)A (2)5 [(1)因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和，
∴．
(2)法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d，
则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5．
法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，
则
解得
∴6d＝192－162＝30，
∴d＝5．
法三：由题意知
由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得
(177－3d)×32＝(177＋3d)×27，解得d＝5．]
[母题探究]
1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求的值．
[解] ∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
∴原式＝
＝．
2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求的值．
[解] 由条件，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2．
∴an＝(6n－1)k(n2)，bn＝(4n－2)k(n2)，
∴．
3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“”，求的值．
[解]
＝．
等差数列前n项和计算的两种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
1．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( )
A．160 B．180 C．200 D．220
B [a1＋a2＋a3＝3a2＝－24 a2＝－8，
a18＋a19＋a20＝3a19＝78 a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180．]
2．已知数列的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝( )
A．350 B．351
C．674 D．675
A [当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1－1＝2；
当n2时，an＝Sn－Sn－1＝＝2n＋1．
a1＝2不适合上式，∴an＝
因此，a1＋a3＋a5＋…＋a25＝2＋＝350．]
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( )
A．25 B．22
C．20 D．15
C [法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C．
法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5 ①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45 ②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C．]
4．数列的前100项的和为________．
[∵．∴S100＝1－．]
5．等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99．
[解] 令a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A．
a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B．
那么
解得B＝85，A＝60，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
等差数列前n项和的常用性质有哪些？
[提示] (1)数列{an}为等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍．
(3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，；若项数为2n－1(n∈N*)，
则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，．
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则．
(5)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为原公差的．
课时分层作业(二十五) 等差数列前n项和的性质
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
B [等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝( )
A．110 B．150
C．210 D．280
D [∵等差数列{an}前n项和为Sn，
∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
∴S30＝150．
又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
∴S40＝280．故选D．]
3．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝( )
A． B．
C． D．
D [因为{an}和{bn}是等差数列，所以，又S21＝21a11，T21＝21b11，
故令n＝21有，即，所以，故选D．]
4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
C [由题知S偶－S奇＝5d，∴d＝＝3．]
5．＝( )
A．
B．
C．
D．
C [通项an＝，
∴原式＝
＝
＝．]
二、填空题
6．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．
5 [∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5．]
7．已知数列的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列的通项公式为________．
an＝ [而S1＝1－2＋2＝1，
当n2时，Sn－Sn－1＝n2－2n＋2－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3．又a1＝1不适合上式，
故an＝]
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16＝________．
120 [因为等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，
所以S9＝9a5＝54，3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝120．]
三、解答题
9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．
[解] 法一：．
法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列，
∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n．
又，∴令Sn＝tn(2n＋1)，
Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R．
∴an＝Sn－Sn－1
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n2)，
bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)
＝t(6n－5)(n2)．
∴(n2)，
∴．
10．已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d．
因为bn＝
所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6．
因为S4＝32，T3＝16，
所以
整理，得解得
所以{an}的通项公式为an＝2n＋3．
(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，
所以Sn＝＝n2＋4n，
bn＝
当n为奇数时，
Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＝．当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＞0，
所以Tn＞Sn．
当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝．
当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＞0，
所以Tn＞Sn．
综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn．
11．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S10＞0，a6＜0，则( )
A．数列的最小项为第6项
B．－＜d＜－4
C．a5＞0
D．Sn＞0时，n的最大值为5
ABC [由题意S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＞0，又a6＜0，所以a5＞0，故选项C正确；
由a3＝12，且a5＞0，a6＜0，a5＋a6＞0，得解得－＜d＜－4，选项B正确；
由题意当1n5时，an＞0，当n6时，an＜0，
所以S10＞0，S11＝11a6＜0，故Sn＞0时，n的最大值为10，故选项D错误；
由于d＜0，数列{an}是递减数列，当1n5时，an＞0，当n6时，an＜0；
当1n10时，Sn＞0，当n11时，Sn＜0，
所以当1n5时，＞0，当6n10时，＜0，当n11时，＞0，
故数列中最小的项为第6项，选项A正确．]
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
B [Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14．]
13．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
8 [∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，
∴a8>0，a9<0．
∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．]
14．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是___________，共有________项．
11 7 [设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]
15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
[解] (1)设{an}的公差为d，则
解得a1＝13，d＝－2．
所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n．
(2)由(1)得|an|＝
当n7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
当n8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2．
综上，Tn＝
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