4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习任务 核心素养
1．理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点) 2．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过对等比数列的通项公式的学习及应用，培养数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养．
我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”
1．你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
2．对上述数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)
知识点1 等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的____，公比通常用字母q表示
符号语言 ＝_(q为常数，q≠0，n∈N*)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． ( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． ( )
(3)常数列一定为等比数列． ( )
2．下列数列是等比数列的是( )
A．3，9，15，21，27
B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．
D．4，－8，16，－32，64
知识点2 等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝_________．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
3．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．
[知识拓展] 等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
类型1 等比数列的判断与证明
【例1】 【链接教材P155例1】
已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
1．如何由Sn＝2n＋a得到an
2．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求出{an}的通项公式．
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2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证：数列{an}是等比数列．
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有关等比数列的判断证明方法
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
中项公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
类型2 等比数列通项公式的基本运算
【例2】 【链接教材P158例4】
已知等比数列{an}．
(1)若a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
[尝试解答] _________________________________________________________
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1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟进训练]
1．已知等比数列{an}．
(1)若an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)若a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
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类型3 等比数列定义与通项公式的综合应用
【例3】 在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1(n∈N*)，且a2·a5＝．
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
[尝试解答] _________________________________________________________
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1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
[跟进训练]
2．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式及项的最值．
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1．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于( )
A． B．
C．－ D．或－
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
3．在等比数列{an}中，若a3＝3，a4＝6，则a5＝________．
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
5．(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列．
(1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式；
(2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等比数列的定义与通项公式是什么？
2．判断一个数列是等比数列的方法有哪些？
1 / 54.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习任务 核心素养
1．理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点) 2．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过对等比数列的通项公式的学习及应用，培养数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养．
我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”
1．你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
2．对上述数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)
知识点1 等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示
符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． ( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． ( )
(3)常数列一定为等比数列． ( )
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，根据等比数列的定义知此说法错误；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．下列数列是等比数列的是( )
A．3，9，15，21，27
B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．
D．4，－8，16，－32，64
D [ABC均不满足定义中＝q，只有D满足＝－2．故选D．]
知识点2 等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝a1·qn-1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
3．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．
8 [由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2．又a1＝2，∴a3＝2×22＝8．]
[知识拓展] 等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
类型1 等比数列的判断与证明
【例1】 【链接教材P155例1】
已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
1．如何由Sn＝2n＋a得到an
[提示] 利用an＝Sn－Sn－1(n2)．
2．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示] 能．数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．
[解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n2)．当n2时，＝＝2；
当n＝1时，＝＝．
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求出{an}的通项公式．
[解] (1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n．
2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证：数列{an}是等比数列．
[证明] ∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an．
又∵S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，∴{an}是等比数列．
【教材原题·P155例1】
判断下列数列是否为等比数列：
(1)1，1，1，1，1；
(2)0，1，2，4，8；
(3)1，－，－．
[解] (1)所给数列是首项为1，公比为1的等比数列．
(2)因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．
(3)所给数列是首项为1，公比为－的等比数列．
有关等比数列的判断证明方法
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
中项公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
类型2 等比数列通项公式的基本运算
【例2】 【链接教材P158例4】
已知等比数列{an}．
(1)若a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
[解] 设等比数列{an}首项为a1，公比为q．
(1)法一：因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn-1＝2．
法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝．
所以an＝a4qn-4＝2·(．
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32，
又an＝1，∴32×＝1．
即26-n＝20，所以n＝6．
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝．
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．
由an＝a1qn-1＝1，知n＝6．
【教材原题·P158例4】
在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an．
[解] (1)由等比数列的通项公式，得
a6＝3×(－2)6-1＝－96．
(2)设等比数列的公比为q，那么
解得
所以an＝a1qn-1＝5×2n-1．
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟进训练]
1．已知等比数列{an}．
(1)若an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)若a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
[解] (1)∵an＝a1·qn-1＝128，a1＝4，q＝2，
∴4·2n-1＝128，
∴2n-1＝32，
∴n－1＝5，n＝6．
(2)∵an＝a1·qn-1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝＝＝5．
(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2．
当q＝2时，an＝a1qn-1＝2·2n-1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn-1＝2·(－2)n-1＝(－1)n-12n，
∴数列{an}的公比q为2或－2，
对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n-12n．
类型3 等比数列定义与通项公式的综合应用
【例3】 在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1(n∈N*)，且a2·a5＝．
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
[解] (1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝．
又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1≠0，
∴数列{an}是以为公比的等比数列．
∴an＝a1·qn-1＝a1·．
∴a2＝a1·＝a1，a5＝a1·＝a1，又∵a2·a5＝a1·a1＝＝．
又∵a1＜0，∴a1＝－．
∴an＝＝－(n∈N*)．
(2)令an＝－＝－，
则n－2＝4，n＝6∈N*，
∴－是这个等比数列中的项，且是第6项．
1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
[跟进训练]
2．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式及项的最值．
[解] (1)根据根与系数的关系，得
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得＝3．
所以an＋1＝an＋．
(2)证明：因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝．
若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0，
可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0．
此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0，
所以an≠，
即an－≠0．
所以数列是以为公比的等比数列．
(3)当a1＝时， a1－＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以an－＝＝，
所以an＝，n＝1，2，3，…，
即数列{an}的通项公式为an＝，n＝1，2，3，…．
由函数y＝在(0，＋∞)上单调递减知当n＝1时，an的值最大，即最大值为a1＝，无最小值．
1．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于( )
A． B．
C．－ D．或－
C [由解得或
又a1＜0，因此q＝－．]
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
B [因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9．]
3．在等比数列{an}中，若a3＝3，a4＝6，则a5＝________．
12 [由q＝＝＝2，所以a5＝a4q＝12．]
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
4n-1 [由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n-1．]
5．(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列．
(1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式；
(2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
[解] (1)由等比数列的通项公式可知，
这是一个关于a1和q的方程组，②÷①得q3＝27，即q＝3．
因此，a1＝．
因此，数列{an}的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2．
(2)由等比数列的通项公式，得an＝a1qn-1＝125×＝54-n．
又an＝3.2×10-4＝5-5，
因此，54-n＝5-5，得n＝9．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等比数列的定义与通项公式是什么？
[提示] 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，其通项公式为an＝a1·qn-1．
2．判断一个数列是等比数列的方法有哪些？
[提示] (1)定义法：利用＝q(q为常数且不为零，n∈N*)；
(2)中项公式法：利用＝anan＋2(n∈N*且an≠0)；
(3)通项公式法：利用an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)．
课时分层作业(二十六) 等比数列的概念及通项公式
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2 026＝8a2 025，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
D [因为a2 026＝8a2 025，
所以a1q2 025＝8a1·q2 024，
解得q＝8．]
2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝( )
A． B．
C． D．
A [由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝＝＝＝．]
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－是此数列的( )
A．第2项 B．第4项
C．第6项 D．第8项
B [由题意知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1(舍)或x＝－4，
∴首项为－4，公比为．
∴由－4×＝－，解得n＝4．]
4．已知－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( )
A． B．－
C．或－ D．
A [由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1．
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2．
若设公比为q，则b2＝(－1)·q2，∴b2＜0，∴b2＝－2，
∴＝＝．]
5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝( )
A．24 B．36
C．48 D．54
D [因为a1·a3＝36，且为各项是正数的等比数列，得a2＝6，所以由于为递增的等比数列，可得∴q2＝＝9．∵an＞0，∴q＝3．∴a4＝a1q3＝2×33＝54．故选D．]
二、填空题
6．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
－2 [设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1． ①
又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8， ②
所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．]
7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
27，81 [设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3．
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．]
8．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64 [设等比数列的公比为q，由得解得所以a1a2…an＝q1+2+…＋(n-1)＝8n×＝2－n2＋n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项．
[解] 由a4＝48，a6＝12，得
②的两边分别除以①的两边，得q2＝．
解得q＝或－．
把q＝代入①，得a1＝384．
此时a5＝a1q4＝384×＝24．
把q＝－代入①，得a1＝－384．
此时a5＝a1q4＝－384×＝－24．
因此，{an}的第5项是24或－24．
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意可得a2＝，a3＝．
(2)由－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝．
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝(n∈N*)．
11．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A．＋1 B．3＋2
C．3－2 D．2－3
C [设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3，2a2成等差数列，
则2×＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q．
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，
解得 q＝1±．
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋．
所以＝＝＝＝3－2．]
12．(多选题)有下列四个说法，正确的是( )
A．等比数列中的每一项都不可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
AC [对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．因此，正确的说法有AC，故选AC．]
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
－1 [∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0． ①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1． ②
由①②解得a1＝，d＝－1．]
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b－c，c－a ，b－a成等比数列，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
[因为b－c，c－a ，b－a成等比数列，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2．因为b＞a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)．]
15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an．
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)．
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴＝2·．
又当n＝1时，S1＝a1＝1，∴＝1．
故是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知＝4·且an＝Sn－1(n2)．
于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n2)，
又∵a2＝3S1＝3，
故S2＝a1＋a2＝4a1．
因此对于任意正整数n1，
都有Sn＋1＝4an．
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