4.4 数学归纳法
学习任务 核心素养
1．了解数学归纳法的原理．(难点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过对数学归纳法定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过对数学归纳法的应用，培养逻辑推理素养．
在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．
你认为第二个条件的作用是什么？
知识点 数学归纳法
(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：
①证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
②假设当n＝k(kn0，k∈N*)时命题成立，证明当_______时命题也成立．
根据①②就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法．
(2)数学归纳法的框图表示
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推． ( )
(2)用数学归纳法证明3nn2(n3，n∈N*)，第一步验证n＝3． ( )
(3)设Sk＝，则Sk＋1＝． ( )
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，计算左边所得的项是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( )
A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1)
C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4)
类型1 用数学归纳法证明等式
【例1】 【链接教材P171例3】
(1)用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn+1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是( )
A．1 B．1＋q
C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3
(2)用数学归纳法证明：
(n∈N*)．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1时证明目标的表达式变形．
[跟进训练]
1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 归纳—猜想—证明
【例2】 【链接教材P173例4】
已知数列的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[跟进训练]
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
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类型3 用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明1＋＋n(n∈N*)．
[尝试解答] _________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，再作等价变换；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论．
[跟进训练]
3．用数学归纳法证明不等式：1＋<(n∈N*)．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4 用数学归纳法解决平面几何问题
【例4】 【链接教材P174例5】
求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n4，n∈N*．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．
[跟进训练]
4．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须满足( )
A．n∈N*
B．n∈N*，n2
C．n∈N*，n3
D．n∈N*，n4
2．用数学归纳法证明1＋<2－(n2，n∈N*)时，第一步需要证明( )
A．1<2－
B．1＋<2－
C．1＋<2－
D．1＋<2－
3．用数学归纳法证明f(n)＝的过程中，f(k＋1)－f(k)＝________．
4．用数学归纳法证明＞．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
5．用数学归纳法证明：当n2，n∈N*时，．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
用数学归纳法证明数学命题的步骤是什么？
1 / 64.4 数学归纳法*
学习任务 核心素养
1．了解数学归纳法的原理．(难点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过对数学归纳法定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过对数学归纳法的应用，培养逻辑推理素养．
在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．
你认为第二个条件的作用是什么？
知识点 数学归纳法
(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：
①证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
②假设当n＝k(kn0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
根据①②就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法．
(2)数学归纳法的框图表示
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1
[提示] 不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推． ( )
(2)用数学归纳法证明3nn2(n3，n∈N*)，第一步验证n＝3． ( )
(3)设Sk＝，则Sk＋1＝． ( )
[提示] (1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，计算左边所得的项是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C [当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确．]
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( )
A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1)
C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4)
C [当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C．]
类型1 用数学归纳法证明等式
【例1】 【链接教材P171例3】
(1)用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn+1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是( )
A．1 B．1＋q
C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3
(2)用数学归纳法证明：
(n∈N*)．
(1)C [当n＝1时，左边＝1＋q＋q1+1＝1＋q＋q2．]
(2)[证明] ①当n＝1时，成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有
，
则当n＝k＋1时，，即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．
【教材原题·P171例3】
用数学归纳法证明：当n∈N*时，
12＋22＋32＋…＋n2＝．
[证明] (1)当n＝1时，
12＝1，＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝，
那么，当n＝k＋1时，有
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*，等式都成立．
用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1时证明目标的表达式变形．
[跟进训练]
1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)．
[证明] ①当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
[(k＋1)＋1]·[(k＋1)＋2]·…·[(k＋1)＋(k＋1)]＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)＝2×2k×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝2k+1×1×3×…×(2k－1)×[2(k＋1)－1]，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立．
类型2 归纳—猜想—证明
【例2】 【链接教材P173例4】
已知数列的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
[解] S1＝；
S2＝；
S3＝；
S4＝．
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1．
于是可以猜想Sn＝．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，
右边＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
，
则当n＝k＋1时，
＋ ＋ ＋…＋ ＋
＝ ＋ ＝＝ ＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．
【教材原题·P173例4】
设n∈N*，f(n)＝5n＋2×3n-1＋1．
(1)当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值．
(2)你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
[解] (1)当n＝1时，
f(1)＝51＋2×31-1＋1＝8＝8×1；
当n＝2时，
f(2)＝52＋2×32-1＋1＝32＝8×4；
当n＝3时，
f(3)＝53＋2×33-1＋1＝144＝8×18；
当n＝4时，
f(4)＝54＋2×34-1＋1＝680＝8×85．
(2)猜想：当n∈N*时，f(n)＝5n＋2×3n-1＋1能被8整除．
①当n＝1时，有f(1)＝51＋2×31-1＋1＝8，
能被8整除，命题成立．
②假设当n＝k时命题成立，即f(k)能被8整除，那么，当n＝k＋1时，有f(k＋1)＝5k+1＋2×3(k+1)-1＋1＝5×5k＋6×3k-1＋1
＝(5k＋2×3k-1＋1)＋4(5k＋3k-1)＝f(k)＋4(5k＋3k-1)．
这里，5k和3k-1均为奇数，它们的和(5k＋3k-1)必为偶数，从而4(5k＋3k-1)能被8整除．又依归纳假设，f(k)能被8整除，所以f(k＋1)能被8整除．这就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
根据①和②可知，对任何n∈N*，命题总成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[跟进训练]
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
[解] 当n＝2时，
S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；
当n＝3时，
S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；
当n＝4时，
S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9．
猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：
当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；
假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝2k＋1，Sk＝＝k2＋2k，
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk，
ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1，
所以猜想成立．
综上所述， 对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立．
类型3 用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明1＋＋n(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋ 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋k，则当n＝k＋1时，1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，再作等价变换；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论．
[跟进训练]
3．用数学归纳法证明不等式：1＋<(n∈N*)．
[证明] ①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k1且k∈N*)时，不等式成立，
即1＋<2．
则当n＝k＋1时，
1＋
<2
<．
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立．
类型4 用数学归纳法解决平面几何问题
【例4】 【链接教材P174例5】
求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n4，n∈N*．
[证明] (1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k4，k∈N*)时，命题成立．
即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个．
现在考虑n＝k＋1时的情形．
对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1-B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面．因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立．
由(1)和(2)，可知原结论成立．
【教材原题·P174例5】
在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点．问：这n条直线将平面分成多少个部分？
[解] 记n条直线把平面分成rn个部分，我们通过n＝1，2，3，4，5，画出图形观察rn的情况(图4-4-1)．
从图4-4-1中可以看出，
r1＝2＝1＋1，
r2＝4＝r1＋2＝1＋1＋2，
r3＝7＝r2＋3＝1＋1＋2＋3，
r4＝11＝r3＋4＝1＋1＋2＋3＋4，
r5＝16＝r4＋5＝1＋1＋2＋3＋4＋5．
由此猜想
rn＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n．
接下来用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1，2时，结论均成立．
(2)假设当n＝k时结论成立，即
rk＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋k．
那么，当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点，这k个交点将这条直线分成k＋1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以
rk＋1＝rk＋(k＋1)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋k＋(k＋1)，
结论也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*，都有
rn＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n，
即rn＝1＋．
用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．
[跟进训练]
4．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．
[证明] (1)当n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分，那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，
所以平面上净增加了2k个区域．
所以f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)知命题成立．
1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须满足( )
A．n∈N*
B．n∈N*，n2
C．n∈N*，n3
D．n∈N*，n4
D [当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立，
当n＝4时，64>61不等式成立，
故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须满足n4，n∈N*，故选D．]
2．用数学归纳法证明1＋<2－(n2，n∈N*)时，第一步需要证明( )
A．1<2－
B．1＋<2－
C．1＋<2－
D．1＋<2－
C [用数学归纳法证明1＋<2－(n2，n∈N*)，
第一步应验证不等式1＋<2－．故选C．]
3．用数学归纳法证明f(n)＝的过程中，f(k＋1)－f(k)＝________．
[依题意f(k)＝，f(k＋1)＝，所以f(k＋1)－f(k)＝．]
4．用数学归纳法证明＞．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
＞ [从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为，即不等式为＞．]
5．用数学归纳法证明：当n2，n∈N*时，．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1－，右边＝，
∴n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k2，k∈N*)时等式成立，
，
那么当n＝k＋1时，
＝
＝．∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n2，n∈N*，等式都成立．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
用数学归纳法证明数学命题的步骤是什么？
[提示] (1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)假设当n＝k(kn0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
课时分层作业(三十) 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋<2
C．1＋<3 D．1＋<3
B [因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2．故选B．]
2．用数学归纳法证明1－，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )
A． B．－
C． D．
C [因为当n＝k时，左端＝1－，当n＝k＋1时，左端＝1－．所以，左端应在n＝k的基础上加上．]
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B [由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]
4．利用数学归纳法证明1＋A．1项 B．k项
C．2k-1项 D．2k项
D [用数学归纳法证明不等式1＋假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋，
则当n＝k＋1时，左边＝1＋，
∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了，
共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．]
5．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D [在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D．]
二、填空题
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－时，若已知假设n＝k(k2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．
n＝k＋2时等式成立 [由于n为正偶数，已知假设n＝k(k2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为：n＝k＋2时等式成立．]
7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
(k＋3)3 [假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3．
为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．]
8．已知f(n)＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)－f(2k)＝________．
＝1＋，当n＝k＋1时，f(2k+1)＝1＋，所以f(2k+1)－f(2k)＝1＋
＝．]
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边．
(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，
那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．
综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．
10．(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：(1＋α)n1＋nα(其中α＞－1，n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1＋α，右边＝1＋α，命题成立．
(2)假设当n＝k(k1)时，命题成立，即(1＋α)k1＋kα．
那么，当n＝k＋1时，因为α＞－1，所以1＋α＞0．
根据假设知，(1＋α)k1＋kα，所以
(1＋α)k+1＝(1＋α)k(1＋α)
(1＋kα)(1＋α)
＝1＋(k＋1)α＋kα2．
因为kα20，
所以1＋(k＋1)α＋kα21＋(k＋1)α．
从而(1＋α)k+11＋(k＋1)α．
这表明，当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数n都成立．
11．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
C [若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5时命题成立．
若n＝5不成立，则n＝4时该命题不成立．]
12．(多选题)用数学归纳法证明不等式＞的过程中，下列说法正确的是( )
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
BC [n＝1时，＞不成立，n＝2时，＞成立，所以A错误B正确；当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k＋1时，左边的代数式为，
故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式得，即为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC．]
13．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4 [当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．]
14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________．
π [由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π．]
15．是否存在a，b，c使等式对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
[解] 取n＝1，2，3可得
解得a＝．
下面用数学归纳法证明．
即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，
∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝成立，
则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．
由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立，
故存在a＝使已知等式成立．
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