5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
学习任务 核心素养
1．了解平均变化率的实际背景． 2．理解平均变化率的含义．(重点) 3．会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．(难点) 1．通过对函数的平均变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用平均变化率解释实际问题，培养数学建模的核心素养．
高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
知识点 平均变化率
(1)平均变化率的定义：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“______”．
1．思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，x2－x1一定大于0． ( )
(2)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值的变化量f(x2)－f(x1)可以是正数，也可以是负数或零． ( )
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
类型1 求平均变化率
【例1】 (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
求函数平均变化率的步骤是什么？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[跟进训练]
1．如图，函数y＝f(x)在[1，5]上的平均变化率为( )
A． B．－
C．2 D．－2
2．已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1，0]上的平均变化率为________．
类型2 实际问题中的平均变化率
【例2】 【链接教材P188例1、例2】
(1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
(2)在F1赛车中，赛车位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2，则赛车在[20，20.1]上的平均速度是多少？
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．
[跟进训练]
3．某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 函数平均变化率的应用
【例3】 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系是________．
如何确定的大小关系？
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
在本例中，汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象换为如图所示，则在下列区间上平均速度最大的是( )
A．[0，1] B．
C． D．
平均变化率的绝对值的大小反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．
[跟进训练]
4．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是________．(填序号)
①v甲>v乙；②v甲② [由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则<，
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．]
1．函数f(x)＝x2＋c(c∈R)在区间上的平均变化率为( )
A．2 B．4
C．c D．2c
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
3．若函数f＝x2－c在区间上的平均变化率为4，则m等于( )
A． B．3 C．5 D．16
4．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________．
5．(教材P190练习T3改编)已知函数f(x)＝3x2＋5．
求：(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是什么？
2．平均变化率的几何意义是什么？
1 / 55.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
学习任务 核心素养
1．了解平均变化率的实际背景． 2．理解平均变化率的含义．(重点) 3．会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．(难点) 1．通过对函数的平均变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用平均变化率解释实际问题，培养数学建模的核心素养．
高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
知识点 平均变化率
(1)平均变化率的定义：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
1．思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，x2－x1一定大于0． ( )
(2)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值的变化量f(x2)－f(x1)可以是正数，也可以是负数或零． ( )
[答案] (1)× (2)√
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B [＝＝＝＝4.1，故选B．]
类型1 求平均变化率
【例1】 (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
[解] (1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为
＝＝12.3．
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为＝＝＝3．
求函数平均变化率的步骤是什么？
[提示] 求函数平均变化率的步骤：
(1)求自变量的改变量x2－x1；
(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)；
(3)求平均变化率．
[跟进训练]
1．如图，函数y＝f(x)在[1，5]上的平均变化率为( )
A． B．－
C．2 D．－2
B [＝＝－．故选B．]
2．已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1，0]上的平均变化率为________．
1 [∵f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－5＝－6，f(0)＝－5，
∴＝＝1．]
类型2 实际问题中的平均变化率
【例2】 【链接教材P188例1、例2】
(1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
(2)在F1赛车中，赛车位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2，则赛车在[20，20.1]上的平均速度是多少？
(1)0.4π [∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时，
圆的面积S的平均变化率为＝＝0.4π．]
(2)[解] 赛车在[20，20.1]上的平均速度为
＝
＝＝210.5(m/s)．
【教材原题·P188例1、例2】
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图5-1-2所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
[解] 从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为＝1(kg/月)，
从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为＝＝0.4(kg/月)．
例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙(图5-1-3)，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e-0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10 s内V的平均变化率．
[解] 在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为
≈＝－0.316 1(cm3/s)，
即第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 1 cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少)．
平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．
[跟进训练]
3．某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．
[解] 前5年森林面积的平均变化率为＝0.8(公顷/年)．
后5年森林面积的平均变化率为＝1.6(公顷/年)．
类型3 函数平均变化率的应用
【例3】 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系是________．
如何确定的大小关系？
[提示] 根据平均变化率的几何意义，即转化为直线的斜率进行判断．
＞＞ [＝＝kOA，
＝＝kAB，＝＝kBC，
由图象知，kOA>．]
[母题探究]
在本例中，汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象换为如图所示，则在下列区间上平均速度最大的是( )
A．[0，1] B．
C． D．
D [在区间[0，1]，上时，Δt相同，由图象可知函数在区间上的Δs最大．所以函数f在区间上的平均变化率最大．]
平均变化率的绝对值的大小反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．
[跟进训练]
4．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是________．(填序号)
①v甲>v乙；②v甲② [由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则<，
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．]
1．函数f(x)＝x2＋c(c∈R)在区间上的平均变化率为( )
A．2 B．4
C．c D．2c
B [根据题意，f(x)＝x2＋c，则有＝＝4．]
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
B [＝＝＝2．]
3．若函数f＝x2－c在区间上的平均变化率为4，则m等于( )
A． B．3
C．5 D．16
B [因为＝＝m＋1＝4，所以m＝3．]
4．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________．
2 [＝＝＝2．]
5．(教材P190练习T3改编)已知函数f(x)＝3x2＋5．
求：(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9．
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝＝－5＝6x0Δx＋3(Δx)2．
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是什么？
[提示] 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
2．平均变化率的几何意义是什么？
[提示] (1)平均变化率表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．
课时分层作业(三十一) 平均变化率
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－sin x在[0，π]上的平均变化率为( )
A．1 B．2
C．π D．π2
C [平均变化率为＝＝π．]
2．函数y＝在x＝1到x＝3之间的平均变化率为( )
A． B．－
C．－ D．
C [当x1＝1时，y1＝＝1；当x2＝3时，y2＝；
所以函数y＝在x＝1到x＝3之间的平均变化率为＝＝－．]
3．某物体沿水平方向运动，其前进距离s m与时间t s的关系为s＝5t＋2t2，则该物体在运行前2 s的平均速度为( )
A．18 m/s B．13 m/s
C．9 m/s D． m/s
C [∵s＝5t＋2t2，因此，该物体在运行前2 s的平均速度为＝＝9 m/s．]
4．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
A [因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又由题意知Δx>0，故k1>k2．]
5．函数f＝从1到a的平均变化率为，则实数a的值为( )
A．10 B．9
C．8 D．7
B [f＝从1到a的平均变化率为＝＝，解得实数a的值为9．]
二、填空题
6．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
[由函数f(x)的图象知，f＝
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝．]
7．已知函数y＝sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为________．
k1>k2 [当x∈时，平均变化率k1＝＝，
当x∈时，平均变化率k2＝＝，因为2－<1，所以k1>k2．]
8．函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________．
4 [＝＝a2＋a＋1＝21，解得a＝4或a＝－5．
∵a>1，∴a＝4．]
三、解答题
9．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
[解] ∵函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为
＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx－1，
得Δx－2．
又∵Δx>0，
∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
10．(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5．
①当x1＝4，x2＝5时，求函数增量Δy和平均变化率；
②当x1＝4，x2＝4.1时，求函数增量Δy和平均变化率．
(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx．
＝＝2Δx＋(4x1＋3)．
①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21．
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92．
＝19.2．
(2)在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝
＝＝6＋Δx．
当Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝．
由于k111．设函数f(x)＝2x＋1在区间[－3，－1]上的平均变化率为a，在区间[3，5]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )
A．a>b B．aC．a＝b D．不确定
C [由已知可得a＝＝2，b＝＝2，因此a＝b．]
12．设某产品的总成本函数为C(x)＝1 100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．(精确到0.01)
1.58 [总成本的平均变化率为
＝
＝＝≈1.58．]
13．人体吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了某人服药后c(t)的一些函数值．
t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
服药后30 min～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
－0.002 [由表知c(30)＝0.98，c(70)＝0.90，所以所求平均变化率为＝＝－0.002．]
14．如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．(填序号)
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
③ [在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；
在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为．
因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，
所以>，
故③正确，④错误．]
15．跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
(1)运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
[解] ＝
＝＝0(m/s)，
即运动员在0t这段时间里的平均速度是0 m/s．
(1)运动员在这段时间里显然不是静止的．
(2)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．
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