5.3.2 极大值与极小值
学习任务 核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(难点) 2．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点) 1．通过对极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
知识点1 极大值与极小值
(1)极大值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．
(2)极小值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)极大值一定比极小值大． ( )
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． ( )
(3)单调函数不存在极值． ( )
知识点2 函数极大值、极小值与函数的导数的关系
(1)极大值与导数的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x)＞0 f′(x)＝0 f′(x)＜0
f(x) ? 极大值f(x1) ?
(2)极小值与导数的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x)＜0 f′(x)＝0 f′(x)＞0
f(x) ? 极小值f(x2) ?
2．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
3．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值为( )
A．f(0) B．f
C．f D．f
类型1 不含参数的函数求极值
【例1】 【链接教材P215例4】
求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求出函数的定义域及导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么函数在这个根处不能取得极值．
[跟进训练]
1．求函数f(x)＝3x3－3x＋1的极值．
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类型2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
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求含参数的函数极值的注意点
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
[跟进训练]
2．若函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
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类型3 由极值求参数的值或取值范围
【例3】 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝( )
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
(2)若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－a ln x没有极值，则( )
A．a＝－1 B．a0
C．a＜－1 D．－1＜a＜0
已知函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：若f(x0)是函数的极值，那么f′(x0)＝0，且在x0两侧的导数值异号．
(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f′(x)；
②由f′(x0)＝0，列出方程(组)，求解参数．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)0或f′(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[跟进训练]
3．若函数f(x)＝x(x－m)2在x＝2处取得极大值，求函数f(x)的极大值．
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类型4 极值问题的综合应用
【例4】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
从函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)的图象观察，若方程f(x)＝0有三个不同实根，其极大值与极小值应满足什么条件？
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
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2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
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3．(变条件、变结论)讨论方程＝a的根的情况．
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利用导数求函数零点的个数
(1)利用导数可以判断函数的单调性；
(2)研究函数的极值情况；
(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；
(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数．若含有参数，则需要讨论极值的正负．
1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1，2)上函数f(x)单调递增
B．在(3，4)上函数f(x)单调递减
C．在(1，3)上函数f(x)有极大值
D．f(3)是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值
2．设函数f(x)＝xex，则( )
A．f(1)为f(x)的极大值
B．f(1)为f(x)的极小值
C．f(－1)为f(x)的极大值
D．f(－1)为f(x)的极小值
3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．极大值与极小值的概念是什么？
2．求函数的极值的步骤是什么？
1 / 65.3.2 极大值与极小值
学习任务 核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(难点) 2．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点) 1．通过对极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
知识点1 极大值与极小值
(1)极大值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．
(2)极小值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)极大值一定比极小值大． ( )
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． ( )
(3)单调函数不存在极值． ( )
[提示] (1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；
(2)有的函数可能没有极值，∴(2)错误；
(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点2 函数极大值、极小值与函数的导数的关系
(1)极大值与导数的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x)＞0 f′(x)＝0 f′(x)＜0
f(x) ? 极大值f(x1) ?
(2)极小值与导数的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x)＜0 f′(x)＝0 f′(x)＞0
f(x) ? 极小值f(x2) ?
2．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
BC [对于A，y′＝3x20，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴在x＝0处取得极小值；对于C，根据图象(图略)知，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]
3．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值为( )
A．f(0) B．f
C．f D．f
B [f′(x)＝1－2sin x．
令f′(x)＝0，解得sin x＝．
∵x∈，
∴x＝．故当x∈[0，)时，f′(x)>0；当x∈(时，f′(x)<0．
∴f是f(x)在上的极大值．]
类型1 不含参数的函数求极值
【例1】 【链接教材P215例4】
求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2．
[解] (1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ? 无极值 ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝3时，y极大值＝f(3)＝108；
当x＝5时，y极小值＝f(5)＝0．
【教材原题·P215例4】
求f(x)＝x2－x－2的极值．
[解] f′(x)＝2x－1．令f′(x)＝0，解得x＝．
列表如表5-3-3所示．
表5-3-3
x 左侧 右侧
f′(x) — 0 ＋
f(x) ? 极小值f ?
因此，当x＝时，f(x)有极小值f ＝－．
求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求出函数的定义域及导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么函数在这个根处不能取得极值．
[跟进训练]
1．求函数f(x)＝3x3－3x＋1的极值．
[解] f′(x)＝9x2－3，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －∞，－ － －， ，＋∞
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
根据上表可知，当x＝－时，函数f(x)有极大值为f＝1＋；
当x＝时，函数f(x)有极小值为f＝1－．
类型2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
[解] ∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝．
①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝时，函数f(x)取得极大值，为f＝；
当x＝时，函数f(x)取得极小值，为f＝0．
②当a＜0时，＜，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝时，函数f(x)取得极大值，为f＝0；
当x＝时，函数f(x)取得极小值，为f＝．
综上，当a＞0时，函数f(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；
当a＜0时，函数f(x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值．
求含参数的函数极值的注意点
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
[跟进训练]
2．若函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝．
①当a0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a．
当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0．
故f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－a ln a，无极大值．
综上可知，当a0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
类型3 由极值求参数的值或取值范围
【例3】 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝( )
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
(2)若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－a ln x没有极值，则( )
A．a＝－1 B．a0
C．a＜－1 D．－1＜a＜0
(1)C (2)A [(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b．
由题意得
即
解得或
当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)20，故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意．
∴a＝4．故选C．
(2)f′(x)＝(x－1)，x＞0，
当a0时，＋1＞0，
令f′(x)＜0，得0＜x＜1；
令f′(x)＞0，得x＞1．f(x)在x＝1处取极小值，不符合题意．
当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，
①若a＝－1，此正数解x＝1，此时f′(x)＝0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，符合题意．
②若a≠－1，此正数解x≠1，f′(x)＝0必有2个不同的正数解，f(x)存在2个极值，不符合题意．综上，a＝－1．故选A．]
已知函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：若f(x0)是函数的极值，那么f′(x0)＝0，且在x0两侧的导数值异号．
(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f′(x)；
②由f′(x0)＝0，列出方程(组)，求解参数．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)0或f′(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[跟进训练]
3．若函数f(x)＝x(x－m)2在x＝2处取得极大值，求函数f(x)的极大值．
[解] ∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0，
∴(m－2)(m－6)＝0，
即m＝2或m＝6．
①当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，
由f′(x)＞0，得x＜或x＞2；
由f′(x)＜0，得＜x＜2．
∴f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意，故m＝2舍去．
②当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，
由f′(x)＞0，得x＜2或x＞6；
由f′(x)＜0，得2＜x＜6．
∴f(x)在x＝2处取得极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32．
即函数f(x)的极大值为32．
类型4 极值问题的综合应用
【例4】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
从函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)的图象观察，若方程f(x)＝0有三个不同实根，其极大值与极小值应满足什么条件？
[提示] 要使f(x)＝0有三个不同实根，则其有极大值大于0，极小值小于0．
[解] 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1
当x>1时，f′(x)>0．
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a．
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2[母题探究]
1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2．
2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
[解] 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2．
故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
3．(变条件、变结论)讨论方程＝a的根的情况．
[解] 令f(x)＝，则定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝．
令f′(x)＝0，得x＝e．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ?
因此极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值点．其图象如图．
综上，当0＜a＜时，＝a有两个不同的根；
当a＝或a0时，＝a只有一个根；
当a＞时，＝a没有实数根．
利用导数求函数零点的个数
(1)利用导数可以判断函数的单调性；
(2)研究函数的极值情况；
(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；
(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数．若含有参数，则需要讨论极值的正负．
1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1，2)上函数f(x)单调递增
B．在(3，4)上函数f(x)单调递减
C．在(1，3)上函数f(x)有极大值
D．f(3)是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值
D [由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，
∴f(2)是函数f(x)的极大值，f(4)是函数f(x)的极小值，故A，B，C正确，D错误．]
2．设函数f(x)＝xex，则( )
A．f(1)为f(x)的极大值
B．f(1)为f(x)的极小值
C．f(－1)为f(x)的极大值
D．f(－1)为f(x)的极小值
D [令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1．当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0．故当x＝－1时，f(x)取得极小值．]
3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]
4．已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为________．
2ln 2 [f′(x)＝(x>0)，故f′(e)＝，解得f′(e)＝，
所以f(x)＝2ln x－，f′(x)＝．
由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e．所以函数f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，
故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．极大值与极小值的概念是什么？
[提示] 若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；若都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值．
2．求函数的极值的步骤是什么？
[提示] (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)列表．
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据单调性的变化情况求极值．
课时分层作业(三十六) 极大值与极小值
一、选择题
1．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
D [f′(x)＝，x>0，令f′(x)＝0，即＝0，得x＝2，
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0．
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D．]
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0，1) D．(－1，0)
D [∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，则f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1从而在x＝a处取得极大值，符合题意；
若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．]
3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A．f是极大值
B．f(－2)是极大值
C．f(2)的极大值
D．f是极小值
A [对于A选项，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜2时，f′(x)＜0，f是极大值，A选项正确；
对于B选项，当x＜－2时，f′(x)＜0，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，f(－2)是极小值，B选项错误；
对于C选项，当＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，
f′(x)＞0，f(2)是极小值，C选项错误；
对于D选项，由于函数y＝f(x)为可导函数，且f′＜0，f不是极小值，D选项错误．故选A．]
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
B [∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，
∴y′＝3x2＋2bx＋c．
又x＝1，3是y′＝0的两个根，
∴即
∴y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
∴当x＝1时，f(x)极大值＝4 ，
当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B．]
5．已知a为常数，函数f(x)＝x ln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为( )
A． B．(0，e)
C． D．
A [f′(x)＝ln x＋2－2ax，x>0，函数f(x)有两个极值，则f′(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝，
则有解得要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e，即0＜a＜．故选A．]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________．
[∵f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)无极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c0，∴c．]
7．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
[1，5) [∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－．
∴应满足∴
∴1a<5．]
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值的差为________．
4 [函数f(x)求导得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2取得极值，所以f′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0．①
又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
所以f′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②
联立①②可得a＝－1，b＝0，
所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当f′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f′(x)＜0时，0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调递减区间是(0，2)，
因此求出函数的极大值为f(0)＝c，极小值为f(2)＝－4＋c，
故函数的极大值与极小值的差为c－(－4＋c)＝4．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．
[解] 因为f(x)＝x3－4x＋4，所以
f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示．
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，并且极大值为
f(－2)＝；
当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为
f(2)＝－．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断f(x)在x＝±1处取得极大值还是极小值，并说明理由．
[解] f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c．
(1)法一：∵f(x)在x＝±1处取得极值，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0， ①
3a－2b＋c＝0， ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时f′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0．
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
∴当x＝－1时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值．
11．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则等于( )
A． B．
C． D．
C [函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝．]
12．(多选题)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
BCD [因为函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选BCD．]
13．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
0 4e-2 [由题意知f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex．由f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0．
则f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值，且有f(－2)＝4e-2．]
14．已知函数f(x)＝xe2x－1，则函数f(x)的极小值为________，零点有________个．
－－1 1 [∵f(x)＝xe2x－1，∴f′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1＋2x)e2x，令f′(x)＝0，可得x＝－，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x －
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 极小值 ?
所以函数f(x)的极小值为f ＝－－1，
f(x)＝0 e2x＝，则函数f(x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝的图象的交点个数，如图所示．
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f(x)只有一个零点．]
15．已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f(x)无极值？
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0．
[解] (1)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝．
要使f(x)无极值，只需f′(x)0或f′(x)0恒成立即可．
设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，
∵ex＞0，∴f′(x)与g(x)同号．
∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)0恒成立，
∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)20，解得k＝4，
∴当k＝4时，f(x)无极值．
(2)由(1)知k≠4，
令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝．
①当＜2，
即k＜4时，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 2 (2， ＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值 ? 极大值 ?
由题意知f＝0，
可得2·－k·＋k＝0，
∴k＝0，满足k＜4．
②当＞2，即k＞4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 2
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值 ? 极大值 ?
由题意知f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，
∴k＝8，满足k＞4．
综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0.5．
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