类型1 导数的几何意义
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)·(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋x－16．
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13．
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32．
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝＋1，
∴直线l的方程为
y＝＋x0－16．
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝＋x0－16．
整理得＝－8，
∴x0＝－2．
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26．
k＝3×(－2)2＋1＝13．
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4．
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝＋1＝4，
∴x0＝±1．
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18．
即y＝4x－18或y＝4x－14．
类型2 函数的单调性与导数
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．
求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0．若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
【例2】 (1)若函数f(x)＝x－sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1，1] B．
C． D．
(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
(1)C (2)A [(1)f′(x)＝1－cos 2x＋a cos x＝1－(2cos2x－1)＋a cosx＝－cos2x＋a cosx＋，f(x)在R上单调递增，
则f′(x)0在R上恒成立，令cos x＝t，t∈[－1，1]，
则－t2＋at＋0在[－1，1]上恒成立，
即4t2－3at－50在[－1，1]上恒成立，
令g(t)＝4t2－3at－5，
则
解得－a，故选C．
(2)令g(x)＝，
则g′(x)＝，
由题意知，当x＞0时，g′(x)＜0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，
∴f(1)＝－f(－1)＝0，
∴g(1)＝＝0，
∴当x∈(0，1)时，g(x)＞0，从而f(x)＞0；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，从而f(x)＜0．
又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)(x≠0)，
∴g(x)是偶函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)＜0，从而f(x)＞0；
当x∈(－1，0)时，g(x)＞0，从而f(x)＜0．
综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．]
类型3 函数的极值、最值与导数
1．求连续函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
2．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法
根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题．已知f(x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解．
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3．
又函数过点(1，0)，即－2＋b＝0，b＝2．
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2．
(2)由(1)得f(x)＝x3－3x2＋2，
得f′(x)＝3x2－6x．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2．
①当0＜t2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在[0，t]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2．
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 0 (0，2) 2 (2，t) t
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 2 ? －2 ? t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
所以f(x)max＝f(0)＝2．
综上，当0＜t2时，f(x)max＝2，f(x)min＝t3－3t2＋2；
当2＜t＜3时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2．
类型4 导数在生活中的应用
解决优化问题的步骤：
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域；
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具；
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
【例4】 如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所．已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线AH的方程为y＝a，记AM＝t，规划的两块用地的面积之和为S(单位：米)．
(1)求S关于t的函数S(t)；
(2)求S的最大值．
[解] (1)根据所建平面直角坐标系，可得点H(144，120)，所以120＝a，解得a＝10，又AM＝t，所以P(t，10)，所以S关于t的函数关系式为S(t)＝t·(150－10)＋(144－t)·10＝150t－20t·＋1 440·(0＜t＜144)．
(2)令m＝，则S(m)＝150m2－20m3＋1 440m(0＜m＜12)，
所以S′＝300 m－60m2＋1 440＝－60(m＋3)(m－8)，令S′＞0，解得0＜m＜8；令S′＜0，解得8＜m＜12，
所以函数S(m)在区间(0，8)上单调递增，在区间(8，12)上单调递减，所以当m＝8时，S取得最大值，为10 880平方米．所以S的最大值为10 880平方米．
章末综合测评(五) 导数及其应用
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝x(2 023＋ln x)，若f′(x0)＝2 024，则x0＝( )
A．ln 2 B．1
C．e D．e2
B [f′(x)＝2 023＋ln x＋1＝2 024＋ln x，则f′(1)＝2 024，则x0＝1．]
2．曲线y＝(x3＋x2)ex在x＝1处的切线方程为( )
A．y＝7ex－5e B．y＝7ex＋9e
C．y＝3ex＋5e D．y＝3ex－5e
A [y′＝(3x2＋2x)ex＋(x3＋x2)ex，所以切线方程的斜率k＝7e，又当x＝1时，y＝2e，所以所求切线方程为y－2e＝7e(x－1)，即y＝7ex－5e，故选A．]
3．函数f(x)＝－2ln x－x－的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－3，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
C [依题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝＝－，故当0＜x＜1时，f′(x)＞0，所以函数的单调递增区间为(0，1)，故选C．]
4．设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．
A [f′(x)＝，
则f′(0)＝＝3，
即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，
令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×＝．
故选A．]
5．若函数f(x)＝x2－2x＋a ln x有两个不同的极值，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1 B．－1＜a＜0
C．a＜1 D．0＜a＜1
D [f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－2＋＝，若函数f(x)有两个不同的极值，则g(x)＝x2－2x＋a在(0，＋∞)上有2个不同的实数根，
故解得0＜a＜1，故选D．]
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为( )
A． B．10
C．20 D．
A [设圆锥的高为x(0＜x＜20)，则圆锥底面半径r＝，
∴圆锥体积V＝πr2·x＝π(400－x2)x
＝－x3＋x，
∴V′＝－πx2＋，令V′＝0，解得x＝，
当x∈时，V′＞0；
当x∈时，V′＜0，
∴当x＝时，V取最大值，即体积最大时，圆锥的高为．]
7．已知函数f(x)＝x2－9ln x＋3x在其定义域内的子区间(m－1，m＋1)上不单调，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
D [因为f(x)＝x2－9ln x＋3x，所以f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＋3＝，令f′(x)＝0，即2x2＋3x－9＝0，解得x＝或x＝－3(舍)，所以当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，而f(x)在区间(m－1，m＋1)上不单调，所以m－1＜＜m＋1，解得＜m＜，因为(m－1，m＋1)是函数f(x)定义域内的子区间，所以m－10，即m1，所以m的范围为．故选D．]
8．设函数f(x)的定义域是R，其导函数是f′(x)，且f′(x)0，则满足不等式f(ln t)＋ln t－1f(1)的实数t的解集是( )
A． B．[1，＋∞)
C．[e，＋∞) D．(0，e]
D [设g(x)＝f(x)＋x，
∵f′(x)0，
∴g′(x)＝f′(x)＋1＞0，
则g(x)为R上的增函数，
由f(ln t)＋ln t－1f(1)，
得f(ln t)＋ln tf(1)＋1，
即g(ln t)g(1)，
则ln t1，
∴0＜te．
∴满足不等式f(ln t)＋ln t－1f(1)的实数t的范围是(0，e]．]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)＝x ln (x＋1)，则( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)有极小值
C．f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为＋ln 2
D．f(x)为奇函数
ABC [函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝ln (x＋1)＋，令g(x)＝f′(x)，
则g′(x)＝＞0，
∴f′(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0，
∴x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
f(x)有极小值f(0)，故A，B正确；
∵f′(1)＝＋ln 2，故C正确；
∵函数f(x)的定义域不关于原点对称，故D错误．]
10．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝cos x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
AD [由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1．对于选项A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项B，因为f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项C，因为f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1．故选AD．]
11．已知0＜a＜b＜1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是( )
A．aea＜beb B．aeb＜bea
C．a ln a＞b ln b D．ab＜ba
ABD [因为0＜a＜b＜1，e为自然对数的底数，
对于A，设 f(x)＝xex，0＜x＜1，则 f′(x)＝(x＋1)ex＞0，f(x)在 (0，1)上单调递增，
故 f(a)＜f(b)，即aea＜beb，故A正确；
对于B，设 h(x)＝(0＜x＜1)，则h′(x)＝＜0在 (0，1)上恒成立，故函数h(x)在 (0，1)上单调递减，故 h(a)＞h(b)，
即＞，
故bea＞aeb，故B正确；
对于C，设 t(x)＝x ln x(0＜x＜1)，则 t′(x)＝ln x＋1，当x∈时，t′(x)＜0，当x∈时，t′(x)＞0，
故 t(x)在上单调递减，在上单调递增，t(a)与t(b)的大小关系不确定，故C错误；
对于D，设g(x)＝(0＜x＜1)，
则g′(x)＝＞0，
函数g(x)在 (0，1)上单调递增，
故g(a)＜g(b)，
即＜，化为b ln a＜a ln b，
即ln ab＜ln ba，
即ab＜ba，故D正确．]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
y＝5x＋2 [y′＝′＝＝，所以曲线在点(－1，－3)处的切线斜率k＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2．]
13．已知函数f(x)＝x－ln (x＋a)，若a＝2，则f′(0)＝________；又若f(x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．
1 [f(x)的定义域为(－a，＋∞)，
f′(x)＝1－＝．当a＝2时，f′(x)＝1－，∴f′(0)＝1－＝．
又由f′(x)＝0，
解得x＝1－a＞－a．
当－a＜x＜1－a时，f′(x)＜0，f(x)在(－a，1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f′(x)＞0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增．
因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，
由题意知f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1．]
14．设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)＞f(x)，则不等式ex-1f(x)＜f(2x－1)的解集为________．
(1，＋∞) [设F(x)＝，则F′(x)＝，
∵f′(x)＞f(x)，∴F′(x)＞0，即函数F(x)在定义域上单调递增．
∵ex-1f(x)＜f(2x－1)，
∴＜，
即F(x)＜F(2x－1)，
∴x＜2x－1，即x＞1，∴不等式ex-1f(x)＜f(2x－1)的解为(1，＋∞)．]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln (2x)－ax2．
(1)若f(x)在(1，＋∞)内不单调，求a的取值范围；
(2)若a＝2，求f(x)在上的值域．
[解] (1)f′(x)＝，
因为f(x)在(1，＋∞)内不单调，所以关于x的方程1－2ax2＝0在(1，＋∞)内有根，
所以故a的取值范围为．
(2)因为a＝2，
所以f′(x)＝．
令f′(x)＞0，得x＜；
令f′(x)＜0得＜x．
所以f(x)在[)上单调递增，在(]上单调递减，所以f(x)max＝f＝－．
因为f＝－1－，f＝1－，f－f＝－2－＞0，
所以f(x)在上的值域为．
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f′(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0．
(2)法一：因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a，
若a0，则f′(x)0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；
若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a；
令f′(x)<0，解得x
可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)＝a－a ln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g′(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
法二：因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a，
若f(x)有极小值，则f′(x)＝ex－a有零点，
令f′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，
若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a；
令f′(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值，符合题意．
由题意可得，f(ln a)＝a－a ln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
则不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
17．(本小题满分15分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上单调递增；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上单调递减．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8．
即当r＝5 m，h＝8 m时，该蓄水池的体积最大．
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝－ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过点(2，－1)．
(1)求实数a的值；
(2)设b＞1，求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)的导函数为f′(x)＝(x>0)，
f′(1)＝＝1－a，依题意，有＝1－a，即＝1－a，解得a＝1．
(2)由(1)得f′(x)＝(x>0)，
当0＜x＜1时，1－x2＞0，－ln x＞0，
∴f′(x)＞0，故f(x)在(0，1)上单调递增；
当x＞1时，1－x2＜0，－ln x＜0，
∴f′(x)＜0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
∵0＜＜1＜b，∴f(x)最大值为f(1)＝－1．
设h(b)＝f(b)－f＝ln b－b＋，其中b＞1．
则h′(b)＝ln b＞0，故h(b)在区间(1，＋∞)上单调递增，
当b→1时，h(b)→0 h(b)＞0 f(b)＞f，
故f(x)最小值f＝－b ln b－．
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝ln (1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝－1ln (1＋x)，f′(x)＝－ln (1＋x)＋－1·，
所以f′(1)＝－ln 2，
又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，
即x ln 2＋y－ln 2＝0．
(2)由题意得f′(x)＝－ln (1＋x)＋＋a·0(x>0)，即0(x>0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)0(x>0)．
设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)，
则g′(x)＝2ax＋1－ln (1＋x)－1＝2ax－ln (1＋x)．
若a0，则g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)若a>0，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2a－，
h′(0)＝2a－1．
①若0－1时，h′(x)>0，
所以h(x)即g′(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0②若a，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝2a－10，所以h(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意．
综上所述，a的取值范围为．
模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
D [设等比数列的公比为q，q≠0，若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，所以q≠1，
则解得
所以a6＝a1q5＝3．故选D．]
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
B [由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．]
3．若椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线＝1的离心率为( )
A． B．
C． D．
B [由题意，1－＝＝，
∴＝，而双曲线的离心率e2＝1＋＝1＋＝，
∴e＝．]
4．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D [因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D．]
5．函数f(x)＝x3＋2x2＋3x在[－2，2]上的最小值为( )
A． B．4
C．－ D．－
D [f′(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝－3，
所以当－2x－1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当－1＜x2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取极小值，即为最小值，f(－1)＝－，故f(x)在[－2，2]上的最小值为－．]
6．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
C [由题意，以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线为y＝－，代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±，
∵△MNF为正三角形，∴p＝×2，
∵p＞0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y．]
7．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．[，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－，＋∞)
B [由题意得，f′(x)＝ex(sin x＋a)＋ex cos x＝ex．
∵f(x)在上单调递增，
∴f′(x)0在上恒成立．
又ex＞0，∴sin ＋a0在上恒成立．
当x∈时，x＋∈，
∴sin ∈．
∴sin ＋a∈(－1＋a，＋a]，
∴－1＋a0，解得a∈[1，＋∞)．故选B．]
8．已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
C [因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得
故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．
圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝|r|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故选C．]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A．a5＝－16
B．S5＝－63
C．数列是等比数列
D．数列是等比数列
AC [因为Sn为数列的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，
当n2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以数列是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；
因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；
又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；
因为S1＋1＝0，所以数列不是等比数列，故D错误．故选AC．]
10．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
AC [由题意知，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＞0得x＞或x＜－，
令f′(x)＜0得－＜x＜，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以x＝±是极值点，故A正确；
因为f＝1＋＞0，f＝1－＞0，f(－2)＝－5＜0，
所以函数f(x)在上有一个零点，
当x时，f(x)f＞0，即函数f(x)在上无零点，
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，
则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象，
所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；
令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，
当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，
故D错误．
故选AC．]
11．下列说法正确的是( )
A．椭圆＝1上任意一点(非左、右顶点)与左、右顶点连线的斜率乘积为－
B．过双曲线＝1焦点的弦中垂直于实轴的弦长为
C．抛物线y2＝2px上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若弦AB经过抛物线焦点，则x1x2＝
D．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切
ABC [对于A中，椭圆的左、右顶点的坐标分别为A(－a，0)，B(a，0)，
设椭圆上除左、右顶点以外的任意一点P(m，n)，则
kPA·kPB＝·＝，
又因为点P(m，n)在椭圆上，可得＝1，解得n2＝b2，
所以kPA·kPB＝－，
故A正确；
对于B中，设双曲线＝1的右焦点F(c，0)，
AB为过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦，
则|AB|＝2b＝，故B正确；
对于C中，当AB斜率不存在时，xA＝xB＝，
所以有x1x2＝；当AB斜率存在时，可设AB方程为y＝k，
代入y2＝2px得k2＝2px，即k2x2－k2px－2px＋＝0，所以x1x2＝，故C正确；对于D中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线与抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，该直线和圆锥曲线相切是错误的，即D项是不正确的．]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
[由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线y2＝4x．
由可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍去)，
故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝＝．]
13．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，则a2＝________，Sn＝________．
[Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，令n＝1，则a2＝2a1(a1＋a2)，
∴a2＝－2(－1＋a2)，解得a2＝．
又Sn＋1－Sn＝2SnSn＋1，整理得＝2(常数)，
即＝－2(常数)，
故数列是以＝＝－1为首项，－2为公差的等差数列，
所以＝－1－2＝1－2n，故Sn＝．]
14．设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
，1 [由题意得当x>0时，f′(x)＝ax ln a＋(1＋a)xln(1＋a)＝ax0，设g(x)＝ln a＋x ln (1＋a)，因为ax>0，所以g(x)0．
因为a∈(0，1)，所以ln (1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)0，即ln a＋ln (1＋a)＝ln (a＋a2)0，所以a＋a21，解得a－或a，又0四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程．
[解] 线段AB的中点为(1，3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1．
由得(0，1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r＝＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ln x＋x2．
(1)求h(x)＝f(x)－3x的极值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)由已知可得h(x)＝f(x)－3x＝ln x＋x2－3x，
h′(x)＝(x＞0)，
令h′(x)＝＝0，可得x＝或x＝1，
则当x∈∪(1，＋∞)时，h′(x)＞0，
当x∈时，h′(x)＜0，
∴h(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
则h(x)极小值＝h(1)＝－2，
h(x)极大值＝h＝－－ln 2．
(2)g(x)＝f(x)－ax＝ln x＋x2－ax，
g′(x)＝＋2x－a(x＞0)，
由题意可知g′(x)0(x＞0)恒成立，
即a，
∵x＞0时，2x＋2，当且仅当x＝时等号成立，
∴＝2，
∴a2，即实数a的取值范围为(－∞，2]．
17．(本小题满分15分)已知在正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn．
[解] (1)∵点(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，
∴an＋1＝an＋1，
∴数列{an}是公差为1的等差数列．
∵a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)＝n．
∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，
两式相减得bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，
由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1．
∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
∴bn＝．
(2)log2bn＋1＝log2＝－n，
∴cn＝＝，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋…＋＝1－＝．
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x＋1．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a2时，证明：当x>1时，f(x)[解] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－＝．
当a0时，f′(x)＝<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述，当a0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无单调递增区间；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：当a2，且x>1时，ex-1－f(x)＝ex-1－a(x－1)＋ln x－1ex-1－2x＋1＋ln x，
令g(x)＝ex-1－2x＋1＋ln x(x>1)，下证g(x)>0即可．
g′(x)＝ex-1－2＋，再令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex-1－，
显然h′(x)在(1，＋∞)上单调递增，则h′(x)>h′(1)＝e0－1＝0，
即g′(x)＝h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
故g′(x)>g′(1)＝e0－2＋1＝0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
故g(x)>g(1)＝e0－2＋1＋ln 1＝0，问题得证．
19．(本小题满分17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
[解] (1)由题设得＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3．
所以C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0．
于是x1＋x2＝－，x1x2＝．①
由AM⊥AN知·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0．
将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0．
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0．
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－k－．
于是MN的方程为y＝k(k≠1)．
所以直线MN过点P．
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．
由·＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)·(－y1－1)＝0．
又＝1，可得－8x1＋4＝0．
解得x1＝2(舍去)，x1＝．
此时直线MN过点P．
令Q为AP的中点，即Q．
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
故|DQ|＝|AP|＝．
若D与P重合，
则|DQ|＝|AP|．
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
1 / 25类型1 导数的几何意义
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)·(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋x－16．
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[尝试解答] _________________________________________________________
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类型2 函数的单调性与导数
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．
求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0．若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
【例2】 (1)若函数f(x)＝x－sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1，1] B．
C． D．
(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 函数的极值、最值与导数
1．求连续函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
2．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法
根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题．已知f(x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解．
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
[尝试解答] _________________________________________________________
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(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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类型4 导数在生活中的应用
解决优化问题的步骤：
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域；
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具；
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
【例4】 如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所．已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线AH的方程为y＝a，记AM＝t，规划的两块用地的面积之和为S(单位：米)．
(1)求S关于t的函数S(t)；
(2)求S的最大值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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