类型1 直线的倾斜角与斜率
求直线的倾斜角与斜率的注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角0°α＜90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角90°＜α＜180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
【例1】 (1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°α＜120°，直线l的斜率k的范围是( )
A．－＜k0
B．k＞－
C．k0或k＜－
D．k0或k＜－
(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
(1)C [通过画图(图略)可知k＜－或k0．故选C．]
(2)[解] 由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故＝＝k，即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0．
类型2 求直线的方程
求直线方程的方法
求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．
【例2】 已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0．求：
(1)AC所在的直线的方程；
(2)点B的坐标．
[解] (1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0．
把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11．
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0．
(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为．
联立得方程组
化简得
解得
故B(－1，－3)．
类型3 两直线的平行、垂直及距离问题
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离．
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．
【例3】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[思路探究] (1)把(－3，－1)代入l1方程，同时运用垂直条件A1A2＋B1B2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程．
[解] (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0．
即a2－a－b＝0．①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0．②
由①②解得a＝2，b＝2．
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，
即b＝．
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0．
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝．
因此或
类型4 对称问题
对称问题的求解策略
(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是解决这类问题的关键．
(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．
(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．
【例4】 光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
1．怎样求点关于点的对称点？
[提示] 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解．
2．怎样求点关于直线的对称点坐标？
[提示] 设出所求点坐标(x，y)，利用中点坐标公式建立关于x，y的第一个方程，再利用垂直关系建立x，y的第二个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．
[解] 设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则解得即A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0．
解方程组
得反射点P．
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0．
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0，4x－5y＋1＝0．
章末综合测评(一) 直线与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线2x＋2y－3＝0的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
A [设直线2x＋2y－3＝0的倾斜角为θ，0°θ＜180°，则tan θ＝k＝－＝－＝－，所以θ＝150°．]
2．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2，1)的直线的一般式方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y－3＝0 D．m2x＋my－1＝0
A [由已知可得2m－m2－1＝0，m＝1，所以kl＝1，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．故选A．]
3．已知直线MN的斜率为4，其中点N，点M在直线y＝x＋1上，则点M的坐标为( )
A．(2，3) B．(4，5)
C．(2，1) D．(5，7)
A [∵点M在直线y＝x＋1上，
∴设M，
则直线MN的斜率k＝＝＝4，解得x0＝2，∴M的坐标为(2，3)．]
4．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－
A [①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意．
②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1．
综上可得m＝1．故选A．]
5．两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y＋24＝0 B．3x－2y－10＝0
C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋22＝0
D [设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，
由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1、l2间的距离，
∴＝，
∵C≠－6，
解得C＝22．
因此，所求直线的方程为3x－2y＋22＝0．]
6．△ABC中，A(1，5)，两条高BE，CF所在的直线方程分别为x－2y＝0，x＋5y＋10＝0，则BC所在直线的方程是( )
A．x＋4y＝0 B．5x－y＝28
C．3x＋5y＝0 D．5x－3y＝28
C [因为AC，AB边上的高BE，CF所在的直线方程分别为x－2y＝0，x＋5y＋10＝0，所以它们的斜率分别为，－，故直线AB，AC的斜率分别为5，－2，
所以AB和AC的方程分别为y－5＝5(x－1)，y－5＝－2(x－1)，即5x－y＝0，2x＋y－7＝0，
联立方程解得x＝0，y＝0，所以B(0，0)，
联立方程解得x＝5，y＝－3，所以C(5，－3)，
所以BC所在直线的方程为y＝－x，即3x＋5y＝0．]
7．已知直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为( )
A．(－1，0) B．(0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
A [联立方程
解得
因为交点在第二象限，
所以解得－1＜k＜0，
故实数k的取值范围为(－1，0)．]
8．已知点A(1，1)，B(3，5)到经过点(2，1)的直线l的距离相等，则l的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
C [当A，B都在l的同侧时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，此时，AB∥l，所以k＝kAB＝＝2，l的方程为2x－y－3＝0．当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2．故选C．]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，下面结论中正确的是( )
A．AB∥CD B．AB⊥AD
C．AC＝BD D．AC∥BD
ABC [kAB＝＝－，kCD＝＝－．
且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为kAD＝＝，∴kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，故B正确；
∵AC＝＝4，
BD＝＝4，
∴AC＝BD，故C正确；
又kAC＝＝，kBD＝＝－4．
∴kAC·kBD＝－1，
∴AC⊥BD，故D不正确．]
10．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
BCD [根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝1，所以D正确．故选BCD．]
11．如图，直线l1，l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到l1，l2的距离，则称(x，y)为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是( )
A．距离坐标为(0，0)的点有1个
B．距离坐标为(0，1)的点有2个
C．距离坐标为(1，2)的点有4个
D．距离坐标为(x，x)的点在一条直线上
ABC [根据题意，依次分析选项：
对于A，若距离坐标为(0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离坐标为(0，0)的点只有1个，A正确；
对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线l1的距离为0，到直线l2的距离为1，P在直线l1上，到直线l2的距离为1，符合条件的点有2个，B正确；
对于C，若距离坐标为(1，2)，即P到直线l1的距离为1，到直线l2的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线l1相距为1的两条平行线和与直线l2相距为2的两条平行线的交点，C正确；
对于D，若距离坐标为(x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在两条相互垂直的直线上，D错误．]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，则顶点B到BC边上中线AD所在直线的距离为 __________．
[∵△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，
∴线段BC的中点为D(0，2)，故直线AD的方程为＝1，即2x－3y＋6＝0．
则顶点B到BC边上中线AD所在直线的距离为d＝＝．]
13．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
x＋4y－4＝0 [设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]
14．已知点A(－3，1)，点M、N分别是x轴和直线2x＋y－5＝0上的两个动点，则AM＋MN的最小值等于________．
[作点A(－3，1)关于x轴的对称点A′(－3，－1)，则AM＋MN＝A′M＋MNA′N，
最小值即为A′(－3，－1)到直线2x＋y－5＝0的距离，
即d＝＝，所以AM＋MN的最小值为．]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知直线x－2y＋3＝0与直线3x＋y＋2＝0交于点P．
(1)求过点P且平行于直线3x＋4y－5＝0的直线l1的方程，并求出两平行直线之间的距离；(直线方程写成一般式)
(2)求过点P且垂直于直线4x＋3y＋2＝0的直线l2的方程；(直线方程写成一般式)
(3)求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l3的方程．(直线方程写成一般式)
[解] 由得P(－1，1)．
(1)设直线l1的方程为3x＋4y＋λ＝0，代入点P坐标得λ＝－1，
所以直线l1的方程为3x＋4y－1＝0．
所以两平行直线间的距离d＝＝．
(2)设直线l2的方程为3x－4y＋μ＝0，代入点P坐标得μ＝7．
所以直线l2的方程为3x－4y＋7＝0．
(3)当直线l3过坐标原点时，直线l3的方程为y＝－x，即x＋y＝0；
当直线l3不过坐标原点时，设直线l3的方程为＝1，代入点P坐标得a＝－2，
所以直线l3的方程为＝1，即x－y＋2＝0．
综上所述，直线l3的方程为x＋y＝0或x－y＋2＝0．
16．(本小题满分15分)当k为何值时，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0：
(1)相交；(2)垂直；(3)平行；(4)重合．
[解] (1)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，
则有3(2k－3)＋k(k＋2)≠0，
解得k≠1且k≠－9．
(2)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0垂直，
则有3k－(k＋2)(2k－3)＝0，
解得k＝．
(3)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0平行，
则有3(2k－3)＋k(k＋2)＝0，
解得k＝1或k＝－9；
当k＝1时，两条直线方程均为x－y＋2＝0，重合，故舍去；
当k＝－9，两条直线分别为3x＋7y－4＝0和9x＋21y－2＝0，平行，符合题意，
所以k＝－9．
(4)由(3)可知，k＝1，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0重合．
17．(本小题满分15分)已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
[解] (1)证明：直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R，
即m(x－y－3)＋(2x－8)＝0，
令解得
故直线l恒过定点P(4，1)．
(2)直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，当直线l不经过原点且在x轴，y轴上的截距相等时，
即
令y＝0，可得x＝，
再令x＝0，可得y＝－，
由＝－，可得m＝－1，
故直线l的方程为x＋y－5＝0．
当直线l经过原点时，－3m－8＝0，得m＝－，故直线l的方程为x－4y＝0．
综上，所求直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0．
18．(本小题满分17分) 已知直线方程为x＋y＋3m＋4＝0，其中m∈R．
(1)当m变化时，求点Q到直线的距离的最大值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
[解] (1)直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，
可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，
所以
解得
所以直线恒过定点(－1，－2)．
设定点为P(－1，－2)，当m变化时，PQ垂直直线时，
点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，
即＝2．
(2)由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0，
因此可设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，
可得与x轴、y轴的负半轴交于A，B(0，k－2)两点，
所以<0，k－2<0，解得k<0．
所以S△AOB＝×|k－2|
＝(k－2)＝2＋2＋2＝4，
当且仅当k＝－2时取等号，面积的最小值为4，
此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋4＝0．
19．(本小题满分17分) 如图，设直线l1：x＝0，l2：3x－4y＝0．点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M，N的纵坐标均为正数)．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设a＝1，求△MON面积的最小值；
(3)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
[解] (1)直线l的方程为y－a＝k(x－1)，
令x＝0得，y＝a－k，由y＝a－k>0，得k
∵a>，∴k，
由
得(4k－3＝0时，方程组无解，不合题意)，
由y＝>0，
得k>a或k<．
综上k<，
即k的取值范围为．
(2)由(1)得M(0，1－k)，N，＝1－k，＝，
设直线l2的倾斜角为θ，
则tan θ＝，cos θ＝，
∴sin ∠MON＝sin －θ＝cos θ＝，
S△OMN＝×(1－k)×＝，
令t＝3－4k，
则t>0，k＝，
∴S△OMN＝＝＝．
当且仅当t＝，
即t＝1，k＝时等号成立，
∴S△OMN的最小值是．
(3)假设存在满足题意的a，由(1)知，＝a－k，＝＝，
∴＝＝＝，此式与k值无关，
则a＝2．
所以存在a＝2，使的值与k无关．
1 / 14类型1 直线的倾斜角与斜率
求直线的倾斜角与斜率的注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角0°α＜90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角90°＜α＜180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
【例1】 (1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°α＜120°，直线l的斜率k的范围是( )
A．－＜k0
B．k＞－
C．k0或k＜－
D．k0或k＜－
(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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类型2 求直线的方程
求直线方程的方法
求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．
【例2】 已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0．求：
(1)AC所在的直线的方程；
(2)点B的坐标．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 两直线的平行、垂直及距离问题
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离．
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．
【例3】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[思路探究] (1)把(－3，－1)代入l1方程，同时运用垂直条件A1A2＋B1B2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程．
[尝试解答] _________________________________________________________
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类型4 对称问题
对称问题的求解策略
(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是解决这类问题的关键．
(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．
(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．
【例4】 光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
1．怎样求点关于点的对称点？
2．怎样求点关于直线的对称点坐标？
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
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