3.3.2 抛物线的几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1．通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算的核心素养． 2．通过对直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，水面上漂浮一个宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问：木箱能否通过该拱桥？
为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．
知识点1 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
性质 焦点
开口 方向 向右 向左 向上 向下
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 在y轴的右侧 在y轴的左侧 在x轴的上方 在x轴的下方
对称性 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率 e＝1
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线． ( )
(2)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝． ( )
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
D [顶点到准线的距离为，则＝4．解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y．]
知识点2 通径
通过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点和．线段M1M2叫作抛物线的通径，它的长为2p．
知识点3 焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]
知识点4 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有一个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
类型1 抛物线性质的应用
【例1】 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
(1)y2＝3x或y2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．]
(2)[解] 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得
|BC|＝2a，
由定义得|BD|＝a，
故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，
∵BD∥FG，
∴＝，p＝2．因此抛物线的方程是y2＝4x．
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1．
[跟进训练]
1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[解] 如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，
则＝＝2px2．
又|OA|＝|OB|，
＝，
即＋2px1－2px2＝0．
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．
∵x1>0，x2>0，2p>0，
∴x1＋x2＋2p≠0，故x1－x2＝0，即x1＝x2．
由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．
∴AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°，
∴＝tan 30°＝，
而＝2px1，∴y1＝2p．
故|AB|＝2y1＝4p，
即正三角形的边长为4p．
类型2 直线与抛物线的位置关系
【例2】 (1)过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解] (1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．
当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；
当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0．由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1．故满足条件的直线有三条．
(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，
消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0．①
(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－．
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是．
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：
①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[解] (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x．
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．
类型3 中点弦及弦长公式
【例3】 过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
[解] 法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即＝4，∴kAB＝4．
∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0．
法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1．
联立消去x，
得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝．
又y1＋y2＝2，
∴k＝4．
∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0．
“中点弦”问题解题方法
[跟进训练]
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得
①－②得，
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2．
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1．]
类型4 抛物线的综合应用
【例4】 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
1．根据对称轴，应该如何设抛物线的标准方程？
[提示] 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
2．怎样理解“PA与PB的倾斜角互补”？
[提示] 直线PA与PB的斜率互为相反数．
[解] (1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝，
即＝－，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1．
即直线AB的斜率为定值．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)
若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
[解] 由解得或
由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3．
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝
＝|(y0－1)2－9|．
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝×3＝．
故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为．
2．(变条件，变结论)
若本例改为“抛物线方程为y2＝x，过点P(3，－1)的直线与抛物线交于M，N两个不同的点(均不与点A(1，1)重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．
[证明] 易知直线MN的斜率不为0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0．
所以Δ＝(t＋2)2＋8＞0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3．
所以k1·k2＝·＝＝＝＝＝－．
所以k1·k2是定值．
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用“点差法”较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用“特值探路法”找定点、定值．
1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A． B． C． D．
A [线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝．]
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2，4) D．(2，±4)
D [抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有
所以符合题意的点为(2，±4)．]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2)
B [由题意知F(1，0)，设，则＝＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B．]
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝．
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝．]
5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
[解] (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，
由|PF|＝2得1＋＝2，得p＝2．
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝．
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得k＝±1，
所以k的值为1或－1．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．抛物线有哪些几何性质？
[提示] 抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．
2．解决抛物线的中点弦问题有哪些方法？
[提示] (1)点差法；(2)联立直线和抛物线方程，利用“设而不求”的方法，结合根与系数的关系和中点坐标公式求解．
圆锥曲线的光学性质
你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而且这些光学性质都与它们的焦点有关．
图1
从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦点，如图1所示．
从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图2所示．
图2 图3
从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴，如图3所示．
具体而言，在图3中，F为抛物线的焦点，设M是抛物线上一点，AM是抛物线的切线，MB⊥MA，设光线FM在M处反射后的光线是MC(即∠FMB＝∠BMC)，则可以证明，MC是平行于x轴的．
事实上，为了证明这个结论，我们只需证明直线MF的倾斜角是AM的倾斜角的两倍即可，设抛物线的方程为y2＝2px，且M(x0，y0)，则可以算得直线AM的斜率为，直线FM的斜率为，根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论．
圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面，如图4所示．
图4
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课时分层作业(十九) 抛物线的几何性质
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2 B．1
C．4 D．8
C [抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的准线的距离等于4，故选C．]
2．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝( )
A．1∶4 B．1∶2
C．2∶5 D．3∶8
C [将点A(2，4)代入y2＝2px，得p＝4，
∴抛物线方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，已知B(8，－8)，
∴＝＝＝．]
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝3x B．y2＝5x
C．y2＝7x D．y2＝8x
A [可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－．设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1(图略)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p．①
由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0．∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝．
∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x．]
4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2．
由得x2－4x＋1＝0，Δ>0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．
∴|AB|＝
＝＝＝2．]
5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，|BF|满足|AF|＋|BF|＝8，则k＝( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，易知k≠0，
故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1且k≠0，x1＋x2＝．
由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|＋|BF|＝8，即x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，
所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1且k≠0，故k＝2．]
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．]
7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
(3，2) [设直线被抛物线截得的线段的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2．
∴所求点的坐标为(3，2)．]
8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0．
由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，
即直线方程为x－y＋1＝0，
直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝．
即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为．]
三、解答题
9．已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－3)2＋y2＝4，F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于点D，点D是线段AB的中点．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求△OAB的面积．
[解] (1)因为抛物线C1：y2＝4x，
所以抛物线的准线方程为x＝－1．
(2)当直线AB的斜率不存在时，D与F重合，不符合题意．
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)，
联立直线与抛物线的方程，即可得y2－4my－4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，
故x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
所以D(2m2＋1，2m)，
将D点坐标代入圆方程可得(m2－1)2＋m2＝1，解得m＝±1，
根据抛物线的对称性，不妨设m＝1，
联立方程可得x2－6x＋1＝0，
则x1＋x2＝6，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
又点O到直线AB的距离为d＝，
故S△OAB＝|AB|·d＝2．
10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为
y2＝2px(p＞0)， ①
点A的坐标为 (y0≠0)，则直线OA的方程为
y＝x， ②
抛物线的准线方程是x＝－． ③
联立②③，可得点D的纵坐标为－．
因为焦点F的坐标是，当≠p2时，直线AF的方程为y＝．④
联立①④，消去x，可得－p2)y－y0p2＝0，即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．
当＝p2时，易知结论成立．
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．(多选题)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p，0)，若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
ACD [选项A：设FM中点为N，则xA＝xN＝＝p，所以＝2pxA＝2p·p＝p2(yA>0)，所以yA＝p，故kAB＝＝2．故A正确．
选项B：＝ ＝ |BF|＝p＝xB＋ xB＝，所以＝2p·＝．所以|OB|2＝＝＝≠．故B错误．
选项C：|AB|＝p＋＋p＝p>2p＝4|OF|．故C正确．
选项D：由选项A，B知A，B，
所以· ＝·＝－p2＝－p2<0，所以∠AOB为钝角；
又·＝·＝－p2＝－p2<0，所以∠AMB为钝角；
所以∠OAM＋∠OBM<180°．故D正确．
故选ACD．]
12．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( )
A．－ B．
C．± D．
A [将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为＝－，故选A．]
13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________．
y2＝8x 2 [由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x．由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0．
由k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0．
又＝＝2，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2．]
14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．
(x＋1)2＋(y－)2＝1 [由y2＝4x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1．
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°．又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为．
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1．]
15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
[解] (1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋．
由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2．
所以抛物线E的方程为y2＝4x．
(2)证明：法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，
从而B．又G(－1，0)，
所以kGA＝＝，kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，
故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，
从而B．又G(－1，0)，
故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，
从而r＝＝．
又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，
所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r．
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
1 / 203.3.2 抛物线的几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1．通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算的核心素养． 2．通过对直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，水面上漂浮一个宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问：木箱能否通过该拱桥？
为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．
知识点1 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
性质 焦点
开口 方向 向右 向左 向上 向下
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 在y轴的右侧 在y轴的左侧 在x轴的上方 在x轴的下方
对称性 关于________对称 关于________对称
顶点 _________
离心率 e＝1
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线． ( )
(2)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝． ( )
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p． ( )
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
知识点2 通径
通过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点________________和________________．线段M1M2叫作抛物线的通径，它的长为____________．
知识点3 焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝_________．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
知识点4 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：____、____和____．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①k＝0时，直线与抛物线只有____交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线____ 有__个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线____ 只有__个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线____ ____公共点．
直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型1 抛物线性质的应用
【例1】 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1．
[跟进训练]
1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
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类型2 直线与抛物线的位置关系
【例2】 (1)过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[尝试解答] _________________________________________________________
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直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：
①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
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类型3 中点弦及弦长公式
【例3】 过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
[尝试解答] _________________________________________________________
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“中点弦”问题解题方法
[跟进训练]
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
类型4 抛物线的综合应用
【例4】 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
1．根据对称轴，应该如何设抛物线的标准方程？
2．怎样理解“PA与PB的倾斜角互补”？
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件，变结论)
若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
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2．(变条件，变结论)
若本例改为“抛物线方程为y2＝x，过点P(3，－1)的直线与抛物线交于M，N两个不同的点(均不与点A(1，1)重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．
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应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用“点差法”较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用“特值探路法”找定点、定值．
1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A． B． C． D．
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2，4) D．(2，±4)
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2)
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．
(1)求抛物线C的方程；
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(2)若|AB|＝8，求k的值．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．抛物线有哪些几何性质？
2．解决抛物线的中点弦问题有哪些方法？
圆锥曲线的光学性质
你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而且这些光学性质都与它们的焦点有关．
图1
从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦点，如图1所示．
从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图2所示．
图2 图3
从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴，如图3所示．
具体而言，在图3中，F为抛物线的焦点，设M是抛物线上一点，AM是抛物线的切线，MB⊥MA，设光线FM在M处反射后的光线是MC(即∠FMB＝∠BMC)，则可以证明，MC是平行于x轴的．
事实上，为了证明这个结论，我们只需证明直线MF的倾斜角是AM的倾斜角的两倍即可，设抛物线的方程为y2＝2px，且M(x0，y0)，则可以算得直线AM的斜率为，直线FM的斜率为，根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论．
圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面，如图4所示．
图4
类似的应用还有很多，感兴趣的同学请利用网络进行搜索吧！
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