4.1 数列
第1课时 数列的概念及简单表示法
学习任务 核心素养
1．理解数列的概念，掌握数列的通项公式及应用．(重点) 2．理解数列是一种特殊的函数及数列与函数的关系．(易混点、难点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点) 1．通过对数列概念及数列通项公式的学习，培养数学抽象及逻辑推理素养． 2．借助对数列通项公式的应用，培养逻辑推理及数学运算素养．
1．一尺之捶，日取其半，万世不竭．
1，，…．
2．三角形数
3．正方形数
那么，这些数有什么规律，与它所表示图形的序号有什么关系？
知识点1 数列的概念及一般形式
1．(1)数列的项和它的项数是否相同？
(2)数列1，2，3，4，5，数列5，4，3，2，1有什么区别？
[提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项数是指该数列中的项的总数．
(2)数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1为两个不同的数列，因为二者所对应的项的值不同．
[知识拓展]
类别 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点2 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
1．在数列{an}中，an＝3n-1，则a2等于( )
A．2 B．3
C．9 D．32
B [将n＝2代入通项公式，得a2＝32-1＝3．]
2．下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是( )
A．an＝1 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
C [代入验证可知C正确．]
知识点3 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，k})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
2．数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示] 如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
类型1 由数列的前几项求通项公式
【例1】 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)4，44，444，4 444，…；
(3)－1，…；
(4)2，－，…；
(5)1，2，1，2，1，2，…．
[思路探究] 观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．
[解] (1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项公式为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项公式为10n，故原数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3)所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间；
②整数部分构成奇数列；
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；
④分数部分的分子依次大1．
综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为
an＝(－1)n?，
所以an＝(－1)n．
(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，…，再把各分母分别加上1，数列又变为…，所以an＝．
(5)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝
＝，
即an＝．
1．常见数列的通项公式归纳
(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n；
(2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n；
(4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为an＝2n-1；
(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为an＝n2；
(6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n；
(7)数列1，，…的一个通项公式为an＝．
2．复杂数列的通项公式的归纳方法
(1)观察各项的结构；(2)观察各项中的“变”与“不变”；(3)观察“变”的规律是什么；(4)每项符号的变化规律如何；(5)得出通项公式．
[跟进训练]
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)1，－3，5，－7，9，…；
(2)，…；
(3)3，5，9，17，33，…；
(4)0，2，0，2，0，…．
[解] (1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，考虑到(－1)n+1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1)．
(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，…．所以它的一个通项公式为an＝．
(3)3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为an＝2n＋1．
(4)因为这个数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，所以它的一个通项公式为
类型2 通项公式的应用
【例2】 【链接教材P135例2】
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
1．已知数列的通项公式，如何求数列的某一项？
[提示] 类似于已知自变量求函数值，把项数代入到通项公式中求解．
2．如何判断某一个数是否为数列中的项？
[提示] 判断某项是否为数列中的项，就是解方程．令an等于该项，解得n∈N*即是，否则不是．
[解] (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
[母题探究]
(变结论)若本例中的条件不变．
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？
[解] (1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，
a8＝3×82－28×8＝－32．
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以20是该数列的第10项．
【教材原题·P135例2】
已知数列{an}的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
(1)an＝；(2)an＝．
[解] 我们用列表法分别给出这两个数列的前5项．
n 1 2 3 4 5
an＝
an＝ － － －
它们的图象如图4-1-3所示．
不难发现，在数列①中，某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，也就是说，
a1＝20，
a2＝a1＋2，
a3＝a2＋2，
…
a30＝a29＋2．
即有
a1＝20，
an＋1＝an＋2(n∈N*，n29)．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解．有正整数解就是，否则就不是．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，k})这一约束条件．
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13．]
2．已知数列1，，则3是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
B [令，解得n＝23．所以3是它的第23项，故应选B．]
3．数列{an}：－，9，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n(n∈N*)
B．an＝(－1)n(n∈N*)
C．an＝(－1)n+1(n∈N*)
D．an＝(－1)n+1(n∈N*)
B [该数列的前几项可以写成－，…，故可以归纳为an＝(－1)n．故选B．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 026－
a2 025＝________．
27 4 [a7＝4×7－1＝27，a2 026－a2 025＝(4×2 026－1)－(4×2 025－1)＝4×(2 026－2 025)＝4．]
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
[解] (1)∵an＝，∴a3＝，∴a3＋a4＝．
(2)是．若为数列{an}中的项，则，
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，即是数列{an}的第10项．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是数列、数列的项和数列的通项公式？
[提示] 按照一定次序排列的一列数称为数列；数列中的每个数都叫作这个数列的项；如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
2．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需抓住其哪些特征？
[提示] ①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．
课时分层作业(二十) 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是( )
A．an＝1＋(－1)n+1 B．an＝1－(－1)n
C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cos nπ
C [经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．]
2．已知数列－1，，…，(－1)n，…，则它的第5项为( )
A． B．－ C． D．－
D [易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·．]
3．在数列－1，0，，…中，0.08是它的( )
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
C [∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．]
4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．103 B．108
C．103 D．108
D [把an＝－2n2＋29n＋3看成二次函数，对称轴为n＝，∵n∈N*，∴n＝7时a7最大，最大项的值是a7＝－2×72＋29×7＋3＝108．故选D．]
5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于( )
A．20 B．28
C．0 D．12
A [a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20．]
二、填空题
6．已知数列，…，则它的第10项是________．
[根据数列的前几项，可归纳an＝．所以第10项a10＝．]
7．已知数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
9 [由an＝19－2n>0，得n<．
∵n∈N*，∴n9．]
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
2 [∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1．
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)写出下面各数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…
(2)1，2，4，8，…
(3)9，99，999，9 999，…
[解] (1)观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1；
(2)这个数列的前4项可以写成20，21，22，23，所以它的一个通项公式为an＝2n-1；
(3)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式为an＝10n－1．
10．已知数列．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．
[解] 设f(n)＝＝．
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝．
(2)令，得9n＝300．
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝，
又n∈N*，∴0<<1，∴0
即数列中的各项都在区间(0，1)内．
11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是( )
A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
BCD [结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．]
12．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为( )
A． B．5
C．6 D．
B [
]
13．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点．
(1) (2) (3)
(4) (5)
21 n2－n＋1 [观察图形可知，第5个图形有5×4＋1＝21个点，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]
14．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
图1 图2
2 [因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1，(i＝1，2，3，…)为直角三角形，
∴OA2＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝．]
15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
[解] (1)令an＝0，得n2－21n＝0，
∴n＝21或n＝0(舍去)，
∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，
∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，
则有an＝an＋1，即．
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
1 / 134.1 数列
第1课时 数列的概念及简单表示法
学习任务 核心素养
1．理解数列的概念，掌握数列的通项公式及应用．(重点) 2．理解数列是一种特殊的函数及数列与函数的关系．(易混点、难点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点) 1．通过对数列概念及数列通项公式的学习，培养数学抽象及逻辑推理素养． 2．借助对数列通项公式的应用，培养逻辑推理及数学运算素养．
1．一尺之捶，日取其半，万世不竭．
1，，…．
2．三角形数
3．正方形数
那么，这些数有什么规律，与它所表示图形的序号有什么关系？
知识点1 数列的概念及一般形式
1．(1)数列的项和它的项数是否相同？
(2)数列1，2，3，4，5，数列5，4，3，2，1有什么区别？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[知识拓展]
类别 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点2 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
1．在数列{an}中，an＝3n-1，则a2等于( )
A．2 B．3
C．9 D．32
2．下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是( )
A．an＝1 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
知识点3 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 ___________(或它的有限子集{1，2，3，…，k})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照______________________时，对应的一列函数值
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)______；(3)______
2．数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型1 由数列的前几项求通项公式
【例1】 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)4，44，444，4 444，…；
(3)－1，…；
(4)2，－，…；
(5)1，2，1，2，1，2，…．
[思路探究] 观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．常见数列的通项公式归纳
(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n；
(2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n；
(4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为an＝2n-1；
(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为an＝n2；
(6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n；
(7)数列1，，…的一个通项公式为an＝．
2．复杂数列的通项公式的归纳方法
(1)观察各项的结构；(2)观察各项中的“变”与“不变”；(3)观察“变”的规律是什么；(4)每项符号的变化规律如何；(5)得出通项公式．
[跟进训练]
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)1，－3，5，－7，9，…；
(2)，…；
(3)3，5，9，17，33，…；
(4)0，2，0，2，0，…．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 通项公式的应用
【例2】 【链接教材P135例2】
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
1．已知数列的通项公式，如何求数列的某一项？
2．如何判断某一个数是否为数列中的项？
[尝试解答] _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变结论)若本例中的条件不变．
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解．有正整数解就是，否则就不是．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，k})这一约束条件．
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知数列1，，则3是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
3．数列{an}：－，9，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n(n∈N*)
B．an＝(－1)n(n∈N*)
C．an＝(－1)n+1(n∈N*)
D．an＝(－1)n+1(n∈N*)
4．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 026－
a2 025＝________．
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是数列、数列的项和数列的通项公式？
2．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需抓住其哪些特征？
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