【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共68张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　导数及其应用
5.2.1　基本初等函数的导数
5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
5.2　导数的运算
学习任务 核心素养
1．能根据定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点) 3．能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点) 1．通过对基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，培养数学运算的核心素养．
2．借助对导数运算法则的应用，提升逻辑推理的核心素养．
回顾1．求函数在x＝x0处的导数的方法．
(1)求Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．
(2)求变化率＝．
(3)求极限f ′(x0)＝．
必备知识·情境导学探新知
回顾2．怎样求导函数？
(1)求改变量Δy＝f (x＋Δx)－f(x)．
(2)求比值＝．
(3)求极限f ′(x)＝．
那么导数与导函数有什么区别和联系？如何求常见函数的导数？
知识点1　基本初等函数的导数
(1)常用函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝C f ′(x)＝0
f (x)＝kx＋b(k，b为常数) f ′(x)＝__
f (x)＝x f ′(x)＝__
f (x)＝x2 f ′(x)＝___
k
1
2x
原函数 导函数
f (x)＝x3 f ′(x)＝___
f (x)＝ f ′(x)＝－
f (x)＝ f ′(x)＝
3x2
(2)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝xα(α为常数) f ′(x)＝______
f (x)＝sin x f ′(x)＝_____
f (x)＝cos x f ′(x)＝_______
f (x)＝ax f ′(x)＝______(a>0且a≠1)
αxα-1
cos x
－sin x
axln a
原函数 导函数
f (x)＝ex f ′(x)＝___
f (x)＝logax f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
ex
知识点2　导数的运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数 (f (x)＋g(x))′＝_____________
差的导数 (f (x)－g(x))′＝_____________
商的导数 ′＝(g(x)≠0)
f ′(x)＋g′(x)
f ′(x)－g′(x)
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f (x)＝0，则f ′(x)＝0．　 (　　)
(2)若F(x)＝f (x)g(x)，则F′(x)＝f ′(x)g′(x)． (　　)
(3)若f (x)＝ln x，则f ′(e)＝1．　 (　　)
(4)若f (x)＝x3＋2x，那么f (x)的图象在x＝x0处的切线斜率最小时x0＝0． (　　)
×
×
√
√
[提示]　(1)常数函数的导数等于0．∴(1)正确．
(2)F′(x)＝(f (x)g(x))′＝f ′(x)g(x)＋f (x)·g′(x)，∴(2)错．
(3)F (x)＝ln x时，f ′(x)＝．∴f ′(e)＝≠1，
∴(3)错．
(4)f (x)＝x3＋2x，∴f ′(x)＝3x2＋2，当x＝0时＝2．∴(4)正确．
体验2．(1)′＝__________；
(2)(xex)′＝________．
(1)　(2)(1＋x)ex　[(1)′＝＝．
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．]
(1＋x)ex
体验3．设函数f (x)在(0，＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则f ′(1)＝________．
2　[法一：令ex＝t(t＞0)，则x＝ln t．
∵f (ex)＝x＋ex，
∴f (t)＝ln t＋t，∴f ′(t)＝＋1，
∴f ′(1)＝1＋1＝2．
法二：对函数两边同时求导，得f′(ex)＝1＋ex，令x＝0，得f ′(e0)＝
f ′(1)＝1＋e0＝2．]
2
关键能力·合作探究释疑难
类型1　利用导数公式求函数的导数
【例1】　求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos ．
[解]　(1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0．
(2)∵y＝＝x-5，∴y′＝(x-5)′＝．
(3)∵y＝＝＝＝．
(4)∵y＝lg x，∴y′＝．
(5)∵y＝5x，∴y′＝5x ln 5．
(6)∵y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x．
反思领悟　1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝(x＞0)；(3)y＝sin (π－x)．
[解]　(1)∵y＝x＝，∴y′＝＝．
(2)∵y＝＝(x＞0)，∴y′＝()′＝(x＞0)．
(3)∵y＝sin (π－x)＝sin x，∴y′＝cos x．
类型2　利用导数的运算法则求导数
【例2】　【链接教材P205例2、例3】
求下列函数的导数：
(1)y＝x3＋sin x；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝．
[解]　(1)y′＝(x3＋sin x)′＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x．
(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝(3x2)′＋(x cos x)′
＝3×2x＋x′cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－x sin x．
(3)y′＝′
＝＝－．
【教材原题·P205例2、例3】
例2　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋sin x；
(2)g(x)＝x3－x2－6x＋2．
[解]　(1)f′(x)＝(x2＋sin x)′＝(x2)′＋(sin x)′＝2x＋cos x．
(2)g′(x)＝′＝3x2－3x－6．
例3　求下列函数的导数：
(1)h(x)＝x sin x；(2)f(x)＝x2ex；
(3)S(t)＝；(4)f(x)＝tan x．
[解]　(1)h′(x)＝(x sin x)′＝x′sin x＋x(sin x)′＝sin x＋x cos x．
(2)f ′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2x ex＋x2ex．
(3)S′(t)＝′＝＝＝．
(4)f′(x)＝(tan x)′＝′
＝
＝＝
＝．
反思领悟　利用导数运算法则求函数的导数的两个策略
(1)解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则．
(2)对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错，故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝x2－sincos ；(2)y＝x tan x．
[解]　(1)∵y＝x2－sin cos ＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x．
(2)y′＝(x tan x)′＝′
＝
＝
＝．
类型3　导数计算的综合应用
【例3】　(1)已知函数f (x)＝－1(a>0)的图象在x＝1处的切线为l，则直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为________．
(2)已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的解析式为_____________________．
1
f (x)＝2x3－9x2＋12x
(1)1　(2)f (x)＝2x3－9x2＋12x　[(1)∵f ′(x)＝，∴f ′(1)＝．
又∵f (1)＝－1，∴f (x)在x＝1处的切线l的方程为
y－＋1＝(x－1)(a>0)．
∴l与坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·＝×(2＋2)＝1．
当且仅当a＝，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1．
(2)因为f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，
f (1)＝5，所以解得
故函数f (x)的解析式为f (x)＝2x3－9x2＋12x．]
反思领悟　三次函数的求导问题
由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了．解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等．
[跟进训练]
3．如图有一个是函数f (x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f (－1)＝(　　)
(1)　　 　(2)　 　 　(3)
A． B．－
C． D．－或
√
B　[f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，由根与系数的关系得
解得a＝－1．故f(x)＝－x2＋1，所以f (－1)＝－．]
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；
②y＝f (x)＝，则f ′(3)＝－；
③y＝2x，则y′＝2x ln 2；
④y＝log2x，则y′＝．
学习效果·课堂评估夯基础
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
C　[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴f ′(3)＝－，故②正确；显然③④正确，故选C．]
2．下列函数满足f′(x)＝f(x)的是(　　)
A．f (x)＝ex B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝ln x
√
A　[若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex＝f (x)，故A正确；若f (x)＝cos x，则f ′(x)＝－sin x≠f (x)，故B错误；若f (x)＝sin x，则f ′(x)＝cos x≠f (x)，故C错误；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝≠f (x)，故D错误．故选A．]
3．已知f (x)＝xα(α∈Q且α≠0)，若f ′(1)＝，则α等于(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[∵f (x)＝xα，∴f ′(x)＝αxα-1，∴f ′(1)＝α＝．]
4．函数y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程为_______________．
2x－y＋1＝0　[当x＝0时，y＝sin 0＋e0＝1，即点(0，1)在函数y＝sin x＋ex的曲线上．y＝sin x＋ex的导数y′＝cos x＋ex，在点(0，1)处的切线斜率为k＝cos 0＋e0＝2，即在点(0，1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]
2x－y＋1＝0
5．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；
(3)y＝；(4)y＝－2sin ．
[解]　(1)y′＝′＝＝．
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝．
(3)法一：y′＝′＝′cos x＋(cos x)′＝sin x＝－sin x＝－．
法二：y′＝′＝
＝
＝－＝－．
(4)∵y＝－2sin
＝2sin
＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能写出本节所学习的基本初等函数的求导公式吗？
[提示]　(1)(xα)′＝αxα-1(α为常数)；(2)(ax)′＝ax ln a(a>0，且a≠1)；
(3)(logax)′＝loga e＝；(4)(ex)′＝ex；
(5)(ln x)′＝；(6)(sin x)′＝cos x；(7)(cos x)′＝－sin x．
2．对于形如y＝1－2sin2的函数，如何求导数？
[提示]　可先化简再应用公式求导，即y＝1－2sin2＝cosx，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．已知函数f (x)＝，则该函数的导函数f ′(x)＝(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．2x－cos x
课时分层作业(三十三)　基本初等函数的导数
函数的和、差、积、商的导数
√
B　[由题意可得f ′(x)＝＝，故选B．]
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2．已知f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
√
B　[∵f (x)＝ax3＋3x2＋2，∴f ′(x)＝3ax2＋6x，又f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝．]
3．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f (x)在(0，f (0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
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√
B　[∵f ′(x)＝aex＋1，∴f ′(0)＝a＋1＝2，解得a＝1，f (0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2．故选B．]
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则+
f ′＝(　　)
A．－2 B．e－2
C．－1 D．e
题号
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√
B　[由题意得：f ′(x)＝2f ′(1)＋，令x＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得
f ′(1)＝－1．∴f ′(x)＝－2＋，∴f′＝e－2．故选B．]
5．若函数f (x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于(　　)
A．0 B．1
C． D．－1
题号
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√
C　[由于f (x)＝，∴f(x0)＝，
f ′(x)＝＝，
∴f ′(x0)＝，
依题意知f (x0)＋f ′(x0)＝0，
＝0，即＝0，
∴2x0－1＝0，得x0＝．]
题号
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二、填空题
6．已知函数f (x)＝f ′cos x＋sin x，则f 的值为________．
题号
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1　[∵f ′(x)＝－f ′sin x＋cos x，∴f ′＝－f ′，
得f ′＝－1．∴f (x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f ＝1．]
1
7．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________．
题号
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64
64　[∵y＝，∴y′＝，
∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝，
∴切线方程为y－＝(x－a)．
令x＝0得y＝；令y＝0得x＝3a．
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·＝＝18，∴a＝64．]
题号
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8．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，圆面积的膨胀率是________．
题号
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25π　[因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝πt．当水波的半径为25时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝π×50＝25π．]
25π
三、解答题
9．设曲线y＝xn+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg ，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 025．
题号
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[解]　因为y＝xn+1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝，即xn＝，
所以an＝lg ＝lg (n＋1)－lg n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 025
＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 026－lg 2 025＝
lg 2 026．
题号
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10．若函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a，f′(2)＝
－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程．
题号
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[解]　因为f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．令x＝1，得f ′(1)＝3＋2a＋b，又f ′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3．
令x＝2，得f ′(2)＝12＋4a＋b，又f ′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－．则f (x)＝x3－x2－3x＋1，从而f (1)＝－．又f ′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0．
题号
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11．曲线y＝在点1，处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
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√
C　[由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C．]
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12．(多选题)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
题号
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√
√
√
BCD　[f(x)＝，故f′(x)＝－＝，无解，故A排除；f(x)＝x4，故f′(x)＝4x3＝，故x＝，即曲线在点处的切线方程为y＝x－，B正确；f(x)＝sin x，故f′(x)＝cos x＝，取x＝，故曲线在点处的切线方程为y＝x－，C正确；f(x)＝ex，故f′(x)＝ex＝，故x＝－ln 2，曲线在点处的切线方程为y＝x＋ln 2＋，D正确．故选BCD．]
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13．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________．
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120　[因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120．]
120
14．已知f(x)＝xex，则f′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
题号
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14
15
2e
(－4，0)
2e　(－4，0)　[f′(x)＝(x＋1)ex，∴f′(1)＝2e．
设点 为曲线C上任意一点，
∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为＝(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程＝(a－x0)，即－ax0－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0．
∴a的取值范围是(－4，0)．]
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15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
7x－4y－12＝0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求证：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
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[解]　(1)7x－4y－12＝0可化为y＝x－3．当x＝2时，y＝．又f ′(x)＝a＋，于是解得故f (x)＝x－．
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(2)证明：设点P(x0，y0)为曲线上任意一点，由y′＝1＋可知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直
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线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为··|2x0|＝6．
故曲线y＝f (x)上任意一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6．
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谢 谢！