【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.3 简单复合函数的导数 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共61张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　导数及其应用
5.2.1　基本初等函数的导数
5.2.3　简单复合函数的导数
5.2　导数的运算
学习任务 核心素养
1．了解复合函数的概念．(易混点) 2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点、易错点) 1．通过对复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．借助对复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养．
海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f(r)＝πr2．
油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1．
思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作_____________．
y＝f (g(x))
思考　函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
知识点2　复合函数的求导法则
对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_________．
特别地，若y＝f (u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝_______．
y′u·u′x
y′u·a
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin (πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． (　　)
(2)f (x)＝ln (3x－1)，则f ′(x)＝． (　　)
(3)f (x)＝x2cos 2x，则f ′(x)＝2x cos 2x＋2x2sin 2x． (　　)
[提示]　(2)中f ′(x)＝．(3)中，f ′(x)＝2x cos 2x－2x2sin 2x．
×
×
√
体验2．函数y＝的导数是(　　)
A． B．
C．－ D．－
C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－．]
√
体验3．下列对函数的求导正确的是(　　)
A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝
C．y＝cos ，则y′＝sin
D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2
√
D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝
22xln 2．故D正确．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　复合函数的导数
【例1】　【链接教材P207例4】
求下列函数的导数：
(1)y＝e2x+1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝．
[解]　(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1．
(2)函数y＝可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4
＝－6(2x－1)-4＝－．
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝．
(4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝＝
＝．
【教材原题·P207例4】
求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－3)3；(2)y＝ln (5x＋1)．
[解]　(1)y＝(2x－3)3可由y＝u3及u＝2x－3复合而成，所以y′x＝y′u×2＝(u3)′×2＝3u2×2＝6u2＝6(2x－3)2．
(2)y＝ln (5x＋1)可由y＝ln u及u＝5x＋1复合而成，所以y′x＝y′u×5＝(ln u)′×5＝×5＝．
反思领悟　1．解答此类问题常犯的两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
(1)y＝103x-2；(2)y＝ln (ex＋x2)；
(3)y＝x．
[解]　(1)令u＝3x－2，则y＝10u．
所以y′x＝y′u·u′x＝10u ln 10·(3x－2)′
＝3×103x-2ln 10．
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u．
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝．
(3)y′＝(x)′＝＋x()′
＝＝．
类型2　三角函数型函数的导数
【例2】　求下列函数的导数：
(1)y＝cos ；
(2)y＝x2＋tan x．
[解]　(1)∵y＝cos ＝cos sin －cos2＝sinx－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－，∴y′＝′
＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)．
(2)因为y＝x2＋，所以y′＝(x2)′＋′＝2x＋＝2x＋．
反思领悟　三角函数型函数的求导要求
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导．
复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sinx3；
(3)y＝cos4x－sin4x．
[解]　(1)∵y＝，
∴y′＝′＝sin x．
(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′
＝3sin2x cos x＋3x2cos x3．
(3)∵y＝cos4x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x，
∴y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x．
类型3　导数运算法则的综合应用
【例3】　(1)曲线y＝f (x)＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A．　　 　B．2　　 　C．3　　 　D．0
(2)设曲线y＝f (x)＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
√
2
(1)A　(2)2　[(1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵f ′(x)＝，∴f ′(x0)＝＝2，
解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．
(2)曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．]
[母题探究]
1．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝f (x)＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解]　由题意可知，设切点P(x0，y0)，则f ′(x0)＝＝2，∴x0＝1，
即切点P(1，0)，∴＝2，解得m＝8或m＝－12．
即实数m的值为8或－12．
2．(变条件、变结论)把本例(1)的条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝
ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值．
[解]　函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝．设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)
＋ln (n＋1)．整理后对比得
解得因此b＝1－ln 2．
反思领悟　利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
1．函数y＝(2 026－8x)3的导数y′＝(　　)
A．3(2 026－8x)2
B．－24x
C．－24(2 026－8x)2
D．24(2 026－8x)2
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[y′＝3(2 026－8x)2×(2 026－8x)′＝3(2 026－8x)2×(－8)＝－24
(2 026－8x)2．]
2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)
A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x
D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x
√
B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2x cos 2x－2x2sin 2x．]
3．已知f (x)＝ln (3x－1)，则f ′(1)＝________．
　[f ′(x)＝×(3x－1)′＝，∴f ′(1)＝＝．]
4．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________．
－　[∵f (x)＝xe－x，∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)·e－x，∴f ′(2)＝
－．根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝f ′(2)＝
－．]
－
5．求下列函数的导数：
(1)y＝e2x；(2)y＝(1－3x)3．
[解]　(1)y′＝e2x·(2x)′＝e2x·2＝2e2x．
(2)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2
或y′＝－81x2＋54x－9．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．复合函数的求导法则是什么？
[提示]　对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．
2．求复合函数的导数需要注意什么？
[提示]　①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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一、选择题
1．若f (x)＝ex ln 2x，则f ′(x)＝(　　)
A．exln 2x＋ B．ex ln 2x－
C．ex ln 2x＋ D．2ex·
课时分层作业(三十四)　简单复合函数的导数
√
C　[f ′(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋．]
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2．已知函数f (x)＝2ln (3x)＋8x，则的值为(　　)
A．10 B．－10
C．－20 D．20
√
C　[∵f (x)＝2ln (3x)＋8x，∴f ′(x)＝＋8＝8＋．
根据导数定义知＝－2＝－2f ′(1)＝－20．故选C．]
3．已知f (x)＝，则f ′＝(　　)
A．－2－ln 2
B．－2＋ln 2
C．2－ln 2
D．2＋ln 2
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√
D　[依题意有f ′(x)＝，故f ′＝＝2＋
ln 2，所以选D．]
4．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x ln x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　　)
A．y＝－x B．y＝－x＋2
C．y＝x D．y＝x－2
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√
A　[因为x＜0，f (x)＝f (－x)＝－x ln (－x)＋1，f (－1)＝1，f ′(x)＝
－ln (－x)－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x．故选A．]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2
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√
B　[设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2．]
二、填空题
6．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________．
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2sin2x　[∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，
∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′＝2sin 2x．]
2sin2x
7．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
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(e，e)　[设P(x0，y0)．∵y＝x ln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．
∴k＝1＋ln x0．又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e．
∴y0＝eln e＝e．
∴点P的坐标是(e，e)．]
(e，e)
8．已知P为指数函数f(x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．
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　[设f (x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f ′(x)＝ex，
f ′(x0)＝＝1，x0＝0，f (0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝＝．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求下列函数的导数：
(1)y＝(3x＋5)3；
(2)y＝e-0.05x+1；
(3)y＝ln (2x－1)．
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[解]　(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
yx′＝yu′·ux′
＝(u3)′·(3x＋5)′
＝3u2×3
＝9(3x＋5)2．
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(2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
yx′＝yu′·ux′
＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu
＝－0.05e-0.05x+1．
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(3)函数y＝ln (2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
yx′＝yu′·ux′
＝(ln u)′·(2x－1)′
＝×2
＝．
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10．曲线y＝f (x)＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
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[解]　∵y＝esin x，
∴y′＝f ′(x)＝esin xcos x，
∴f ′(0)＝1．
∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0．
又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0．
由＝得m＝－1或3．
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0．
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11．(多选题)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A．π B．π
C．π D．π
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√
√
AC　[因为y＝，所以y′＝＝＝．
因为ex>0，所以ex＋2，当且仅当x＝0时，等号成立．所以y′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈．故选AC．]
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12．曲线y＝f (x)＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A． B．
C． D．1
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√
A　[依题意得y′＝e-2x·(－2)＝－2e-2x，f ′(0)＝＝－2．
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曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2．在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝．]
13．设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0＜φ＜π)，若f ′＝，则φ＝________；若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________．
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或
或　[f ′(x)＝－sin (x＋φ)．
由条件知，f ′＝－sin (π＋φ)＝sin φ＝，
∴sin φ＝，∵0＜φ＜π，
∴φ＝或．
又f(x)＋f ′(x)
＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ)
＝2sin ，
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若f(x)＋f ′(x)为奇函数，
则f(0)＋f ′(0)＝0，
即0＝2sin，
∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝．]
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14．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的
切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
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　[由y＝x－x2－ln x，得y′＝1－x－(x＞0)，
∵1－x－＝1－1－2＝－1，
当且仅当x＝1时等号成立．
∴y′－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，
∴tan θ－1，又θ∈[0，π)，
∴θ∈．]
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15．设函数f (x)＝aex ln x＋．
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
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[解]　(1)由f (x)＝aex ln x＋，
得f ′(x)＝(aex ln x)′＋′＝aex ln x＋(x>0)．
(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2．
将x＝1代入导函数f ′(x)中，
得f ′(1)＝ae＝e，
∴a＝1．∴a＝1，b＝2．
题号
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谢 谢！