【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.3 5.3.1 单调性 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共77张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　单调性
学习任务 核心素养
1．理解导数与函数的单调性的关系，会用导数求函数的单调区间．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 1．通过对函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养．
2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养．
观察y＝x－1，y＝2x＋1，y＝－3x＋1的图象并回答以下问题：
必备知识·情境导学探新知
①这3个函数图象都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？
②分别求出这3个函数的导数，并观察其导数值有何特点．
知识点　函数f (x)的单调性与导数f ′(x)正负的关系
对于函数y＝f (x)，如果在某区间上f ′(x)>0，那么f (x)在该区间上________；
如果在某区间上f ′(x)__0，那么f (x)在该区间上单调递减．
上述结论可以用下图来直观理解．
单调递增
＜
思考如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f (x)有什么特性？
[提示]　f (x)是常数函数，不具有单调性．
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． (　　)
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性． (　　)
×
√
√
√
[提示]　(1)√　函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确．
(2)×　切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误．
(3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．
(4)√　若f ′(x)0(0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性．
体验2．函数f (x)＝2x－sin x在区间(－∞，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．不确定
A　[∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增．]
√
体验3．导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是
(　　)
A　　　 　　　　B
C　　　　　　 　D
√
D　[当x＞0时，f ′(x)＞0；当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在
(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D．]
体验4．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是__________________．
(－1，2)和(4，＋∞)
(－1，2)和(4，＋∞)　[由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　导函数与原函数的关联图象
【例1】　(1)设函数f (x)在定义域内可导，f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
√
(2)已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
√
(1)D　(2)B　[(1)由f (x)的图象可知，y＝f (x)在(－∞，0)上单调递增，因此当x＜0时，有f ′(x)＞0(即全部在x轴上方)，故排除A，C．从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数单调递增，
f ′(x)＞0；在区间(x1，x2)上原函数单调递减，f ′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上原函数单调递增，f ′(x)＞0，故排除B．故选D．
(2)法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．
法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足．
由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B．]
反思领悟　1．研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．通过图象研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
[跟进训练]
1．已知y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f (x)的图象大致是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
√
C　[当0＜x＜1时，xf ′(x)＜0，
∴f ′(x)＜0，故f (x)在(0，1)上单调递减；
当x＞1时，xf ′(x)＞0，∴f ′(x)＞0，
故y＝f (x)在(1，＋∞)上单调递增．故选C．]
类型2　利用导数求函数的单调区间
【例2】　【链接教材P213例2】
求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝3x2－2ln x；(2)f (x)＝x2e－x．
[解]　(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝6x－＝
＝，
因为x＞0，所以(x＋1)>0，令f ′(x)＞0，解得x＞；令f ′(x)＜0，解得0
＜x＜．
∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为
．
(2)函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，
由于e－x>0，令f ′(x)>0，解得02．
∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
【教材原题·P213例2】
讨论函数f (x)＝2x3－6x2＋7的单调性．
[解]　由题设知，f ′(x)＝6x2－12x．
令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝2．
因此，在区间(－∞，0)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；在区间(0，2)上，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；在区间(2，＋∞)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增(图5-3-3)．
反思领悟　用解不等式法求单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导函数f ′(x)；
(3)解不等式f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间．
[跟进训练]
2．求函数f (x)＝x2－ln x的单调区间．
[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝2x－＝．
因为x＞0，所以x＋1＞0，令f ′(x)＞0，解得x＞，所以函数f (x)的单调递增区间为；令f ′(x)＜0，解得0类型3　讨论含有参数的函数的单调性
【例3】　设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．
[解]　由题意可知g′(x)＝－2ax＋a－2＝－(x＞0)．
∵a＜0，g′(x)＝－(x＞0)．
①当a＜－2时，∵－＜，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减．
②当a＝－2时，g′(x)＝0恒成立，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当－2＜a＜0时，∵－＞，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减．
反思领悟　利用导数研究含参函数f (x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)；
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4)在不同的参数范围内，解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0，确定函数f (x)的单调区间．
[跟进训练]
3．试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间．
[解]　函数f (x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k－＝．
当k0时，kx－1＜0，∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f ′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜；
由f ′(x)＞0，
得＞0，
解得x＞．
∴当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上所述，当k0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
类型4　已知函数的单调性求参数的范围
【例4】　已知函数f (x)＝x3－ax－1在定义域上单调递增函数，求实数a的取值范围．
[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f (x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递增，
所以f ′(x)＝3x2－a0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a3x2对x∈R恒成立，因为3x20，所以只需a0．
故实数a的取值范围是(－∞，0]．
[母题探究]
1．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的取值范围．
[解]　由题意可知f ′(x)＝3x2－a，函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)．
①当a0时，f ′(x) 0，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与已知矛盾，不符合题意．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，当－＜x＜时，f ′(x)＜0．∴f (x)在上单调递减，∴f (x)的单调递减区间为，又∵由题意知，函数f (x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)．∴＝1，即a＝3．
2．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
[解]　由题意可知f ′(x)＝3x2－a0在(－1，1)上恒成立，∴即
∴a3．即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
[解]　∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，令f ′(x)＝0，得x＝±(a0)，∵f (x)在区间(－1，1)上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜3．故a的取值范围为(0，3)．
反思领悟　1．已知f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则
f ′(x)0(f ′(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
2．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是
f ′(x)0(或f ′(x)0)在(a，b)上恒成立，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0．
1．设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
C　[∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；当1＜x＜4时，f ′(x)＞0．故选C．]
2．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
√
D　[∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f ′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2．∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
3．已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e
C．e-1 D．e-2
√
C　[因为函数f (x)＝aex－ln x，所以f ′(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x)0在(1，2)上恒成立，即aex－0在(1，2)上恒成立，易知a>0，则00，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以e，即a＝e-1，故选C．]
4．函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．
(0，1)　[函数的定义域为(0，＋∞)，
且f ′(x)＝x－＝，
令＜0，解得0＜x＜1，
则函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0，1)．]
(0，1)
5．已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．
[解]　f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a0，则f ′(x)＜0，
所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a＞0，
则令f ′(x)＝0，得x＝－ln a．
当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0．
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f (x)在区间(a，b)上的单调性与f ′(x)的符号有什么关系？
[提示]　若f ′(x)>0，则f (x)单调递增；若f ′(x)<0，则f (x)单调递减．
2．如何判断或证明函数的单调性？
[提示]　判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．已知函数f (x)＝x ln x，则f (x)(　　)
A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
课时分层作业(三十五)　单调性
√
D　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f ′(x)＝1＋ln x，令f ′(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝，
∴当0＜x＜时，f ′(x)＜0；当x＞时，f ′(x)＞0．
∴f (x)在上单调递减，在上单调递增．故选D．]
题号
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2．在R上可导的函数f (x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·
f ′(x)＞0的解集为(　　)
√
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B　[当x＞0时，x·f ′(x)＞0 f ′(x)＞0 函数单调递增，根据图形知，x＞1或x＜－1 x＞1；当x＝0时，不成立；
当x＜0时，x·f ′(x)＞0 f ′(x)＜0 函数单调递减，根据图形知，－1＜x＜1 －1＜x＜0．综上所述，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B．]
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3．已知函数f (x)＝2x－ln |x|，则f (x)的大致图象为(　　)
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√
A　　　 　B　　　 　C　　　 　D
A　[当x＜0时，f (x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，则B，D错误；
当x＞0时，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－＝，则f (x)在上单调递减，上单调递增，所以A正确，故选A．]
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4．函数f (x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]　　　　　　 B．[－2，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
题号
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√
B　[∵f (x)＝x3＋kx2－7x，∴f ′(x)＝3x2＋2kx－7，由题意可知，不等式f ′(x)0对于任意的x∈[－1，1]恒成立，
所以解得－2k2．
因此，实数k的取值范围是[－2，2]．故选B．]
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5．函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)＞2，则f (x)＞2x＋4的解集为(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
题号
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√
B　[依题意可设g(x)＝f (x)－2x－4，所以g′(x)＝f ′(x)－2＞0．
所以函数y＝g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f (－1)＋2－4＝0．
所以要使g(x)＝f (x)－2x－4＞0，
即g(x)＞g(－1)，只需要x＞－1，故选B．]
题号
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二、填空题
6．函数f (x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________．
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　[令f ′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得7．已知函数f (x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是____________．
题号
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[－]　[f ′(x)＝－3x2＋2ax－10在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－120 －a，即a的取值范围是
[－]．]
[－]
8．若函数f (x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不
单调，则实数k的取值范围是________．
题号
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　[因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x)＝4x－，由f ′(x)＝0，得x＝．当x∈时，f ′(x)＜0；当x∈时，f ′(x)＞0．据题意，k－1＜＜k＋1，k－10，解得1k＜．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)讨论函数f (x)＝2x3－3x2－36x＋16的单调性．
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[解]　f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x＋2)(x－3)．
设f ′(x)＞0，则6(x＋2)(x－3)＞0，即x＜－2或x＞3．
故当x∈(－∞，－2)或x∈(3，＋∞)时，f ′(x)＞0，因此，函数f (x)在区间(－∞，－2)和(3，＋∞)上单调递增；
当x∈(－2，3)时，f ′(x)＜0，因此，函数f (x)在区间(－2，3)上单调递减．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f (x)＝6ln x＋h(x)．
题号
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(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若函数f (x)在区间1，m＋上单调，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f (x)＝6ln x＋x2－8x＋2．
题号
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(2)∵f ′(x)＝＋2x－8＝(x＞0)．
令f ′(x)>0，解得03；令f ′(x)<0，解得1要使函数f (x)在区间上单调，则解得＜m．即实数m的取值范围为．
题号
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11．设f (x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，则当aA．f (x)g(x)>f (b)g(b)
B．f (x)g(a)>f (a)g(x)
C．f (x)g(b)>f (b)g(x)
D．f (x)g(x)>f (a)g(a)
题号
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√
C　[因为′＝，f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，所以在R上单调递减．又因为a>，又因为f (x)>0，g(x)>0，所以f (x)g(b)>f (b)g(x)．故选C．]
题号
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12．(多选题)若函数y＝exf (x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增，则称函数f (x)具有M性质，下列函数中具有M性质的函数的选项为(　　)
A．f (x)＝2－x B．f (x)＝3－x
C．f (x)＝x3 D．f (x)＝x2＋2
题号
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√
√
AD　[A中，exf (x)＝ex·2－x＝在R上单调递增，故f (x)＝2－x具有M性质；
B中，exf (x)＝ex·3－x＝在R上单调递减，故f (x)＝3－x不具有M性质；
C中，exf (x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴当x＞－3时，g′(x)＞0，当x＜－3时，g′(x)＜0，
∴exf (x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递
题号
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增，故f (x)＝x3不具有M性质；D中，exf (x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则
g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝f (x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f (x)＝x2＋2具有M性质．]
题号
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13．已知函数f (x)＝＋a ln x＋x，且曲线y＝f (x)在点P(1，f (1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数f (x)的单调递增区间为___________．
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－1
(2，＋∞)
－1　(2，＋∞)　[f (x)＝＋a ln x＋x，其定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＋1＝，
由题知f ′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，这时f ′(x)＝，由f ′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，
令f ′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，
所以函数y＝f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
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14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
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(0，＋∞)　[若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0．]
(0，＋∞)
15．已知函数f (x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
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[解]　(1)当a＝3时，f (x)＝x2＋2x－ln x，其定义域为(0，＋∞)．
∴f ′(x)＝3x＋2－＝．
令f ′(x)＜0，解得0＜x＜，
令f ′(x)＞0，解得x＞，
∴函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
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(2)∵f (x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，
∴f ′(x)＝ax＋2－＝(a∈R)．
若函数f (x)存在单调递增区间，则f ′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解．
分离参数得a＞，令g(x)＝，则依题意，只需a＞g(x)min即可．
∵g(x)＝＝－1，
∴g(x)min＝－1，∴a＞－1，即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞)．
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谢 谢！