【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.3 5.3.2 极大值与极小值 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共79张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　极大值与极小值
学习任务 核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(难点) 2．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点) 1．通过对极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．
2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
必备知识·情境导学探新知
知识点1　极大值与极小值
(1)极大值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有
f (x)____f (x1)，则称f (x1)为函数f (x)的一个极大值．
(2)极小值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有
f (x)____f (x2)，则称f (x2)为函数f (x)的一个极小值．
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)极大值一定比极小值大． (　　)
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． (　　)
(3)单调函数不存在极值．　 (　　)
[提示]　(1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；
(2)有的函数可能没有极值，∴(2)错误；
(3)正确．
×
×
√
知识点2　函数极大值、极小值与函数的导数的关系
(1)极大值与导数的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f ′(x) f ′(x)＞0 f ′(x)＝0 f ′(x)＜0
f (x) ? 极大值f (x1) ?
(2)极小值与导数的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f ′(x) f ′(x)＜0 f ′(x)＝0 f ′(x)＞0
f (x) ? 极小值f (x2) ?
体验2．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是(　　)
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
BC　[对于A，y′＝3x20，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴在x＝0处取得极小值；对于C，根据图象(图略)知，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]
√
√
体验3．函数f (x)＝x＋2cos x在上的极大值为(　　)
A．f (0) B．f 　
C．f 　 D．f
√
B　[f ′(x)＝1－2sin x．
令f ′(x)＝0，解得sin x＝．
∵x∈，
∴x＝．故当x∈[0，)时，f ′(x)>0；当x∈(时，f ′(x)<0．
∴f 是f (x)在上的极大值．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　不含参数的函数求极值
【例1】　【链接教材P215例4】
求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2．
[解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝
－1，x2＝3．
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ? 无极值 ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝3时，y极大值＝f (3)＝108；当x＝5时，y极小值＝f (5)＝0．
【教材原题·P215例4】
求f (x)＝x2－x－2的极值．
[解]　f ′(x)＝2x－1．令f ′(x)＝0，解得x＝．
列表如表5-3-3所示．
表5-3-3
x 左侧 右侧
f ′(x) — 0 ＋
f (x) ? 极小值f ?
因此，当x＝时，f (x)有极小值f ＝－．
反思领悟　求函数y＝f (x)的极值的步骤
(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f (x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么函数在这个根处不能取得极值．
[跟进训练]
1．求函数f (x)＝3x3－3x＋1的极值．
[解]　f ′(x)＝9x2－3，令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝．当x变化时，
f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x －∞，－ － －， ，＋∞
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
根据上表可知，当x＝－时，函数f (x)有极大值为f ＝1＋；当x＝时，函数f (x)有极小值为f ＝1－．
类型2　含参数的函数求极值
【例2】　已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值．
[解]　∵f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝．①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝；当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝0．
②当a＜0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝0；
当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝．
综上，当a＞0时，函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；
当a＜0时，函数f (x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值．
反思领悟　求含参数的函数极值的注意点
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
[跟进训练]
2．若函数f (x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f (x)的极值．
[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．①当a0时，
f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值．
②当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a．
当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0．
故f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－a ln a，无极大值．
综上可知，当a0时，函数f (x)无极值；
当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
类型3　由极值求参数的值或取值范围
【例3】　(1)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(　　)
A．4或－3　　　　　　 B．4或－11
C．4 D．－3
(2)若函数f (x)＝x2＋(a－1)x－a ln x没有极值，则(　　)
A．a＝－1 B．a0
C．a＜－1 D．－1＜a＜0
√
√
(1)C　(2)A　[(1)∵f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．由
题意得即
解得或当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝
3(x－1)20，故函数f (x)单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝4．故选C．
(2)f ′(x)＝(x－1)，x＞0，当a0时，＋1＞0，令f ′(x)＜0，得0＜x＜1；令f ′(x)＞0，得x＞1．f (x)在x＝1处取极小值，不符合题意．当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，
①若a＝－1，此正数解x＝1，此时f ′(x)＝0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，符合题意．
②若a≠－1，此正数解x≠1，f ′(x)＝0必有2个不同的正数解，f (x)存在2个极值，不符合题意．综上，a＝－1．故选A．]
反思领悟　已知函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：若f (x0)是函数的极值，那么f ′(x0)＝0，且在x0两侧的导数值异号．
(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f ′(x)；
②由f ′(x0)＝0，列出方程(组)，求解参数．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f ′(x)0或f ′(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[跟进训练]
3．若函数f (x)＝x(x－m)2在x＝2处取得极大值，求函数f (x)的极大值．
[解]　∵f ′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f ′(2)＝0，
∴(m－2)(m－6)＝0，
即m＝2或m＝6．
①当m＝2时，f ′(x)＝(x－2)(3x－2)，
由f ′(x)＞0，得x＜或x＞2；
由f ′(x)＜0，得＜x＜2．
∴f (x)在x＝2处取得极小值，不合题意，故m＝2舍去．
②当m＝6时，f ′(x)＝(x－6)(3x－6)，
由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞6；
由f ′(x)＜0，得2＜x＜6．
∴f (x)在x＝2处取得极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32．
即函数f (x)的极大值为32．
类型4　极值问题的综合应用
【例4】　已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
从函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)的图象观察，若方程f (x)＝0有三个不同实根，其极大值与极小值应满足什么条件？
[提示]　要使f (x)＝0有三个不同实根，则其有极大值大于0，极小值小于0．
[解]　令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1当x>1时，f ′(x)>0．
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a．
因为方程f (x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有解得－2(－2，2)．
[母题探究]
1．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解]　由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a，极小值f (1)＝－2＋a，
若f (x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2．
2．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
[解]　由例题可知，要使方程f (x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2．故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
3．(变条件、变结论)讨论方程＝a的根的情况．
[解]　令f (x)＝，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝．
令f ′(x)＝0，得x＝e．
当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) ? ?
因此极大值为f (e)＝，函数f (x)没有极小值点．其图象如图．
综上，当0＜a＜时，＝a有两个不同的根；
当a＝或a0时，＝a只有一个根；
当a＞时，＝a没有实数根．
反思领悟　利用导数求函数零点的个数
(1)利用导数可以判断函数的单调性；
(2)研究函数的极值情况；
(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；
(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数．若含有参数，则需要讨论极值的正负．
1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)
学习效果·课堂评估夯基础
√
A．在(1，2)上函数f (x)单调递增
B．在(3，4)上函数f (x)单调递减
C．在(1，3)上函数f (x)有极大值
D．f (3)是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值
D　[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，
∴f (2)是函数f (x)的极大值，f (4)是函数f (x)的极小值，故A，B，C正确，D错误．]
2．设函数f (x)＝xex，则(　　)
A．f (1)为f (x)的极大值
B．f (1)为f (x)的极小值
C．f (－1)为f (x)的极大值
D．f (－1)为f (x)的极小值
√
D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1．当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0．故当x＝－1时，f (x)取得极小值．]
3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________________________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为________．
2ln 2　[f ′(x)＝(x>0)，故f ′(e)＝，解得f ′(e)＝，
所以f (x)＝2ln x－，f ′(x)＝．
由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e．所以函数f (x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2．]
2ln 2
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．极大值与极小值的概念是什么？
[提示]　若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f (x)f (x1)，则称f (x1)为函数f (x)的一个极大值；若都有f (x)f (x1)，则称f (x1)为函数f (x)的一个极小值．
2．求函数的极值的步骤是什么？
[提示]　(1)确定函数的定义域，求导数f ′(x)．
(2)求方程f ′(x)＝0的根．
(3)列表．
(4)利用f ′(x)与f (x)随x的变化情况表，根据单调性的变化情况求极值．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．设函数f (x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f (x)的极大值点 B．x＝为f (x)的极小值点
C．x＝2为f (x)的极大值点 D．x＝2为f (x)的极小值点
课时分层作业(三十六)　极大值与极小值
√
D　[f ′(x)＝，x>0，令f ′(x)＝0，即＝0，得x＝2，
当x∈(0，2)时，f ′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，
f ′(x)>0．
因此x＝2为f (x)的极小值点，故选D．]
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2．已知函数f (x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0，1) D．(－1，0)
√
D　[∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，
则f (x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f (x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f (x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．]
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3．函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则(　　)
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√
A．f 是极大值
B．f (－2)是极大值
C．f (2)的极大值
D．f 是极小值
A　[对于A选项，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，f 是极大值，A选项正确；
对于B选项，当x＜－2时，f ′(x)＜0，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，f (－2)是极小值，B选项错误；
对于C选项，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，当x＞2时，f ′(x)＞0，f (2)是极小值，C选项错误；
对于D选项，由于函数y＝f (x)为可导函数，且f ′＜0，f 不是极小值，D选项错误．故选A．]
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4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
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√
B　[∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，
∴y′＝3x2＋2bx＋c．
又x＝1，3是y′＝0的两个根，
∴即
∴y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
∴当x＝1时，f (x)极大值＝4 ，
当x＝3时，f (x)极小值＝0，满足条件，故选B．]
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5．已知a为常数，函数f (x)＝x ln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(0，e)
C． D．
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√
A　[f ′(x)＝ln x＋2－2ax，x>0，函数f (x)有两个极值，则f ′(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝，
则有解得要使函数图象有两个交点，
则0＜2a＜e，即0＜a＜．故选A．]
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二、填空题
6．已知函数f (x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为
____________．
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　[∵f ′(x)＝x2－x＋c，要使f (x)无极值，则方程f ′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c．]
7．若函数f (x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
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[1，5)　[∵f ′(x)＝3x2＋2x－a，函数f (x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，即f ′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根．又函数f ′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－．∴应满足∴
∴1a<5．]
[1，5)
8．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f (x)极大值与极小值的差为________．
题号
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4　[函数f (x)求导得f ′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f (x)在x＝2取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0．①
又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
所以f ′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②
联立①②可得a＝－1，b＝0，所以f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当f ′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f ′(x)＜0时，0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调递减区间是(0，2)，
因此求出函数的极大值为f (0)＝c，极小值为f (2)＝－4＋c，
故函数的极大值与极小值的差为c－(－4＋c)＝4．]
题号
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三、解答题
9．(源自人教A版教材)求函数f (x)＝x3－4x＋4的极值．
题号
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[解]　因为f (x)＝x3－4x＋4，所以f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f ′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2．当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示．
题号
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x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
因此，当x＝－2时，f (x)有极大值，并且极大值为f (－2)＝；当x＝2时，f (x)有极小值，并且极小值为f (2)＝－．
10．已知f (x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f (1)＝
－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断f (x)在x＝±1处取得极大值还是极小值，并说明理由．
题号
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[解]　f ′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c．
(1)法一：∵f (x)在x＝±1处取得极值，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知
又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
题号
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法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0，　①
3a－2b＋c＝0，　②
又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
题号
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(2)由(1)知f (x)＝x3－x，
∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时f ′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0．
∴函数f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
∴当x＝－1时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值．
题号
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11．如图是函数f (x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则等于
(　　)
A． B．
C． D．
题号
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√
C　[函数f (x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f ′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f (x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝．]
题号
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12．(多选题)若函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
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√
√
√
BCD　[因为函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝，因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等
的正实根x1，x2，则即所以故选BCD．]
题号
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13．已知函数f (x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f (x)的极大值是________．
题号
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0
4e-2
0　4e-2　[由题意知f ′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex．由f ′(0)＝－2m＝0，解得m＝0．
则f (x)＝x2ex，f ′(x)＝(x2＋2x)ex，令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，故函数f (x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f (x)在x＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e-2．]
题号
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14．已知函数f (x)＝xe2x－1，则函数f (x)的极小值为________，零点有________个．
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－－1
1
－－1　1　[∵f (x)＝xe2x－1，∴f ′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1＋2x)e2x，令f ′(x)＝0，可得x＝－，
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表所示：
题号
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x －
f ′(x) － 0 ＋
f (x) ? 极小值 ?
所以函数f (x)的极小值为f ＝－－1，
f (x)＝0 e2x＝，则函数f (x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝的图象的交点个数，如图所示．
题号
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两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f (x)只有一个零点．]
15．已知函数f (x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f (x)无极值？
(2)试确定k的值，使f (x)的极小值为0．
题号
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[解]　(1)∵f (x)＝，
∴f ′(x)＝．
要使f (x)无极值，只需f ′(x)0或f ′(x)0恒成立即可．
设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，
∵ex＞0，∴f ′(x)与g(x)同号．
∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)0恒成立，
∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)20，解得k＝4，
∴当k＝4时，f (x)无极值．
题号
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(2)由(1)知k≠4，令f ′(x)＝0，得x1＝2，x2＝．
①当＜2，即k＜4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
题号
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x 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ? 极小值 ? 极大值 ?
由题意知f ＝0，可得2·－k·＋k＝0，∴k＝0，满足k＜4．
②当＞2，即k＞4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
题号
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x 2
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ? 极小值 ? 极大值 ?
由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，
∴k＝8，满足k＞4．
综上，当k＝0或k＝8时，f (x)有极小值0．
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谢 谢！