【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.1 直线的斜率与倾斜角 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　直线与方程
1.1　直线的斜率与倾斜角
学习任务 核心素养
1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1．借助对倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养．
2．通过对斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养．
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
(1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝(x1≠x2)．
(2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在．
(3)对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作k＝＝＝．
体验1．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是________．
　[由斜率公式可得＝1，解得m＝．]
知识点2　直线的倾斜角
定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按______方向旋转到与直线重合时，所转过的_________称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为__
范围 {α|0α＜π}
作用 表示平面直角坐标系内一条直线的________
逆时针
最小正角α
0
倾斜程度
思考1．任意一条直线都有倾斜角吗？不同直线的倾斜角一定不相同吗？
[提示]　由倾斜角的定义可以知道，任意一条直线都有倾斜角；不同直线的倾斜角可能相同，如平行直线的倾斜角都是相同的．
知识点3　直线的倾斜角与斜率的关系
(1)当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在；
(2)当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝tan α．
思考2．所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
[提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°．
体验2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角α是(　　)
A．0°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
√
A　[∵k＝＝0，∴α＝0°．]
体验3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A． B．
C．1 D．
√
A　[由题意可知，k＝tan 30°＝．]
体验4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　)
(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应． (　　)
(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． (　　)
(4)直线的倾斜角α的集合{α|0°α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． (　　)
√
×
×
×
类型1　直线的倾斜角
【例1】　求图中各直线的倾斜角．
关键能力·合作探究释疑难
(1)　　　　　　(2)　　　　　 (3)
[解]　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°．
(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．
(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°．
①　　　　　②　　　　　③
反思领悟　求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．
②注意直线倾斜角的取值范围是0°α＜180°．
[跟进训练]
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)
A．α　　　　　　　　　
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
√
D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．
故选D．]
类型2　直线的斜率
【例2】　【链接教材P6例1】
(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于
(　　)
A．1 B．5
C．－1 D．－5
(2)若A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则a的值为________．
√
4
(3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．
(1)D　(2)4　[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5．
(2)由斜率公式得kAB＝＝2，因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以2＝，解得a＝4．]
(3)[解]　直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，＝tan 30°＝＝tan 120°＝－．
【教材原题·P6例1】
如图1-1-4，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，试计算直线l1，l2，l3的斜率．
[解]　设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率，则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0．
反思领悟　解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列式求解．
[跟进训练]
2．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．
4　[依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1．
kAC＝＝＝－1，kBC＝＝，由题意得kAC＝3kBC，即－1＝3×，解得m＝4．]
4
类型3　直线的倾斜角和斜率的综合
【例3】　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[思路探究]　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间．要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有kkPB；当l的倾斜角大于90°时，则有kkPA．
[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k－1或k1．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°α135°}．
[母题探究]
1．(变条件)本例中，三点坐标不变，其他条件改为过B的直线l与线段AP有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
[解]　如例题中解图所示，根据斜率公式得kAB＝＝－，kBP＝＝1，∴直线l的斜率的取值范围为
2．(变条件)本例中，A，B两点坐标不变，其他条件去掉，在直线y＝－1上求一点P，使PA，PB的斜率互为相反数．
[解]　∵点P在直线y＝－1上，∴可设点P(x，－1)．由条件可知kPA，kPB一定存在．由斜率公式得kPA＋kPB＝＝0，解得x＝．故所求点P坐标为．
反思领悟　直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
[跟进训练]
3．若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的
内部运动(不包含边界)，则的取值范围是________．
　[根据已知条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝．利用图象(图略)，可得的取值范围是．]
1．(教材P6例1改编)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．不存在
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[由直线的斜率公式，得k＝＝－2．]
2．若直线l经过M(2，3)，N(4，3)，则直线l的倾斜角为(　　)
A．0° B．30°
C．60° D．90°
√
A　[因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°．]
3．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)
A．0°α＜90°
B．90°α＜180°
C．90°＜α＜180°
D．0°＜α＜180°
√
C　[直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故90°＜α＜180°，选C．]
4．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝________．
－1　[kAB＝＝tan 45°＝1，即＝1，∴y＝－1．]
－1
5．已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
[解]　l2的斜率为k2＝＝1，∴l2的倾斜角为45°，由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，它们有什么联系？
[提示]　
直线情况 平行于x轴 垂直于x轴
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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2
4
6
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13
√
14
15
一、选择题
1．过点A(－)与点B(－)的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
课时分层作业(一)　直线的斜率与倾斜角
A　[因为斜率k＝＝1，所以倾斜角为45°．]
题号
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√
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2．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1D　[由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大，∴k13．(教材P9习题1.1T5改编)若三点A(2，3)，B(3，2)，C共线，则实数m的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
√
题号
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C　[设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即－1＝－(m－2)，解得m＝．]
题号
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√
4．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°α＜180°时，倾斜角为α－135°
题号
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D　[根据题意，画出图形，如图所示．
题号
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通过图形可知：当0°α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
√
5．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，2]
C．0， D．(0，3]
题号
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B　[如图，经过(1，2)和(0，0)的斜率k＝2，若l不通过第四象限，则0k2．故选B．]
题号
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二、填空题
6．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍，则点P的坐标为________．
题号
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(－5，0)　[设P(x，0)，由条件kPA＝2kPB，则＝2×，解得x＝－5，故P(－5，0)．]
(－5，0)
7．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为_____________．
题号
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(3，0)或(0，3)　[由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m，0)，则＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝
－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3，0)或(0，3)．]
(3，0)或(0，3)
8．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是______________________．
题号
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(－∞，－2)∪(1，＋∞)　[由k＝＝＞0得a＞1或a＜－2．]
(－∞，－2)∪(1，＋∞)
三、解答题
9．(源自人教A版教材)如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
题号
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[解]　直线AB的斜率kAB＝＝；直线BC的斜率kBC＝＝＝－；直线CA的斜率kCA＝＝＝1．由kAB＞0及kCA＞0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC＜0可知，直线BC的倾斜角为钝角．
题号
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10．(源自北师大版教材)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k．
(1)若0α，求斜率k的取值范围；
(2)若α，求斜率k的取值范围；
(3)若－k－，求倾斜角α的取值范围；
(4)若－1k，求倾斜角α的取值范围．
题号
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[解]　(1)由0α及正切函数的性质，可得tan 0tan αtan ，即0tan α，所以斜率k的取值范围是{k|0k}．
(2)由正切函数的性质，可得当α<时，k＝tan α1；当<α时，k＝tan α－1；当α＝时，斜率k不存在．综上，斜率k的取值范围是{k|k－1或k1}．特别地，当α＝时，斜率k不存在．
题号
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(3)由－k－，可得－tan α－．又0α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是．
(4)由－1k，可得－1tan α．又0α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是．
题号
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√
11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　)
A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2
B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2
C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2
D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2
题号
2
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√
√
ABC　[当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k1＞k2，选项A中说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B中说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C中说法错误；若k1＝k2，说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确．]
题号
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12．斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为(　　)
A．4，0　 B．－4，－3
C．4，－3　 D．－4，3
√
题号
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C　[由题意，得即解得a＝4，b＝－3．]
13．直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜
率为________．
题号
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30°
30°　　[如图所示．
题号
2
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4
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15
∵直线l的倾斜角为150°，∴绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝tan α＝
tan 30°＝．]
14．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围为__________________________．
题号
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(－∞，－1]∪[3，＋∞)　[如图，要使l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间．
(－∞，－1]∪[3，＋∞)
当直线l的倾斜角为钝角时，∵直线PA的斜率为＝－1，∴k∈(－∞，－1]，当l的倾斜角为锐角时，又直线PB的斜率为＝3，∴k∈[3，＋∞)．故k∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]
题号
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15．已知平面直角坐标系内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．
题号
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15
[解]　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝．
倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内，∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°．
∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°．∵tan 30°＝，∴直
线AC的倾斜角为30°．
题号
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(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由
kCA增大到kCB，所以k的取值范围为
题号
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谢 谢！