【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.3 直线的一般式方程 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　直线与方程
1.2.3　直线的一般式方程
1.2　直线的方程
学习任务 核心素养
1．掌握直线的一般式方程．(重点) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点) 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 通过学习直线方程的五种形式的相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养．
初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax＋By＋C＝0．前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)、斜截式：y＝kx＋b、两点式：＝和截距式：＝1．它们都可以化成为二元一次方程的形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)叫作直线的一般式方程，下面进入今天的学习．
必备知识·情境导学探新知
知识点　直线的一般式方程
(1)定义：方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
思考当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
[提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线． (　　)
(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． (　　)
(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线． (　　)
√
√
√
体验2．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为(　　)
A．－1，2 B．－2，2
C．2，－2 D．－2，－2
√
A　[y＝0时，x＝－＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－＝－＝2，
解得a＝－1．]
体验3．直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________．
60°　[把3x－y＋1＝0化成斜截式得y＝x＋，∴k＝，倾斜角为60°．]
60°
类型1　直线的一般式方程与其他形式的互化
【例1】　【链接教材P17例5】
(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
关键能力·合作探究释疑难
(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
①斜率是－，经过点A(8，－2)；
②经过点B(4，2)，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解]　(1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为y＝x＋2．
截距式方程为＝1．由此可知，直线l的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2．
(2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0．
②由斜截式得y＝2，即y－2＝0．
③由截距式得＝1，即2x－y－3＝0．
④由两点式得＝，即x＋y－1＝0．
【教材原题·P17例5】
求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图．
[解]　将直线l的方程3x＋5y－15＝0写成y＝－x＋3，因此，直线l的斜率为k＝－．

在方程3x＋5y－15＝0中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝5．所以，直线l在y轴上的截距为3，在x轴上的截距为5．过两点(5，0)，(0，3)作直线，就得到直线l(图1-2-5)．
反思领悟　1．求直线的一般式方程的方法
2．由直线的一般式方程转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1．
[解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0．
(2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0．
(3)由截距式方程可得，所求直线方程为＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0．
类型2　直线过定点问题
【例2】　求直线l：(m－1)x－y＋2m＋1＝0所过的定点的坐标．
[解]　法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，由直线的点斜式方程可知直线l过定点(－2，3)．
法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0．令
解得∴直线l过定点(－2，3)．
反思领悟　直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
(2)将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．
[跟进训练]
2．不论m为何值，直线3x＋2y－12＝0过定点(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[整理直线方程3x＋2y－12＝0，得m＝0，故直线3x＋2y－12＝0过3x＋2y
＝0与3x－2y＋12＝0的交点，联立方程解得x＝
－2，y＝3，故直线3x＋2y－12＝0过定点．]
类型3　直线一般式方程的应用
【例3】　【链接教材P18例6】
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
1．直线l：5ax－5y－a＋3＝0是否过定点？
[提示]　过定点．
2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第二象限，k，b应满足什么条件？
[提示]　若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第二象限，则应满足k>0且b0．
[解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，∴直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0．∵上式对任意的a
总成立，∴必有即即l过定点A．而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3．如图所示，要使l不经过第二象限，
需斜率akOA＝3，∴a3．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)本例中若直线在y轴的截距为2，求a的值．这时直线的一般式方程是什么？
[解]　把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋．由条件可知＝2，解得a＝－7，这时直线方程的一般式为7x＋y－2＝0．
2．(变条件，变结论)若直线l：5ax－5y－a＋3＝0的倾斜角为直线x－y＋3＝0的倾斜角的2倍，求直线l的方程．
[解]　设直线x－y＋3＝0的倾斜角为α，由k＝tan α知，α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°，斜率k＝tan 120°＝－．又斜率k＝a，所以a＝－，所以直线方程为5x＋5y－3－＝0．
【教材原题·P18例6】
设m为实数，若直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距是－3；
(2)直线l的斜率是1．
[解]　(1)令y＝0，得x＝2m－6．由题意知2m－6＝－3，解得m＝．
(2)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程化为y＝－x＋．由题意知－＝1，解得m＝－1．
反思领悟　已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤
1．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件
(　　)
A．bc＝0 B．a≠0
C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0
学习效果·课堂评估夯基础
√
D　[y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为b＝c＝0，a≠0．]
2．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A． B．2
C．1 D．
√
D　[由题意得直线与坐标轴交点为(1，0)，(0，－1)，故三角形面积为．]
3．斜率为2，且经过点P(1，3)的直线的一般式方程为_____________．
2x－y＋1＝0　[由点斜式得y－3＝2(x－1)，整理得2x－y＋1＝0．]
2x－y＋1＝0
4．(教材P19练习T3(1)改编)若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝________．
1　[由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝，因为2＝，所以a＝1．]
1
5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解]　(1)由题意知m－2≠0，且m2－3m＋2≠0，解得m≠2．
(2)由＝1，m≠2，得m＝0．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何把直线的一般式方程化为斜截式与截距式？
[提示]　
一般式 斜截式 截距式
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) y＝－x－(B≠0)
2．平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)来表示吗？
[提示]　可以．
3．任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
[提示]　可以．
方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的．
阅读材料·拓展数学大视野
如图，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝(m，n)是它的一个方向向量，P(x，y)是直线l上的任意一点，则向量与v共线．根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使＝tv，即(x－x0，y－y0)＝t(m，n)，
所以 ①
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数．由上可知，对于直线l上的任意一点P(x，y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x，y)．我们把①称为直线的参数方程．
从运动学角度看，＝tv(t＞0)可以看成质点P从点P0出发，以速度v＝(m，n)作匀速直线运动，经过时间t后的位移，因此，质点P的运动轨迹是射线P0M．类似地，你能刻画射线P0N吗？由以上讨论，你能说说方程①的运动学意义吗？
如果直线l与坐标轴不垂直，那么mn≠0，由①可得
＝t，＝t，
消去参数t，得
＝，
即y－y0＝(x－x0)，
这样就得到直线l的点斜式方程．
从另外一个角度思考，因为直线l经过点P0(x0，y0)，且它的一个方向向量为v＝(m，n)，所以直线l的斜率k＝，所以直线l的方程为
y－y0＝(x－x0)．
想一想，在直线的参数方程中，(m，n)的几何意义是什么？
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
课时分层作业(四)　直线的一般式方程
D　[直线x＋y＋1＝0的斜率k＝－，所以直线的倾斜角为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
2．将直线＝1化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4
B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0
D．4x＋3y＝12
C　[直线＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0．]
3．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项．又y＝－x＋14过点(0，14)，即该直线过第一象限，所以只有B项正确．]
√
4．如果A·B＞0且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C　[由A·B＞0且B·C＜0，可得直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－＜0，直线在y轴上的截距－＞0，故直线不经过第三象限，故选C．]
√
5．一条光线从点A处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－ D．y＝－x－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线
上，由两点式可求得反射光线所在的直线方程为＝，即y＝
－2x＋1．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距
的4倍，则m＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
－　[直线方程可化为＝1，所以－×4＝3，解得m＝－．]
－
7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为______________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
x－3y＋24＝0　[由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为
4．根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0．]
x－3y＋24＝0
8．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3，5)，则直线l的一般式方程为________________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0
3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0　[因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±，又因为直线l经过点P(3，5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，所以直线l的方程为＝1，因为点(1，2)在直线l上，所以＝1，解得a＝2或a＝3．当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．(源自北师大版教材)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R．
(1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值；
(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；
(3)若直线l的倾斜角为，求m的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)，所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝．故m的值为．
(2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0．所以直线l的方程可化为斜截式y＝x－．由＝0，可得m＝0．故m的值为0．
(3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为，所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan ，即＝1．解得m＝．故m的值为．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
11．(多选题)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　　)
A．过点(，－2)
B．斜率为
C．倾斜角为60°
D．在y轴上的截距为1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
BC　[对于A，将(，－2)代入直线l：x－y－1＝0，可知不满足方程，故A不正确；
对于B，由x－y－1＝0，可得y＝x－1，所以k＝，故B正确；
对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线的倾斜角为60°，故C正确；
对于D，由x－y－1＝0，可得y＝x－1，直线在y轴上的截距为－1，故D不正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．(多选题)直线l：mx＋(2m－1)y－6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为(　　)
A．2 B．－
C．3 D．－2
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
AB　[在mx＋(2m－1)y－6＝0中令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，即与坐标轴的交点分别为，，根据题意，＝3，解得m＝2或m＝－．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋3＝0的斜率相同，则m＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3　[易知m≠±2．直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则
＝1，即2m2－5m＋2＝m2－4，即m2－5m＋6＝0，所以m＝
3．]
3
14．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15x－3y－7＝0　[因为直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，所以B≠0，且－＝5，即A＝－5B，又A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即C＝B．此时直线的方程化为－5Bx＋By＋B＝0．即－5x＋y＋＝0，故所求直线的方程为15x－3y－7＝0．]
15x－3y－7＝0
15．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，故点B(300，700)，设点A关于x轴的对称点A′(0，
－300)，则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300．令y＝0得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省．
谢 谢！