【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.3 两条直线的平行与垂直 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共68张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　直线与方程
1.3　两条直线的平行与垂直
学习任务 核心素养
1．理解并掌握两条直线平行与重合的条件．(重点) 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点) 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．(重点、难点) 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养．
有一天，著名魔术大师拿了一块长、宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米、长21分米的矩形．地毯匠对魔术师说：“这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．”魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧．”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米、长21分米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？
必备知识·情境导学探新知
(1)　　　　　 　　(2)
为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．
知识点1　两条直线平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应 关系 l1∥l2?_______________ l1∥l2?两直线斜率都不存在
k1＝k2且b1≠b2
类型 斜率存在 斜率不存在
图示
思考如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
[提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．
体验1．直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的位置关系是_____________．
平行或重合　[直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的斜率都为－3，在y轴上的截距分别为a，0．若a＝0，则两直线重合；若a≠0，则两直线平行．]
平行或重合
知识点2　两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存)?_________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0?______
k1k2＝－1
l1⊥l2
体验2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行． (　　)
(2)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直． (　　)
(3)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1． (　　)
√
×
×
体验3．下列直线中，与直线l：y＝3x＋1垂直的是(　　)
A．y＝－3x＋1 B．y＝3x－1
C．y＝x－1 D．y＝－x－1
√
D　[因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，则与直线l垂直的直线的斜率为－．]
类型1　两直线平行或垂直的判定
【例1】　【链接教材P23例2、P25例4】
判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直：
(1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0；
(2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0；
(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(4)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2．
(2)因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合．
(3)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2．
(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴，故l1⊥l2．
【教材原题·P23例2、P25例4】
例2　判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)l1：y＝2x＋1，　l2：y＝2x－1；
(2)l1：2x－y－7＝0，　l2：x＋2y－1＝0．
[解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
(1)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，所以k1＝k2．又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，所以l1与l2不重合，从而l1∥l2．
(2)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－，所以k1≠k2，从而l1与l2不平行．
例4　(1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD；
(2)已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2．
[证明]　(1)由斜率公式，得kAB＝＝，kCD＝＝－，则kABkCD＝＝－1，所以AB⊥CD．
(2)由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝，从而k1k2＝＝－1，所以l1⊥l2．
反思领悟　1．判断两条直线平行的方法
(1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则?l1∥l2．
②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2?l1∥l2．
(2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．
2．判断两条直线垂直的方法
(1)
(2)若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
[跟进训练]
1．判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直：
(1)l1：4x＋2y－1＝0和l2：2x－y－2＝0；
(2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0；
(3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0．
[解]　(1)因为4×(－1)－2×2≠0，4×2＋2×(－1)≠0，所以l1，l2相交．
(2)l2：3y－2x＋4＝0，可变形为2x－3y－4＝0，所以2×(－3)－2×(－3)＝0，又2×(－4)－4×2≠0，所以l1∥l2．
(3)由题意知，－4×2＋(－3)×6≠0，l1与l2不垂直．又2×6－
(－3)×(－4)＝0，2×(－8)－(－4)×4＝0，所以l1，l2重合．
类型2　由平行或垂直关系求直线的方程
【例2】　【链接教材P23例3】
(1)求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程．
(2)求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB面积为6的直线方程．
[解]　(1)法一：∵l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－．∵l′与l平行，∴l′的斜率为－．又∵l′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0．
法二：由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．将点(－1，3)代入上式得m＝－9．∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0．
(2)由题意可设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0．令x＝0，得y＝－，即可设A；令y＝0，得x＝－，即B．又∵△AOB面积为6，即OA·OB＝6，∴··＝6，解得b＝±12，故所求直线方程为3x＋4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0．
【教材原题·P23例3】
求过点A(2，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程．
[解]　已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是－2．根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y＋3＝－2(x－2)，即2x＋y－1＝0．
反思领悟　1．根据平行关系求直线方程的方法
(1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．
(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．
2．根据垂直关系求直线方程的方法
(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－x＋m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．
(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．
[跟进训练]
2．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程．
[解]　法一：因为＝－1，kl＝－，所以＝，故直线l1的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0．
法二：设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0．因为l1经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2．故l1的方程为4x－3y－2＝0．
3．求与直线5x＋6y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程．
[解]　法一：∵直线5x＋6y＋9＝0的斜率为－，∴设所求直线方程为y＝－x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝．由题意，b>0，>0，∴×b×＝15，∴b＝5，故所求直线方程为y＝－x＋5，即5x＋6y－30＝0．
法二：与5x＋6y＋9＝0平行的直线可设为5x＋6y＋m＝0(m≠9)，则
令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－．由题意得故
m<0，∴＝15，解得m＝－30，故所求直线方程为
5x＋6y－30＝0．
类型3　平行与垂直在平面几何中的应用
【例3】　【链接教材P25例5】
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．
[解]　由斜率公式得kOP＝＝t，kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，kPQ＝＝＝－，所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ，所以四边形OPQR为平行四边形．又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．
【教材原题·P25例5】
如图1-3-4，已知三角形的顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在直线的方程．
[解]　直线BC的斜率为kBC＝＝－．因为AD⊥BC，所以kAD＝－＝．根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－4＝
(x－2)，即3x－5y＋14＝0．
反思领悟　利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
[跟进训练]
4．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
[解]　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
所以kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不能作为直角梯形的直角腰．若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，因为kBC＝0，所以直线CD的斜率不存在，从而有x＝3．又kAD＝kBC，所以＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所
求点D的坐标为(3，3)．若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，
AD⊥CD，因为kAD＝，kCD＝，所以解得
所以点D坐标为．综上，点D坐标为(3，3)或
．
1．(多选题)下列命题中，不正确的是(　　)
A．斜率相等的直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
√
ABC　[A错误，斜率相等的直线还可能重合；B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在；C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行；D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－＝1－，则k1＝k2，又直线l1与l2不重合，所以l1∥l2．故选ABC．]
2．若过点A(2，－2)，B(5，0)的直线与过点P(2m，1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为(　　)
A．－1 B．
C．2 D．
√
B　[∵kAB＝＝，∴kPQ＝＝，解得m＝(经检验，符合题意)．]
3．过点(3，－1)与直线6x＋7y－12＝0垂直的直线方程为______________．
7x－6y－27＝0　[直线6x＋7y－12＝0的斜率为－，则与该直线垂直的直线的斜率为．所以所求直线方程为y＋1＝(x－3)，即7x－6y－27＝0．]
7x－6y－27＝0
4．直线l1，l2的斜率分别是方程x2－3x－1＝0的两个根，则l1与l2的位置关系是________．
垂直　[设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由根与系数的关系可得k1k2＝－1，所以l1⊥l2．]
垂直
5．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标．
[解]　设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所
以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC．a所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2，3)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)平行的充要条件是什么？
[提示]　l1∥l2?
2．两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2垂直的充要条件是什么？
[提示]　l1⊥l2(两直线斜率都存在)?k1k2＝－1．
3．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为什么？
[提示]　与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．
4．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为什么？
[提示]　与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋C1＝0．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
14
15
一、选择题
1．已知平面内有A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，则下列说法正确的是(　　)
A．△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°
B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°
D．△ABC不是直角三角形
课时分层作业(五)　两条直线的平行与垂直
B　[∵kAB＝＝－，kBC＝＝2，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．故B正确．]
题号
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题号
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√
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2．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1∥l2，则x＋y等于(　　)
A．4 B．－3
C．1 D．0
C　[由l1∥l2及l1的斜率为2，得解得所以x＋y＝1．]
3．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为(　　)
A．－4 B．－5
C．－6 D．－2
√
题号
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C　[由已知得l1∥l2，则＝，解得a＝－6．]
√
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
题号
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D　[由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－，所以所求直线方程为y＝－x＋4．]
√
5．(多选题)设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0}，若A∩B＝?，则a的值为(　　)
A．－4 B．4
C．－2 D．2
题号
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BC　[A∩B＝?包含两种情况：①直线4x＋ay－16＝0过点(1，3)且斜率不为2；②直线4x＋ay－16＝0与y－3＝2(x－1)平行．由①可得a＝4；又由②可得a＝－2．]
√
二、填空题
6．过原点作直线l的垂线，若垂足为(－2，3)，则直线l的方程是________________．
题号
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2x－3y＋13＝0　[设垂足为A，则kOA＝＝－，由题意可知kl＝
－＝，所以直线l的方程是y－3＝(x＋2)，整理得2x－3y＋13＝0．]
2x－3y＋13＝0
7．已知直线l1：ax＋by＋6＝0，l2：3x－2y＋1＝0，l1在y轴上的截距为1，且l1∥l2，则a＋b＝________．
题号
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3　[∵l1在y轴上的截距为1，∴l1过点(0，1)，∴a×0＋b×1＋6＝0，即b＝－6．又l1∥l2，∴k1＝k2，即＝，∴a＝9，∴a＋b＝3．]
3
8．已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3，5)，(a，2)，且直线l与
直线3x＋4y－5＝0垂直，则a的值为________．
题号
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　[因为直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，故直线l的斜率为．由直线的斜率计算公式，可得＝，解得a＝．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状．
题号
2
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[解]　如图，边AB所在直线的斜率kAB＝－，边BC所在直线的斜率kBC＝2．由kABkBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°．所以△ABC是直角三角形．
题号
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10．已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，当a为何值时，直线AB和直线CD平行？
题号
2
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15
[解]　kAB＝＝－，kCD＝＝(a≠2)．由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0．∴a＝3或a＝－1．当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，∴AB与CD平行．当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，点A与点D重合，∴AB与CD重合．当2－2a＝－a，即a＝2时，kAB＝－，kCD不存在．∴AB和CD不平行．∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．
题号
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√
11．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC．已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则点D的坐标为
(　　)
A．(3，4) B．(4，3)
C．(0，－2) D．(1，0)
题号
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C　[设点D(x，y)，则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB＝kDC，kAD＝kBC，即＝＝，解得x＝0，y＝－2．所以点D(0，
－2)．]
题号
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12．已知点P(3，1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MP⊥MQ，则实数t的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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B　[设M(x，0)．
①当x＝3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t＝0；
②当x＝0时，kMQ不存在，kMP＝，不合题意；
③当x≠0且x≠3时，则由kMP·kMQ＝＝－1，得t＝－x2＋3x＝－＋且t≠0．综上所述，实数t的取值范围是．]
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13．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的方程为_____________．
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2x＋y＋2＝0　[∵直线l与l1平行，∴kl＝＝－2．又∵直线l与直线l2在y轴上的截距相同，∴直线l的方程为y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0．]
2x＋y＋2＝0
14．过点M(－1，－2)作直线l交直线x＋2y＋1＝0于点N，当MN最短时，直线l的方程为___________．
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2x－y＝0　[由题意知MN最短时，直线l与直线x＋2y＋1＝0垂直，又直线l过M(－1，－2)，故直线l的方程为2x－y＝0．]
2x－y＝0
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
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[解]　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
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∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝．当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2．当m＝3时，直线AB的斜率为0，此时l2的斜率不存在，不满足l1∥l2．当m≠1且m≠3时，直线AB的斜率
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kAB＝＝，∴线段AB的垂直平分线l2的斜率k2＝．∵l1与l2平行，∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋．综上，m的值为4＋．
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