【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.4 两条直线的交点 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　直线与方程
1.4　两条直线的交点
学习任务 核心素养
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养．
中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁．假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程．
那么，把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？
必备知识·情境导学探新知
知识点　直线的交点与直线的方程组解的关系
方程组的解 一组 无数组 ____
直线l1，l2的公共点 一个 ______ 零个
直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行
无解
无数个
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． (　　)
(2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交． (　　)
(3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线． (　　)
(4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0． (　　)
×
√
√
√
体验2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　)
A．(2，2) B．(1，1)
C．(1，2) D．(2，1)
√
C　[由得交点坐标为(1，2)，故选C．]
体验3．当0＜k＜1时，两条直线y＝x＋1，2x－y－k＋2＝0的交点在
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
B　[联立两直线方程得它们的交点坐标为，因为0类型1　两条直线的交点问题
【例1】　【链接教材P29例1】
判断下列直线l1与l2是否相交，若相交，求出它们的交点坐标．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　法一：(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2．
法二：＝＝，∴l1与l2相交，由得故l1与l2的交点坐标为(3，－1)．
(2)由＝＝，知l1与l2重合．
(3)l2方程为2x＋y－3＝0，由＝≠，知l1与l2平行．
【教材原题·P29例1】
分别判断下列直线l1与l2是否相交．若相交，求出它们交点的坐标：
(1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3．
[解]　(1)因为方程组的解为所以直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1)．
(2)因为方程组有无数组解，所以直线l1和l2重合．
(3)因为方程组无解，所以l1∥l2．
反思领悟　两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
[跟进训练]
1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　)
A．　　　 B．(－∞，2)
C． D．∪(2，＋∞)
√
C　[法一：由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2．故选C．
法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2．由得
又交点在第一象限内，所以解得－＜k＜2．故
选C．]
类型2　直线恒过定点问题
【例2】　求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．
[证明]　法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0．解方程组
得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)
代入直线，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋
(－x＋3y＋11)＝0．由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
反思领悟　解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点．
(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0)．
[跟进训练]
2．不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________．
(9，－4)
(9，－4)　[法一：取m＝1，得直线y＝－4．取m＝，得直线x＝9．
故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝
m－5恒过点(9，－4)．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)×9－4×(2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过定点(9，－4)．
法二：直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，∵对任意m
该方程恒成立，∴解得故直线恒过定
点(9，－4)．]
类型3　过两条直线交点的直线系方程应用
【例3】　【链接教材P30例3】
求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
1．已知一点与斜率，如何求直线的方程？
[提示]　用点斜式写出直线的方程．
2．过两条直线2x－3y－1＝0与x＋y＋2＝0的交点的直线系方程是什么？
[提示]　2x－3y－1＋λ(x＋y＋2)＝0(不包括直线x＋y＋2＝0)．
[解]　法一：解方程组得所以两直线的交点坐标为(－1，－1)．又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3．故所求直线方程为y＋1＝－3，即3x＋y＋4＝0．
法二：设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0．(*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有得λ＝．代入(*)式，得x＋y＋＝0，即3x＋y＋4＝0．
[母题探究]
1．(变条件)本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
[解]　由例题知直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为(－1，－1)，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以所求直线的方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋3y＋4＝0．
2．(变条件)本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
[解]　设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，所以所求直线方程为x－3y－2＝0．
【教材原题·P30例3】
已知直线l经过原点，且经过如下两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．
[解]　因为方程组的解为所以两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，从而由题意知直线l经过点(－1，－2)．又直线l经过原点，所以直线l的方程为＝，即2x－y＝0．
反思领悟　过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　)
A．(－9，－10) B．(－9，10)
C．(9，10) D．(9，－10)
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[解方程组得故两直线的交点坐标为(－9，10)．]
2．(多选题)下列各组直线中，两直线相交的是(　　)
A．y＝x＋2和y＝1
B．x－y＋1＝0和y＝x＋5
C．x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0
D．2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0
√
√
AC　[选项A：两直线显然相交；选项B：两直线平行；选项C：直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；选项D：两直线平行．]
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于________．
－　[由得把(－1，－2)代入x＋ky＝0，解得k＝－．]
－
4．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第________象限．
四　[方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0，由得又点(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．]
四
5．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．
[解]　由得∴交点M的坐标为．∵交点M在第四象限，∴解得－1．∴m的取值范围是．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是什么？
[提示]　方程组有唯一解，即A1B2－A2B1≠0．
2．过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是什么？
[提示]　A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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2
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√
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15
一、选择题
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标是(　　)
A． B．
C． D．
课时分层作业(六)　两条直线的交点
B　[联立解得即两直线的交点坐标为．]
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2．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与直线x＋y＋1＝0垂直的直线方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．x－y＋5＝0
C．x＋y＋7＝0 D．x－y＋7＝0
B　[直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与x＋y＋1＝0垂直，得斜率为1，由点斜式，得y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0．]
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
√
题号
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B　[设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8．则所求直线方程为2x－y＝0．]
√
4．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
题号
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A　[由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，
其方程为2x－y－1＝0．联立解得即N点
坐标为(2，3)．]
√
5．直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
题号
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B　[∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－＝－1，
∴a＝10，∴ax＋4y－2＝0即为5x＋2y－1＝0．将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2．将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0，得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12．∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4．]
题号
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二、填空题
6．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在直线3x－y＝0上，则k的值为________．
题号
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0　[由得交点坐标为(－4k，－3k)，代入3x－y＝
0，解得k＝0．]
0
7．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是
________．
题号
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　[因为a＋2b＝1，所以a＝1－2b，所以直线ax＋3y＋
b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，即x＋3y＋(－2x＋1)b＝0．由
解得即直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是．]
8．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象
限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
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　[如图，直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3，0)，B(0，2)，而l过定点C(0，－)，
题号
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由图象可知∴l的倾斜角α的取值范围是．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，　　　l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0， l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0．
题号
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[解]　(1)解方程组得所以，l1与l2相交，交点是M ．
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2．
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝0．①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
题号
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10．(源自北师大版教材)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条中线交于一点．
题号
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[证明]　根据已知条件将A，B，C三点画在平面直角坐标系中，如图．则易求得三边的中点坐标分别为E，F(1，0)，G．
所以中线AF所在直线的方程为x＝1，中线BG所在直线的方程为＝，
即y＋1＝(x＋2)，中线CE所在直线的方程为＝，
题号
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即y－1＝－(x－4)．由解得即交点P的坐标为．因为－1＝－×(1－4 )，所以点P满足中线CE所在直线的方程，即点P在中线CE所在直线上．所以△ABC的三条中线交于一点．
题号
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√
11．(多选题)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为(　　)
A．－　　B． C．　　D．－
题号
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√
√
ACD　[因为三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝，或－，直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－，所以实数m的取值集合为，故选ACD．]
题号
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12．已知直线l1：y＝kx＋1与直线l2：y＝－x＋2的交点位于第四象限，
则实数k的取值范围是__________．
题号
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　[联立得x＝，y＝，∵直线l1：y
＝得－1＜k＜－，∴实数k的取值范kx＋1与直线l2：y＝－x＋2的交
点位于第四象限，∴解围是．]
题号
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13．无论m取何值，直线(m－1)x＋(m－2)y＝5都一定过第________象限．
四　[直线(m－1)x＋(m－2)y＝5化简得，m(x＋y)－(x＋2y＋5)＝0，
令解得即直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过点(5，－5)，又点(5，－5)在第四象限，所以直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过第四象限．]
四
14．当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则使四边形的面积最小时a的值为
________．
题号
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　[如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，
∴l1过定点B(2，2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，
由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2，2)．
∵l1与y轴交于点A(0，2－a)，l2与x轴交于点
C(a2＋2，0)．∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝(2－a)×2＋×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝＋．∴当a＝时，S取最小值．即四边形OABC的面积最小时，a的值为．]
题号
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∴l1过定点B(2，2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2，2)．∵l1与y轴交于点A(0，2－a)，l2与x轴交于点C(a2＋2，0)．∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝(2－a)×2＋×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝＋．∴当a＝时，S取最小值．即四边形OABC的面积最小时，a的值为．]
15．过点M(0，1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
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[解]　法一：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1．设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A，
B两点．由得A的横坐标xA＝．由
得B的横坐标xB＝．∵点M平分线段AB，
∴＝0，解得k＝－．故所求的直线方程为x＋4y－4＝0．
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法二：设所求直线与l1，l2分别交于A，B两点，且设A(3m－10，m)，
B(a，8－2a)．∵M为线段AB的中点，∴解得
∴A(－4，2)，B(4，0)，∴直线AB即为所求直线，其方程
为x＋4y－4＝0．
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谢 谢！