【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共87张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第3章　圆锥曲线与方程
3.1.2　椭圆的几何性质
第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
学习任务 核心素养
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1．通过对直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理核心素养．
2．通过对弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则
d＞R时 直线与圆相离；
d＝R时 直线与圆相切；
d＜R时 直线与圆相交．
那么直线与椭圆有几种位置关系呢？
可以用上述方法来判定直线与椭圆的位置关系吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上_________；
点P在椭圆内部_________；
点P在椭圆外部__________．
＝1
<1
>1
体验1．若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是____________．
(－)　[∵点A在椭圆内部，∴＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
(－)
知识点2　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 __解 Δ__0
相切 __解 Δ__0
相离 __解 Δ__0
两
>
一
＝
无
<
体验2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
B　[直线方程y＝kx－k＋1可化为y－1＝k(x－1)，知直线过定点(1，1)，∵＜1，
∴点(1，1)在椭圆内，
故直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．]
√
体验3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为
(　　)
A．2 B．±
C．±2 D．±2
C　[由消去y并整理得
2x2－2mx＋m2－4＝0．
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8．∴m＝±2．]
√
关键能力·合作探究释疑难
类型1　直线与椭圆的位置关系
【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问：
当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消
去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．　①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
发现规律　如何判断直线与椭圆的位置关系？
[提示]　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0 直线与椭圆相交；
Δ＝0 直线与椭圆相切；
Δ<0 直线与椭圆相离．
[跟进训练]
1．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，求实数m的
取值范围．
[解]　因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0，1)，则点(0，1)在椭圆
＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以1，即m≥1．
当m＝5时，＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1，5)∪(5，＋∞)．
类型2　弦长和中点弦问题
【例2】　过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
[提示]　联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解或用点差法求解．
求过点M的弦所在直线的方程，其关键是求出直线的斜率，如何求直线的斜率？
[解]　(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝．
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－．
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
又A，B两点在椭圆上，则＝＝16．
两式相减得＝0．
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．
∴＝－＝－，
即kAB＝－．
又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝·
＝·＝2．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
[解]　由题意，设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，
直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
由＝1和＝1，
得＝－，
∴k＝＝．
又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴＝．
∴椭圆的离心率为e＝＝＝＝．
2．(变条件，变结论)把本例条件中“使弦被M点平分”去掉，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．
[解]　设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y．
∴＝－，从而kAB＝＝．又kAB＝kPM＝，
∴＝．整理得x2＋4y2－2x－4y＝0．故中点P的轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0．(椭圆内的部分)
反思领悟　1．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点——设出弦的两端点坐标；
②代入——代入圆锥曲线方程；
③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在运用根与系数的关系时，要注意运用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
2．弦长公式
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有
|AB|＝
＝
＝·
＝
＝·(k为直线斜率)．
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
类型3　与椭圆有关的综合问题
【例3】　椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝．
由a2－b2＝c2，得b2＝a2－c2＝2．
所以所求椭圆的方程为＝1．
(2)假设存在点Q(m，0)，
使得∠PQM＋∠PQN＝180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2．
等价于k1＋k2＝0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．
联立
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0．
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0．即(－16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，
解得k2＜．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
令k1＋k2＝＝0，
则(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，
当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，化简得＝0，
所以m＝1．
当k＝0时，也成立．
所以存在点Q(1，0)，
使得∠PQM＋∠PQN＝180°．
反思领悟　综合问题涉及的问题及解决方法
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的几何性质及其应用、直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力．此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键．
[跟进训练]
2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
[解]　(1)由题意设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
由c＝，a2＝b2＋c2，代入方程＝1，
又∵椭圆过点，
得＝1，解得b2＝1，∴a2＝4．
椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)设直线MN的方程为x＝ky－，
联立直线MN和椭圆的方程可得
得(k2＋4)y2－ky－＝0，设M (x1，y1)，N(x2，y2)，又A(－2，0)，
y1y2＝－，y1＋y2＝，
则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，
即可得∠MAN＝．∴∠MAN的大小是定值．
1．若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[由题意知>1，即a2>，解得a>或a<－．]
2．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，
解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝．故选A．]
3．设椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则＝________．
4
4　[如图，已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，a＝2，过焦点F1的直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，△MNF2的内切圆的面积为π．
∴△MNF2的内切圆半径r＝1．
∴△MNF2的面积S＝×1×(|MN|＋|MF2|＋|NF2|)＝2a＝4．]
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
　[由消去y并化简得x2＋2x－6＝0．设直线与
椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6．∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝
＝．]
5．设椭圆C：＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．
[解]　(1)将(0，4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4．由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，∴椭圆C的方程为＝1．
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＝1，即x2－3x－8＝0，
则x1＋x2＝3，∴＝＝(x1＋x2－6)＝－，即所截线段的中点的坐标为．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，你可以说出其解题步骤吗？
[提示]　(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
2．解决椭圆的中点弦问题有哪些方法？
[提示]　(1)方程组法：通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2)点差法：设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(x0，y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”．
利用kAB＝＝－·＝－·，转化为中点(x0，y0)与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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2
4
6
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一、选择题
1．若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A． B．－
C．± D．±
课时分层作业(十五)　椭圆的标准方程及性质的应用
√
C　[把y＝kx＋2代入＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，
解得k＝±．]
题号
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2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为
(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．
由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0．设A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝．]
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3．在椭圆＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
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√
C　[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＝
＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此＝0，
即＝－，
所求直线的斜率是－，
弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C．]
题号
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4．椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
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√
A　[已知A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝·＝＝，又＝1，则＝，所以＝，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝．故选A．]
题号
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5．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题号
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√
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，联立
两式相减，得＝0，即＝0 ＝0，即a2＝2b2，
又c2＝9，a2＝b2＋c2，解得a2＝18，b2＝9，则E的方程为＝1．故
选D．]
题号
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二、填空题
6．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两
点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是
________．
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　[联立方程
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝．
∴kOP＝＝＝．]
题号
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7．设F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右两个焦点，过F1作斜
率为1的直线，交C于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________．
题号
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　[由＝1知，焦点F1(－1，0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＝1，得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝·|x1－x2|＝·＝．由定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝．]
题号
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8．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝________．
题号
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　[设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，
∴右焦点F(1，0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．
∴x0＝，y0＝n．
题号
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将x0，y0代入＋y2＝1，得
＋＝1．
解得n2＝1，
∴||＝＝＝．]
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三、解答题
9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求AB．
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[解]　(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0．①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜．
所以b的取值范围为(－)．
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(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0．
解得x1＝0，x2＝－．
所以y1＝1，y2＝－．
所以AB＝＝．
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10．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．
题号
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[解]　(1)由题意得
解得c＝，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1．
题号
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(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝
题号
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＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d
＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1．
题号
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11．(多选题)已知曲线C的方程为x2＋＝1(0＜x1)，A(0，－3)，B(0，3)，D(－1，0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为(　　)
A．73 B．76
C．68 D．72
题号
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√
√
√
ABD　[设P(x0，y0)，
kPA＝，kPB＝，
则kPA·kPB＝＝＝－9．
设kPA＝k(k＞0)，则kPB＝－，直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5，5k－3)，
直线PB的方程为y＝－x＋3，则点N的坐标为，
题号
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∴|MN|＝
＝＝24，
当且仅当5k＝，即k＝3时等号成立．
从而△DMN面积的最小值为×24×6＝72．
结合选项可得，△DMN的面积可能为ABD．]
题号
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12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过F作一条倾斜角为60°的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3|FM|＝|OF|(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
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√
B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
题号
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由题意得＝＝1，两式相减，得＋
＝0，因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为
题号
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60°，所以＝0．设F(－c，0)，则|FM|＝|OF|＝c，过M作MM′⊥x轴，垂足为M′，则|FM′|＝|MF|＝c，|MM′|＝|MF|＝c，
由题易知M位于第二象限，所以M－c，c，M的坐标代入AB的方程可得：＝0，得3a2＝5b2，所以2a2＝5c2，所以e＝＝．]
13．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，则椭圆方程为___________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重
心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为_______________．
题号
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＝1
6x－5y－28＝0
＝1　6x－5y－28＝0　[由题意得b＝4，又e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20．
题号
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∴椭圆的方程为＝1．
∴椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知＝2，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
题号
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且＝＝1，
以上两式相减，
得＝0，
∴kMN＝＝－·
＝－＝，
故直线的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0．]
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______．
题号
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13　[∵椭圆的离心率为e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，
题号
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∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝，
∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程为x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得到13y2－6 cy－9c2＝0，
判别式Δ＝(6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，
∴|DE|＝|y1－y2|＝2×＝2×6×4×＝6，
题号
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∴c＝，得a＝2c＝，
∵ DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．]
题号
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设椭圆＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．
题号
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[解]　(1)依题意知A(a，0)，B(0，－b)，
∵△AOB为直角三角形，∴过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1．
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(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，
则直线BM的方程为y＝－x－1，
由消去y，得(1＋3k2)x2－6kx＝0，
解得xN＝，yN＝kxN－1，
∴|BN|＝＝
题号
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＝|xN|＝·，
在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k，0)，
∴|BM|＝，
在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，
∴|BN|＝|BM|，即·＝·，
整理得3k2－2|k|＋1＝0，
解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，
∴点M的坐标为．
题号
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谢 谢！