【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.1 第1课时 数列的概念及简单表示法 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共58张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第4章　数列
4.1　数列
第1课时　数列的概念及简单表示法
学习任务 核心素养
1．理解数列的概念，掌握数列的通项公式及应用．(重点) 2．理解数列是一种特殊的函数及数列与函数的关系．(易混点、难点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点) 1．通过对数列概念及数列通项公式的学习，培养数学抽象及逻辑推理素养．
2．借助对数列通项公式的应用，培养逻辑推理及数学运算素养．
1．一尺之捶，日取其半，万世不竭．
必备知识·情境导学探新知
1，，…．
2．三角形数
3．正方形数
那么，这些数有什么规律，与它所表示图形的序号有什么关系？
知识点1　数列的概念及一般形式
一定次序
每个数
思考1．(1)数列的项和它的项数是否相同？
(2)数列1，2，3，4，5，数列5，4，3，2，1有什么区别？
[提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项数是指该数列中的项的总数．
(2)数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1为两个不同的数列，因为二者所对应的项的值不同．
[知识拓展]
类别 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点2　数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
体验1．在数列{an}中，an＝3n-1，则a2等于(　　)
A．2 B．3
C．9 D．32
√
B　[将n＝2代入通项公式，得a2＝32-1＝3．]
体验2．下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是
(　　)
A．an＝1 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
C　[代入验证可知C正确．]
√
知识点3　数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 ___________(或它的有限子集{1，2，3，…，k})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照______________________时，对应的一列函数值
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)______；(3)______
正整数集N*

从小到大的顺序依次取值
列表法
图象法
思考2．数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示]　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　由数列的前几项求通项公式
【例1】　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)4，44，444，4 444，…；
(3)－1，…；
(4)2，－，…；
(5)1，2，1，2，1，2，…．
[思路探究]　观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．
[解]　(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项公式为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项公式为10n，故原数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3)所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间；
②整数部分构成奇数列；
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；
④分数部分的分子依次大1．
综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为an＝(－1)n?，所以an＝(－1)n．
(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，…，再把各分母分别加上1，数列又变为…，所以an＝．
(5)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝
＝，
即an＝．
反思领悟　1．常见数列的通项公式归纳
(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n；
(2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n；
(4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为an＝2n-1；
(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为an＝n2；
(6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n；
(7)数列1，，…的一个通项公式为an＝．
2．复杂数列的通项公式的归纳方法
(1)观察各项的结构；(2)观察各项中的“变”与“不变”；(3)观察“变”的规律是什么；(4)每项符号的变化规律如何；(5)得出通项公式．
[跟进训练]
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)1，－3，5，－7，9，…；
(2)，…；
(3)3，5，9，17，33，…；
(4)0，2，0，2，0，…．
[解]　(1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，考虑到(－1)n+1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1)．
(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，…．所以它的一个通项公式为an＝．
(3)3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为an＝2n＋1．
(4)因为这个数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，所以
它的一个通项公式为
类型2　通项公式的应用
【例2】　【链接教材P135例2】
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
1．已知数列的通项公式，如何求数列的某一项？
[提示]　类似于已知自变量求函数值，把项数代入到通项公式中求解．
2．如何判断某一个数是否为数列中的项？
[提示]　判断某项是否为数列中的项，就是解方程．令an等于该项，解得n∈N*即是，否则不是．
[解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
[母题探究]
(变结论)若本例中的条件不变．
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？
[解]　(1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，
a8＝3×82－28×8＝－32．
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以20是该数列的第10项．
【教材原题·P135例2】
已知数列{an}的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
(1)an＝；(2)an＝．
[解]　我们用列表法分别给出这两个数列的前5项．
n 1 2 3 4 5
an＝
an＝ － － －
它们的图象如图4-1-3所示．
不难发现，在数列①中，某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，也就是说，a1＝20，
a2＝a1＋2，a3＝a2＋2，
…
a30＝a29＋2．
即有
a1＝20，
an＋1＝an＋2(n∈N*，n29)．
反思领悟　1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解．有正整数解就是，否则就不是．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，k})这一约束条件．
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　)
A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13．]
2．已知数列1，，则3是它的(　　)
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
√
B　[令，解得n＝23．所以3是它的第23项，故应选B．]
3．数列{an}：－，9，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝(－1)n(n∈N*)
B．an＝(－1)n(n∈N*)
C．an＝(－1)n+1(n∈N*)
D．an＝(－1)n+1(n∈N*)
√
B　[该数列的前几项可以写成－，…，故可以归纳为an＝(－1)n．故选B．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 026－a2 025＝________．
27　4　[a7＝4×7－1＝27，a2 026－a2 025＝(4×2 026－1)－(4×2 025－1)＝4×(2 026－2 025)＝4．]
27
4
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
[解]　(1)∵an＝，∴a3＝，∴a3＋a4＝．
(2)是．若为数列{an}中的项，则，
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，即是数列{an}的第10项．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是数列、数列的项和数列的通项公式？
[提示]　按照一定次序排列的一列数称为数列；数列中的每个数都叫作这个数列的项；如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
2．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需抓住其哪些特征？
[提示]　①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
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2
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15
一、选择题
1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是(　　)
A．an＝1＋(－1)n+1　　　 B．an＝1－(－1)n
C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cos nπ
课时分层作业(二十)　数列的概念及简单表示法
√
C　[经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．]
题号
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2．已知数列－1，，…，(－1)n，…，则它的第5项为
(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
√
D　[易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·．]
3．在数列－1，0，，…中，0.08是它的(　　)
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
题号
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√
C　[∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．]
4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是
(　　)
A．103 B．108
C．103 D．108
题号
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√
D　[把an＝－2n2＋29n＋3看成二次函数，对称轴为n＝，∵n∈N*，∴n＝7时a7最大，最大项的值是a7＝－2×72＋29×7＋3＝108．故选D．]
5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于(　　)
A．20 B．28
C．0 D．12
题号
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√
A　[a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20．]
6．已知数列，…，则它的第10项是________．
题号
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　[根据数列的前几项，可归纳an＝．所以第10项a10＝．]
7．已知数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
题号
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9　[由an＝19－2n>0，得n<．∵n∈N*，∴n9．]
9
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
题号
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2　[∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1．
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2．]
2
三、解答题
9．(源自北师大版教材)写出下面各数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…
(2)1，2，4，8，…
(3)9，99，999，9 999，…
题号
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[解]　(1)观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1；
(2)这个数列的前4项可以写成20，21，22，23，所以它的一个通项公式为an＝2n-1；
(3)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式为an＝10n－1．
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10．已知数列．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．
题号
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[解]　设f(n)＝＝．
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝．
(2)令，得9n＝300．
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝，又n∈N*，∴0<<1，∴0题号
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11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是(　　)
A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
题号
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√
√
√
BCD　[结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．]
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12．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为(　　)
A． B．5
C．6 D．
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√
B　[]
13．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点．
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(1)　 　 　(2)　　 　　 (3)
(4)　　　　(5)
21
n2－n＋1
21　n2－n＋1　[观察图形可知，第5个图形有5×4＋1＝21个点，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]
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14．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
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图1　　　　　　图2
2
2　　[因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1，(i＝1，2，3，…)为直角三角形，
∴OA2＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝．]
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15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
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[解]　(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．令an＝1，得＝1，而该方程无正整数解，
∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，则有an＝an＋1，即．解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
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谢 谢！