【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.2 4.2.1 4.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共69张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第4章　数列
4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
4.2.2　等差数列的通项公式
第1课时　等差数列的概念及通项公式
学习任务 核心素养
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法．(重点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 1．通过等差数列通项公式的学习，提升数学运算素养．
2．借助等差数列的判断与证明，培养逻辑推理素养．
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…．
那么，第30排有多少个座位？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第__项起，每一项减去它的______所得的差都等于__________，那么这个数列就叫作等差数列，这个____叫作等差数列的公差，公差通常用字母__表示．
二
前一项
同一个常数
常数
d
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一般地，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　)
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列． (　　)
(4)一个无穷数列{an}的前四项分别为1，2，3，4，则它一定是等差数列． (　　)
×
×
√
√
[提示]　(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．(4)错误．该数列的前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1．
知识点2　等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________．
a1＋(n－1)d
思考1．教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？
[提示]　还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n2)，将上述n－1个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
体验2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　)
A．22　　　B．24　　　C．26　　　D．28
D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D．]
√
体验3．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N*)，则a6＝________．
　[由条件知，＝5，∴为等差数列，且＝3，∴＝3＋5×5＝28，即a6＝．]
[知识拓展]　从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．
思考2．由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
[提示]　两个条件：首项a1和公差d．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　等差数列的概念
【例1】　【链接教材P140例1】
(1)(多选题)下列命题正确的有(　　)
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列是等差数列
√
√
√
(2)下列数列中，递增的等差数列有________个．
①1，3，5，7，9；②2，0，－2，0，－6，0，…；③，…；④0，0，0，0，…；⑤－1，＋1．
3
(1)BCD　(2)3　[(1)对于A，根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为－2，所以A错误；
对于B，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；
对于C，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以C正确；
对于D，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列是等差数列，所以D正确．
(2)等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列．]
【教材原题·P140例1】
判断下列数列是否为等差数列：
(1)1，1，1，1，1；
(2)4，7，10，13，16；
(3)－3，－2，－1，1，2，3．
[解]　(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．
(2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．
(3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)，
所以这个数列不是等差数列．
反思领悟　(1)判断一个数列是否为等差数列，只需看an＋1－an(n∈N*)是不是一个与n无关的常数．
(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看公差d是否大于0．
(3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可．
[跟进训练]
1．下列数列不是等差数列的是(　　)
A．9，9，9，9，9 B．7，13，19，25，31
C．，1， D．－3，－2，－1，1，2
√
D　[由等差数列的定义得
选项A中d＝0，故正确；选项B中d＝6，故正确；选项C中d＝，故正确；选项D中每一项与前一项的差不是同一个常数，故错误．故选D．]
2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列
{an}____(填“是”或“不是”)等差数列，若是，公差为___．
是　　[∵an＋1＝an＋，∴an＋1－an＝(n∈N*)，∴数列{an}是以为公差的等差数列．]
是
类型2　等差数列的通项公式
【例2】　【链接教材P143例4】
(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝20，a7＝28，求a15的值．
[解]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．
(1)∵a4＝7，a10＝25，则　得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N*)．
(2)由得所以
∴a15＝a1＋(15－1)d＝16＋14×2＝44．
【教材原题·P143例4】
在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝3，公差d＝－2，求a6；
(2)已知a3＝10，a9＝28，求an．
[解]　(1)由等差数列的通项公式，得a6＝3＋(6－1)(－2)＝－7．
(2)设等差数列的公差为d，那么解得
所以an＝4＋(n－1)·3＝3n＋1．
反思领悟　等差数列通项公式的妙用
(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d．如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”．
(2)从函数的角度看等差数列的通项公式．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数．
(3)由两点确定一条直线可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，则可以写出该数列中的任意一项．
[跟进训练]
3．已知数列{an}为等差数列．
(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；
(2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；
(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
(4)已知a7＝，d＝－2，求a1．
[解]　(1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3．∴a8＝3×8＋3＝27．
(2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝＝＝－1，∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，∴a7＝－7＋14＝7．
(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18．
(4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝．
类型3　等差数列的判定与证明
【例3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an．
[提示]　证明an－an－1＝d(常数)(n2)．
如何用定义证明数列{an}是等差数列？
[解]　(1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝，
∴＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝．
[母题探究]
1．(变条件)将本例中条件“a1＝2，an＋1＝”换成“a1＝＝(n2，n∈N*)”，结论如何？
[解]　(1)当n2，n∈N*时，＝ ＝ －2＝2＋ ＝4，且＝5．∴是等差数列，且公差为4，首项为5．
(2)由(1)及等差数列的通项公式得＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，∴an＝．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)”，记bn＝．
(1)证明：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：bn＋1－bn＝
＝＝
＝＝．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n．
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2．
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2．
反思领悟　等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列；
(2)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
1．(教材P142练习T5改编)数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)
A．是公差为－3的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5，故公差为－3．故选A．]
2．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)
A．8 B．12
C．16 D．24
√
C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得
解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16．故选C．]
3．已知a＝，b＝，若a，c，b成等差数列，则c＝________．
　[由c－a＝b－c知c＝，由题意知a＝，b＝，∴c＝＝．]
4．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
[解]　由题意得
∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n．
故数列{an}的通项公式为an＝2n．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等差数列的定义与通项公式分别是什么？
[提示]　如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
2．判断一个数列是等差数列的方法有哪些？
[提示]　(1)定义法；(2)通项公式法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)
A．49 B．50
C．51 D．52
课时分层作业(二十二)　等差数列的概念及通项公式
√
D　[∵an＋1－an＝，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)×＝2＋，
∴a101＝2＋＝52．]
题号
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2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝(　　)
A．－15 B．－28
C．15 D．28
√
B　[设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2．
即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B．]
3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
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√
D　[由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d＜0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝＝＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10．故选D．]
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4．若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　)
A．0 B．log25
C．32 D．0或32
题号
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√
B　[依题意得2lg (2x－1)＝lg 2＋lg (2x＋3)，
∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，
∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，
∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25．]
题号
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5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an0，且an＋1<0的n为(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
题号
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√
B　[公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)×(－4)＝88－4n，
令即 21又∵n∈N*，∴n＝22．]
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二、填空题
6．已知在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n2)，则an＝________．
题号
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3n　[因为n2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n．]
3n
7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．
题号
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　[设公差为d，∵＝＝＝2d，∴d＝．
∴＝＋4×d＝＋4×＝．
∴a10＝．]
8．若2，a，b，c，10成等差数列，则c－a＝________．
题号
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4　[设公差为d，则c－a＝2d，而10－2＝4d，∴d＝2，故c－a＝2×2＝4．]
4
三、解答题
9．(源自人教A版教材)(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2，…的第20项．
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[解]　(1)当n2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得
an－1＝5－2(n－1)＝7－2n．
于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2．
把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得
a1＝5－2×1＝3．
所以，{an}的公差为－2，首项为3．
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(2)由已知条件，得
d＝5－8＝－3．
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得
an＝8－3(n－1)＝11－3n．
把n＝20代入上式，得
a20＝11－3×20＝－49．
所以，这个数列的第20项是－49．
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10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n2且n∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 025．
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[解]　(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n2且n∈N*)，∴＝＝，∴＝(n2且n∈N*)，∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，∴＝＝，∴x2 025＝．
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11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
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√
√
√
ABC　[由题可设an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d．∴n＝＋1．
∵d∈N*，∴d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数，故选ABC．]
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12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　)
A．构成的新数列是等差数列，公差为10
B．构成的新数列是等差数列，公差为12
C．该数列共有16项
D．该数列共有18项
题号
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√
√
BC　[等差数列2，6，10，…，190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6，所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10190，解得n，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16．故选BC．]
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13．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间的项数为________．
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38　[由题意，得
d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108．
令450an600，
解得85.5n123，又因为n为正整数，故有38项．]
38
14．等差数列{an}中，首项为33．若第12项为0，则数列的通项公式为____________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为____________．
题号
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an＝36－3n
an＝38－5n
an＝36－3n　an＝38－5n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数，
可得即
解得－又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n．]
题号
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15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
题号
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[解]　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3．
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3．
题号
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(2)不存在实数λ，使数列{an}成为等差数列．
证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，
则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3．于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24．
这与{an}为等差数列矛盾．
所以不存在λ使{an}是等差数列．
题号
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谢 谢！