【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.2 4.2.1 4.2.2 第2课时 等差数列的性质 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第4章　数列
4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
4.2.2　等差数列的通项公式
第2课时　等差数列的性质
学习任务 核心素养
1．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点) 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1．通过对等差数列性质的学习，培养数学运算素养．
2．借助对等差数列的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
如图，第一层有1个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　等差数列的图象
等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以_为斜率的直线上，是这条直线上的一系列孤立的点．
d
思考1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
[提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)的直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝．
知识点2　等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝______．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
ap＋aq
和
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．
(4){an}的公差为d，则d>0 {an}为____数列；
d<0 {an}为____数列；d＝0 {an}为常数列．
等差
pd1＋qd2
递增
递减
思考2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
[提示]　不一定．如非零常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3．
体验1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　)
A．20　　　B．22　　　C．24　　　D．26
C　[∵{an}为等差数列，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，
a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24，
则2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24．]
√
体验2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．
15　[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15．]
15
关键能力·合作探究释疑难
类型1　灵活设元解等差数列
【例1】　已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
[思路探究]　前三项可以设为a－d，a，a＋d，也可以直接用“通法”解决．
[解]　法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，解得a＝6．
又前三项的乘积为66，
∴6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5．
由于该数列单调递减，∴d＝－5，且首项为11，
∴通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16．
令－5n＋16＝－34，解得n＝10．
∴－34是数列{an}的第10项．
法二：依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d＜0．故a1＝11，d＝－5．
∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16．
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，解得n＝10．∴－34是数列{an}的第10项．
反思领悟　等差数列的设项方法与技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列．
(2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．
(3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．
[跟进训练]
1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
[解]　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，
a＋2d．由已知有
整理得
解得a＝1，d＝±．
当d＝时，这5个数分别是－，1，；
当d＝－时，这5个数分别是，1，，－．
综上，这5个数分别是－，1，或，1，，－．
类型2　等差数列的实际应用
【例2】　某公司2024年生产一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？
[解]　记2024年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损．
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n．
由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11，
即从第12年起，也就是从2035年开始，该公司生产此产品将出现亏损．
反思领悟　解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题．
[跟进训练]
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的
4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往路程为14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费________元．
23.2
23.2　[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]
类型3　等差数列的性质
【例3】　(1)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)
A．32　 　　B．27　　 　C．24　　 　D．16
(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
√
(1)C　(2)　[(1)法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq．
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
(2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，则b＝2－＝．
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，∴这个等差数列的顺序为，c，d，．则c＝，d＝．∴m＝ab＝，n＝cd＝．∴|m－n|＝＝．]
[母题探究]
1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15．
[解]　法一：因为a5，a10，a15成等差数列，所以a5＋a15＝2a10．所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32．
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝．所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32．
2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8．
[解]　法一：∵在等差数列{an}中a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450．解得a5＝90．∴a2＋a8＝2a5＝180．
法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．根据an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450．∴a1＋4d＝90．而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180．
反思领悟　等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：在等差数列{an}中，
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．14
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[由a3＋a5＝a1＋a7可得a7＝10－2＝8．]
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
√
A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5．]
3．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
√
A　[∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3．方程中Δ＝(a4＋a6)2－4×10＝(2a5)2－40＝(2×3)2－40＝－4＜0．∴方程无实根．]
4．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
1或2　[∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)20．
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2．]
1或2
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解]　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
等差数列有哪些常见的性质？
[提示]　(1) an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq．
特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak．
②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(3)下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，∈N*)组成公差为md的等差数列．如a1，a3，a5，…组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，…，a5n－2，…组成公差为5d的等差数列．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　)
A．－1　　　B．－2　　　C．－3　　　D．－4
课时分层作业(二十三)　等差数列的性质
√
C　[由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3．]
题号
2
1
3
4
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6
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13
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2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
√
B　[∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＋a4＝3＋4＝7．]
3．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　)
A．39 B．20
C．19.5 D．33
题号
2
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6
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13
14
15
√
D　[由等差数列的性质，得
a1＋a4＋a7＝3a4＝45，
a2＋a5＋a8＝3a5＝39，
a3＋a6＋a9＝3a6．
又3a5×2＝3a4＋3a6，
解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33．]
题号
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13
14
15
4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝
(　　)
A．6 B．7
C．8 D．10
题号
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1
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14
15
√
B　[设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{an}，公差为d，则a2＝2 500，a5＝4 000．
由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500．
由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7．]
题号
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5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．这个问题中，甲所得为(　　)
A．钱 B．钱
C．钱 D．钱
题号
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15
√
B　[根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， ①
a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， ②
联立①②得a＝1，d＝－，则甲所得为1－2×＝钱．]
题号
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二、填空题
6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________．
题号
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15
132　[在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．]
132
7．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________．
题号
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15
2 ℃
－11 ℃
－37 ℃
2 ℃　－11 ℃　－37 ℃　[用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．]
题号
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8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________．
题号
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18
18　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝．
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，
∴a9＝7．
故d＝＝＝．
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，
∴13－7＝(k－9)×，
∴k＝18．]
题号
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三、解答题
9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28．求数列{an}的通项公式．
题号
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[解]　法一：设{an}的首项为a1，公差为d，
则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d．
代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±．
当d＝时，a1＝－，an＝n－；
当d＝－时，a1＝，an＝－n＋．
题号
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法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，
∴a8＝4．
a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，
∴16－25d2＝7，
∴d＝±．
当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－；
当d＝－时，an＝－n＋．
题号
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法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4，∴
∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，∴或
由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，∴an＝a3＋(n－3)d＝n－．
同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋．
题号
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10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
题号
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[解]　法一：设这三个数为a，b，c(a解得
∴这三个数为4，6，8．
题号
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法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4，6，8．
题号
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11．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为(　　)
A．个 B．个
C．个 D．个
题号
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√
C　[易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d(d＞0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝．故最小一份的量为个，故选C．]
题号
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12．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
题号
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15　[不妨设A＝120°，csin 120°＝15．]
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13．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a3＋b3＝________，an＋bn＝________．
题号
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100　100　[设两个等差数列的公差分别为d1，d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2，即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0．∴a3＋b3＝a1＋b1＝100，∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn}是常数列，即an＋bn＝100．]
100
100
14．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公
差分别为d1和d2，则的值为________．
题号
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　[n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝．]
15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场平均出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
题号
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甲　　　 　　乙
题号
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请根据提供的信息，回答下列问题：
(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
[解]　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10．
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn．
题号
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(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴ a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，
得
∴ b2＝26．
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2．
∴第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只．
题号
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(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．
(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1n6，n∈N*)，
bn＝30＋(n－1)×(－4)
＝－4n＋34(1n6，n∈N*)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1n6，n∈N*)．
∵对称轴为n＝，∴当n＝2时，cn最大．即第2年的规模最大．
题号
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谢 谢！