【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.2 4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共66张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第4章　数列
4.2.3　等差数列的前n 项和
第2课时　等差数列前n 项和的性质
学习任务 核心素养
1．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．借助等差数列前n项和Sn性质的应用，培养逻辑推理素养．
2．通过应用裂项相消法求和，培养数学运算素养．
1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0)．
反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？
必备知识·情境导学探新知
知识点　等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，________，S3n－S2n，_________n2＋bn(a，b为常数)．
思考　如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
S2n－Sn
S4n－S3n
[提示]　(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d．
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
(3)在等差数列{an}中，数列为等差数列．
体验在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
√
B　[∵，
∴．
∴n＝10．故选B．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　“片段和”的性质
【例1】　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110．
[思路探究]　(1)可利用方程(组)思想求解．
(2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列的前11项的和求解．
[解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×
＝－110．
法二：∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，
∴a11＋a100＝－2．
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝＝－110．
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，
∴设该数列的公差为d，其前10项和为S10＋S20－S10＋…＋S100－S90＝S100＝10×100＋d＝10，解得d＝－22．
∴S110＝11×100＋×(－22)＝－110．
法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，则(n－1)．
∴数列是等差数列，其公差为．
∴＝(100－10)×，
且＝(110－100)×．
代入已知数值，消去d，可得S110＝－110．
法五：令Sn＝An2＋Bn．由S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝1102A＋110B＝1102×＝－110．
反思领悟　本题可从不同角度应用等差数列的性质(如通性通法，运用Sn和an之间的关系，运用前n项和“片段和”的性质，使用性质也是等差数列，前n项和Sn＝An2＋Bn表示的特点等)，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决．
[跟进训练]
1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m．
[解]　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210．
类型2　裂项相消法求和
【例2】　在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求．
[解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴Sn＝na1＋d
＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，
∴，
∴
＝…
＝.
反思领悟　1.裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
数列(n为正整数) 裂项方法
(k为非零常数) ＝
＝
2．常见数列的裂项方法
数列(n为正整数) 裂项方法
＝
loga＝
loga(n＋1)－logan
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn.
[解]　an＝＝，
∴Sn＝＋…＋
＝
＝＝，∴Sn＝.
类型3　有限项等差数列前n项和的性质及比值问题
【例3】　(1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．
√
5
2．在等差数列中，偶数项的和S偶与奇数项的和S奇之间的关系能用公差d表示吗？
1．a7，b7能分别用Sn，Tn表示吗？
[提示]　a7＝T13．
[提示]　S偶－S奇＝nd(项数为2n项时)．
(1)A　(2)5　[(1)因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和，
∴．
(2)法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d，
则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5．
法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，
则
解得
∴6d＝192－162＝30，∴d＝5．
法三：由题意知
由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得
(177－3d)×32＝(177＋3d)×27，解得d＝5．]
[母题探究]
[解]　∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
∴原式＝
＝．
1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求的值．
[解]　由条件，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2．
∴an＝(6n－1)k(n2)，bn＝(4n－2)k(n2)，
∴．
2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求的值．
[解]　＝．
3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“”，求的值．
反思领悟　等差数列前n项和计算的两种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
1．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　)
A．160　　　B．180　　　C．200　　　D．220
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[a1＋a2＋a3＝3a2＝－24 a2＝－8，a18＋a19＋a20＝3a19＝78 a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180．]
2．已知数列的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝(　　)
A．350 B．351
C．674 D．675
√
A　[当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1－1＝2；
当n2时，an＝Sn－Sn－1＝[2＋2(n－1)－1]＝2n＋1．
a1＝2不适合上式，∴an＝
因此，a1＋a3＋a5＋…＋a25＝2＋＝350．]
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)
A．25 B．22
C．20 D．15
√
C　[法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C．
法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C．]
4．数列的前100项的和为________．
　[∵．∴S100＝1－．]
5．等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99．
[解]　令a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A．
a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B．
那么
解得B＝85，A＝60，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
等差数列前n项和的常用性质有哪些？
[提示]　(1)数列{an}为等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍．
(3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，
；若项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，
．
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则．
(5)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为原公差的．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2　　　　B．－1　　　　C．0　　　　D．1
课时分层作业(二十五)　等差数列前n 项和的性质
√
B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．]
题号
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2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝
(　　)
A．110 B．150
C．210 D．280
√
D　[∵等差数列{an}前n项和为Sn，
∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
∴S30＝150．
又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
∴S40＝280．故选D．]
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3．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝(　　)
A． B．
C． D．
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√
D　[因为{an}和{bn}是等差数列，所以，又S21＝21a11，T21＝21b11，
故令n＝21有，即，所以，故选D．]
题号
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4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
题号
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√
C　[由题知S偶－S奇＝5d，∴d＝＝3．]
5．＝(　　)
A．
B．
C．
D．
题号
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√
C　[通项an＝，
∴原式＝
＝
＝．]
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二、填空题
6．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．
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5　[∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5．]
5
7．已知数列的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列的通项公
式为___________________．
题号
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an＝　[而S1＝1－2＋2＝
1，当n2时，Sn－Sn－1＝n2－2n＋2－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－
3．又a1＝1不适合上式，故an＝]
an＝
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16＝________．
题号
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120　[因为等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，所以S9＝9a5＝54，3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝120．]
120
三、解答题
9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．
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[解]　法一：．
法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列，∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n．又，∴令Sn＝tn(2n＋1)，Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R．
∴an＝Sn－Sn－1
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n2)，
bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)＝t(6n－5)(n2)．
∴(n2)，∴．
题号
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10．已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为
数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn．
题号
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[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d．
因为bn＝
所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6．
因为S4＝32，T3＝16，
所以
整理，得解得
所以{an}的通项公式为an＝2n＋3．
题号
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(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，
所以Sn＝＝n2＋4n，
bn＝
当n为奇数时，
Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋
3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝
＝．
当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝ ＞0，
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所以Tn＞Sn．
当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝．
当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＞0，
所以Tn＞Sn．
综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn．
题号
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11．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S10＞0，a6＜0，则(　　)
A．数列的最小项为第6项
B．－＜d＜－4
C．a5＞0
D．Sn＞0时，n的最大值为5
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√
√
√
ABC　[由题意S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＞0，又a6＜0，所以a5＞0，故选项C正确；
由a3＝12，且a5＞0，a6＜0，a5＋a6＞0，得
解得－＜d＜－4，选项B正确；
由题意当1n5时，an＞0，当n6时，an＜0，所以S10＞0，S11＝11a6＜0，故Sn＞0时，n的最大值为10，故选项D错误；
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由于d＜0，数列{an}是递减数列，当1n5时，an＞0，当n6时，an＜0；
当1n10时，Sn＞0，当n11时，Sn＜0，
所以当1n5时，＞0，当6n10时，＜0，当n11时，＞0，
故数列中最小的项为第6项，选项A正确．]
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12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
题号
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√
B　[Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14．]
13．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
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15
8　[∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0．
∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．]
8
14．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是___________，共有________项．
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11　7　[设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]
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15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
题号
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[解]　(1)设{an}的公差为d，则
解得a1＝13，d＝－2．
所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n．
题号
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(2)由(1)得|an|＝
当n7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
当n8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2．
综上，Tn＝
题号
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谢 谢！