【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.3 4.3.2 第2课时 等比数列的性质 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第4章　数列
4.3.1　等比数列的概念
4.3.2　等比数列的通项公式
第2课时　等比数列的性质
4.3　等比数列
学习任务 核心素养
1．掌握等比数列的性质及其应用．(重点) 2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 3．能用递推公式求通项公式．(难点) 1．通过灵活设项求解等比数列问题以及对等比数列性质的应用，培养数学运算素养．
2．借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养．
在等差数列{an}中，存在很多的性质，如
(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
(3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则也成等差数列．
那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝______，an＝_________(m，n∈N*)．
思考　如何推导an＝amqn－m
[提示]　由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m．
a1qn-1
am·qn－m
体验1．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________．
9　[因为a7＝a5q2，所以q2＝．
所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9．]
9
知识点2　“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，其公比为q，若将其前k项去掉，剩余各项仍为____数列，首项为_____，公比为_；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为____数列，首项为__，公比为___．
等比
ak＋1
q
等比
ak
qk
知识点3　等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝______．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝___．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的__，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
ap·aq
积
体验2．已知数列{an}是等比数列，下列说法错误的是(　　)
A．a3，a5，a7成等比数列
B．a1，a3，a9成等比数列
C．an，an＋1，an＋2成等比数列
D．n＞3时，an－3，an，an＋3成等比数列
B　[在等比数列{an}中，若m＋n＝2p，则aman＝，即am，ap，an成等比数列，所以ACD正确，B错误，故选B．]
√
体验3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝
(　　)
A．－25 B．25
C．10 D．20
B　[在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝9＋10，
∴a7a12＝a8a11＝a9a10．
∴原式＝(a7a12)2＝25．故选B．]
√
关键能力·合作探究释疑难
类型1　等比数列的性质及应用
【例1】　已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[思路探究]　利用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”求解．
[解]　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a5＝．
(2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10．
反思领悟　解决等比数列的计算问题，通常考虑两种方法
(1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量．这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐．
(2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等等性质经常用到．
[跟进训练]
1．(1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)
A．5　　 　B．7　　 　C．6　 　　D．±5
(2)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则的值为(　　)
A．－或 B．－
C． D．或－
√
√
(1)A　(2)D　[(1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝＝10，所以a2a8＝，
所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝＝()3＝＝5．
法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5．又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5．
(2)等比数列{an}中，∵a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，
∴a2·a16＝2．又∵ a2 ·a16 ＝ ＝2，∴a9＝±，∴＝＝a9＝．故选D．]
类型2　灵活设项求解等比数列
【例2】　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
[解]　法一：设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a．由题意得解得q＝2或q＝．当q＝2时，
a＝6，这四个数为3，6，12，18；当q＝时，a＝，这四个数为．
法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因
此这四个数为，a－d，a，a＋d．
由题意得解得
或
故这四个数为3，6，12，18或．
法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b，则这四个数为a，b，18－b，21－a，
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或．
反思领悟　巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d．若三个数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2．
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2．
若四个正数成等比数列，可设为，aq，aq3．
[跟进训练]
2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解]　法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为
，由条件得解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1．
法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a，
设第二个数为b，则第三个数为12－b，
∴这四个数为a，b，12－b，16－a，
由题意得
解得或
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
类型3　由递推公式构造等比数列求通项
【例3】　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4．
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
[提示]　Sn－Sn－1＝an(n2)．
如何由Sn＝2an＋n－4转化为an的关系式？
[解]　(1)因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1－4，解得a1＝3．
(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n2时，
Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，
即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．
反思领悟　两种递推公式构造等比数列的模型
(1)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
(2)形如an＋1＝can＋dn(c≠d，cd≠0)的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以dn+1得＝，进而化归为等比数列．还可以两边同除以cn+1得＝，再利用累加法求出，即得an．
[跟进训练]
3．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝an＋，试证明为等比数列，并求{an}的通项公式．
[证明]　令an＋1－A×＝，
则an＋1＝an＋．
由已知条件知＝1，得A＝3，
所以an＋1－3×＝．
又a1－3×＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列．
于是an－3×＝－，故an＝3×－2×．
类型4　等比数列的实际应用
【例4】　从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液，再用水填满，这样继续进行．
(1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发现各次剩余的纯酒精的体积构成什么数列吗？
(2)倒第5次后容器里还剩有纯酒精多少升？(精确到小数点后两位)
[解]　(1)倒第1次后，剩下的酒精是19 L，用水填满后，混合溶液浓度为×100%，故第2次倒出的1 L混合溶液中含纯酒精1×＝(L)，此时容器里还剩有纯酒精19－＝19×＝18.05(L)．每次倒完后剩下的纯酒精为原来的，
即每次倒完后剩下的纯酒精的体积是以a1＝19为首项，q＝为公比的等比数列．
(2)由(1)知an＝19·(n∈N*)，
a5＝19×＝19×0.954≈15.48(L)，故倒5次后容器中还剩有纯酒
精15.48 L．
反思领悟　求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要．
[跟进训练]
4．《孙子算经》是我国古代数学专著，其中一个问题为“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”问：巢有几何？________．
6 561　[由题意可知堤、木、枝等各事物的数量构成以9为首项，9为公比的等比数列，由等比数列通项公式可知，巢的数量为a4＝9×93＝94＝6 561．]
6 561
1．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10＝
(　　)
A．26 B．30
C．34 D．38
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[由题意可得＝a2a6，即＝a2，结合题意有(a2＋4)2＝a2(a2＋16)，解得a2＝2，则a10＝a2＋8d＝2＋8×4＝34．故选C．]
2．已知数列{an}为等比数列，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6 ，则S11＝(　　)
A．44 B．－44
C．88 D．－88
√
A　[由题意，数列{an}为等比数列，满足a2＝1，a10＝16，根据等比数列的性质，可得a2a10＝1×16＝，a6＝a2q4>0，可得a6＝4，所以b6＝a6＝4，则S11＝＝11b6＝44，故选A．]
3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．
8　[设插入的3个数依次为a，b，c，
即，a，b，c，8成等比数列，
由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，
因为a2＝b>0，所以b＝2(舍负)．
所以这3个数的积为abc＝4×2＝8．]
8
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________．
7　[∵a6a10＝，a3a5＝，
＝41，
又a4a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝＋2a4a8＝41＋8＝49，
∵数列各项都是正数，
∴a4＋a8＝7．]
7
5．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q．
[解]　(1)法一：由题知相除得q8＝9．
所以q4＝3，
所以a7＝a3·q4＝9．
法二：因为＝a3a11＝81，
所以a7＝±9．
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9．
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3．
所以q4＝＝4或，
所以q＝±或q＝±．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
等比数列项的运算性质有哪些？
[提示]　在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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15
一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
课时分层作业(二十七)　等比数列的性质
√
A　[法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝．所以a5＝a1·24＝·24＝1．
法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16．又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4．又a7＝a5×q2，则a5＝＝1．]
题号
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2．已知在等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21 B．42
C．63 D．84
√
B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21．
∴1＋q2＋q4＝7．解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42．故选B．]
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　)
A．32 B．64
C．256 D．±64
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
√
B　[由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，
∴a40a50a60＝16×4＝64．]
4．在各项不为零的等差数列中＋2a2 025 ＝0，数列是等比数列，且b2 024＝a2 024，则log2的值为
(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
题号
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15
√
C　[因为等差数列中a2 023＋a2 025＝2a2 024，所以＋2a2 025 ＝＝0，
因为各项不为零，所以a2 024＝4，因为数列是等比数列，所以b2 023 ·b2 025 ＝＝16．
所以log2＝log216＝4，故选C．]
题号
2
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5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)
A． B．或
C． D．以上都不对
题号
2
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15
√
B　[设是x2－mx＋2＝0的根，则m＝，其另一根为4，对方程x2－
nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1∴q3＝＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，
∴＝＝．同理，若x＝是方程x2－nx＋2＝0的根，解得＝，故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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13
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15
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
题号
2
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4
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6
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256　[因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512．
因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256．]
256
7．已知数列满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________．
题号
2
1
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15
　[∵lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列＝anan＋2，即为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝，从而a3a4a6a7＝＝4，则a5＝±，又an>0，∴a5＝．]
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
题号
2
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50　[因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5．
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln (a1a2…a20)＝ln [(a1a20)·(a2a19) ·
…·(a10a11)]＝ln (a10a11)10＝10ln (a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50．]
50
三、解答题
9．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
题号
2
1
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15
[解]　an＋1－2＝－2＝＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4．
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，
所以bn＋＝－×4n-1，bn＝－＝－．
题号
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10．某城市2024年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2025年年初开始每年新建住房245万平方米，到2032年年底，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0题号
2
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[解]　设该城市的人口年平均增长率为x(0∵(1＋x)8≈1＋8x(0∴1＋8x≈，∴x≈0.003．
∴该城市的人口年平均增长率约是0.3%．
题号
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11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 024积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的值可能为(　　)
A．1 010 B．1 011
C．1 012 D．1 014
题号
2
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15
√
√
BC　[由题意可知a1a2a3…a2 024＝a2 024，
故a1a2a3…a2 023＝1，
由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，
所以a1 012＝1，公比0＜q＜1，
所以a1 011＞1且0＜a1 013＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1 011或1 012．
所以选BC．]
题号
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12．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中20%的杂质，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)(　　)
A．5 B．10
C．14 D．15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
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√
C　[设原杂质数为1，由题意，得每次过滤后水中杂质数成等比数列{an}，且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝(1－20%)n．
由题意可知(1－20%)n<5%，
即0.8n<0.05．
两边取对数，得n lg 0.8∵lg 0.8<0，∴n>，
即n>＝＝≈≈13.41，故取n＝14．]
题号
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1
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13．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________．
题号
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2　2n＋1　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ．由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，解得λ＝2．因为首项为2，所以an－1＝2×2n-1＝2n．即an＝2n＋1．]
2
2n＋1
14．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a10a11a12a13＝________，a8a15＝________．
题号
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4　2　[∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
a10a11a12a13＝4．
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4．
∴a8a15＝±2．又∵{an}为递减数列，∴q>0．∴a8a15＝2．]
4
2
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n2)，且an＋Sn＝n．
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．
题号
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1
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[解]　(1)证明：∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1． ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1．
∴2an＋1＝an＋1，
∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，又cn＝an－1，∴q＝．∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
题号
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(2)由(1)可知cn＝·＝－，
∴an＝cn＋1＝1－．
∴当n2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－＝．
又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝．
题号
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1
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谢 谢！