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重点检测内容：第二十三章 旋转
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形是中心对称图形的是( B )
2．如图，△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF，其旋转角是( A )
A．∠BAE B．∠CAE C．∠EAF D．∠BAF
3．已知点A(－2，3)与点B(a，－3)关于原点对称，则a的值为( D )
A．－2 B．－3 C．3 D．2
4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D的坐标为( A )
A．(2，2) B．(2，－2) C．(2，5) D．(－2，5)
5．如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图形重合，则这个角度可能为( C )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到△ADE，DE交AC于点F.当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE的度数为( B )
A.80°
B．85°
C．90°
D．95°
7．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)，作菱形OABC关于y轴对称的图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O对称的图形OA″B″C″，则点C′的对应点C″的坐标是( A )
A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，1) D．(－2，－1)
8．已知关于x的一元二次方程ax2－x＋c＝0，其中a，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是( C )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm.将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是( B )
A．1 cm B. 2 cm C． cm D．2 cm
10．如图，在正方形 ABCD中，E为 BC上的一点，△ABE经旋转可与△CBF重合，AE的延长线交 FC于点 M，以下结论正确的是( C )
A．BE＝CE B．FM＝MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__90°__．
12．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)关于原点对称的点B′在第__四__象限．
13．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是__②__．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6，0)，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是__(3，3)__．
15．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2＋2的图象绕坐标原点O顺时针旋转45°后，得到新曲线l.
(1)如图①，已知点A(－1，a)，B(b，10)在函数y＝2x2＋2的图象上，若A′，B′是A，B旋转后的对应点，连接OA′，OB′，则S△OA′B′＝__9__；
(2)如图②，曲线l与直线y＝相交于点M，N，则S△OMN＝____．
【解析】(1)当x＝－1时，y＝4，∴A(－1，4).当y＝10时，x＝2，∴B(2，10).S△OAB＝S△OA′B′，如答图①所示，直线AB的解析式为y＝2x＋6，∴C(0，6).∴S△OA′B′＝S△OAB＝OC·(2＋1)·＝9；
(2)如答图②所示，将直线MN绕点O逆时针旋转45°得直线M′N′，过点O作OH⊥M′N′，∴OH＝.∴H.∴直线M′N′的解析式为y＝x＋3.x＋3＝2x2＋2，解得x1＝－，x2＝1，∴S△OM′N′＝OQ·(|x2|＋|x1|)·＝3××＝.∴S△OMN＝.
三、解答题(共75分)
16．(6分)在10×10的正方形网格中，小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O对称的图形△A2B2C2.
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
17．(6分)如图，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C，点A′落在BC的延长线上，点B′落在AC上，连接AA′.
(1)请指出旋转中心和旋转角度；
(2)若AC＝4，求AA′的长；
(3)若∠BAC＝25°，求∠AA′B′的度数．
解：(1)旋转中心为点C.
根据旋转的性质可知△A′B′C≌△ABC，∴∠A′CB′＝∠ACB.
又∵∠ACB＋∠A′CB′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′CB′＝90°.∴旋转角度为90°；
(2)∵根据旋转的性质可知△A′B′C≌△ABC，∴A′C＝AC＝4.
又由(1)可知∠ACA′＝90°，∴AA′＝＝4；
(3)∵AC＝A′C，∠ACA′＝90°，
∴∠A′AC＝∠AA′C＝45°.
又根据旋转的性质可知∠B′A′C＝∠BAC＝25°，
∴∠AA′B′＝∠AA′C－∠B′A′C＝45°－25°＝20°.
18．(6分)图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中分别按下列要求选取一个涂上阴影(请将两个小题依次作答在图①、图②中，均只需画出一种符合条件的情形)：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
解：(1)轴对称图形如答图①所示；
(2)中心对称图形如答图②所示．
19．(8分)如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
解：(1)如图，点O即为所求；
(2)由题意，知△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长＝△ABC的周长＝6＋5＋4＝15；
(3)四边形ACDF是平行四边形．
理由：由题意，得OA＝OD，OC＝OF，∴四边形ACDF是平行四边形．
20．(8分)某中学要新建一块篮球场地(如图所示)，要求：①篮球场(阴影部分)的长和宽分别为28 m，15 m；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为510 m2.
(1)求安全区域的宽度；
(2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：(1)设安全区域的宽度为x m.
由题意，得(28＋2x)(15＋2x)＝510，
整理得2x2＋43x－45＝0，
解得x1＝1，x2＝－(不符合题意，舍去).
答：安全区域的宽度为1 m；
(2)设每次降价的百分率为a.
由题意，得45(1－a)2＝36.45，
解得a1＝1.9(舍去)，a2＝0.1＝10%.
答：每次降价的百分率为10%.
21．(8分)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′，CE.
求证：(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：(1)由正方形及旋转的性质得AD＝DC，∠ADC＝90°，AC＝A′C，
∠DA′E＝45°，∠ADA′＝∠CDE＝90°，∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°.∴DA′＝DE.∴△ADA′≌△CDE(SAS)； (2)由正方形及旋转的性质得CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°.又∵CE＝CE，∴Rt△CEB′≌Rt△CED(HL).∴∠B′CE＝∠DCE.∵AC＝A′C，∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
22．(10分)如图，在 ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)连接BF，DE，在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：(1)证明：∵旋转角为90°，∴∠AOF＝90°＝∠BAO.∴EF∥AB.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE.∴四边形ABEF是平行四边形；
(2)可以通过证△AOF≌△COE来说明AF与EC总保持相等；
(3)可能是菱形．理由：当EF⊥BD时，易证四边形BEDF为菱形．∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2.又∵OA＝OC，∴OA＝1＝AB.∴∠AOB＝45°.∵EF⊥BD，∴∠BOF＝90°，∴∠AOF＝45°.∴旋转的度数为45°.
23．(11分)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m＝______，n＝______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y＝－5t2＋vt.
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
解：(1)①3，6；
【解析】根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为(4，8)，∴解得∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x.当y＝时，－x2＋4x＝，解得x＝3或x＝5(舍去)，∴m＝3.
当x＝6时，n＝y＝－×62＋4×6＝6；
②联立得解得或
∴点A的坐标是；
(2)①8；
②∵y＝－5t2＋vt＝－52＋，则＝8，
解得v＝4(负值舍去).
24．(12分)如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF.
(1)求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图②的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系：______；
②求证：CD＝2BF.
解：(1)证明：在△ABE和△CBD中，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD.∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，∴AE＝2BF.∴CD＝2BF.∵BF＝AE＝AF，∴∠FAB＝∠FBA.∴∠FBA＝∠BCD.∵∠FBA＋∠FBC＝90°，∴∠FBC＋∠BCD＝90°.∴CD⊥BF；
(2)①BF⊥CD；
【解析】如答图①，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG.延长EB到点M，使BM＝BE，连接AM并延长交CD于点N.
易证△AGB≌△BDC(具体证法过程跟②一样).∴∠ABG＝∠BCD.∵F是AE中点，B是EM中点，∴BF是△AEM中位线．∴BF∥AN.∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD.∵∠ABC＝90°，∴∠BAN＋∠AOB＝90°，∴∠CON＋∠BCD＝90°，∴∠ANC＝90°.
∴AN⊥CD.∵BF∥AN，∴BF⊥CD；
②证明：如答图②，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG.∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，∴△AGF≌△EBF(SAS).∴∠FAG＝∠FEB，AG＝EB.∴AG∥BE.∴∠GAB＋∠ABE＝180°.∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABE＋∠DBC＝180°.∴∠GAB＝∠DBC.∵BE＝BD，∴AG＝BD.在△AGB和△BDC中，∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，∴△AGB≌△BDC(SAS)，∴CD＝BG.∵BG＝2BF，∴CD＝2BF.
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重点检测内容：第二十三章 旋转
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形是中心对称图形的是( B )
2．如图，△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF，其旋转角是( A )
A．∠BAE B．∠CAE C．∠EAF D．∠BAF
3．已知点A(－2，3)与点B(a，－3)关于原点对称，则a的值为( D )
A．－2 B．－3 C．3 D．2
4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D的坐标为( A )
A．(2，2) B．(2，－2) C．(2，5) D．(－2，5)
5．如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图形重合，则这个角度可能为( C )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到△ADE，DE交AC于点F.当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE的度数为( B )
A.80°
B．85°
C．90°
D．95°
7．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)，作菱形OABC关于y轴对称的图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O对称的图形OA″B″C″，则点C′的对应点C″的坐标是( A )
A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，1) D．(－2，－1)
8．已知关于x的一元二次方程ax2－x＋c＝0，其中a，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是( C )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm.将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是( B )
A．1 cm B. 2 cm C． cm D．2 cm
10．如图，在正方形 ABCD中，E为 BC上的一点，△ABE经旋转可与△CBF重合，AE的延长线交 FC于点 M，以下结论正确的是( C )
A．BE＝CE B．FM＝MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__90°__．
12．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)关于原点对称的点B′在第__四__象限．
13．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是__②__．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6，0)，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是__(3，3)__．
15．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2＋2的图象绕坐标原点O顺时针旋转45°后，得到新曲线l.
(1)如图①，已知点A(－1，a)，B(b，10)在函数y＝2x2＋2的图象上，若A′，B′是A，B旋转后的对应点，连接OA′，OB′，则S△OA′B′＝__9__；
(2)如图②，曲线l与直线y＝相交于点M，N，则S△OMN＝____．
【解析】(1)当x＝－1时，y＝4，∴A(－1，4).当y＝10时，x＝2，∴B(2，10).S△OAB＝S△OA′B′，如答图①所示，直线AB的解析式为y＝2x＋6，∴C(0，6).∴S△OA′B′＝S△OAB＝OC·(2＋1)·＝9；
(2)如答图②所示，将直线MN绕点O逆时针旋转45°得直线M′N′，过点O作OH⊥M′N′，∴OH＝.∴H.∴直线M′N′的解析式为y＝x＋3.x＋3＝2x2＋2，解得x1＝－，x2＝1，∴S△OM′N′＝OQ·(|x2|＋|x1|)·＝3××＝.∴S△OMN＝.
三、解答题(共75分)
16．(6分)在10×10的正方形网格中，小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O对称的图形△A2B2C2.
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
17．(6分)如图，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C，点A′落在BC的延长线上，点B′落在AC上，连接AA′.
(1)请指出旋转中心和旋转角度；
(2)若AC＝4，求AA′的长；
(3)若∠BAC＝25°，求∠AA′B′的度数．
解：(1)旋转中心为点C.
根据旋转的性质可知△A′B′C≌△ABC，∴∠A′CB′＝∠ACB.
又∵∠ACB＋∠A′CB′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′CB′＝90°.∴旋转角度为90°；
(2)∵根据旋转的性质可知△A′B′C≌△ABC，∴A′C＝AC＝4.
又由(1)可知∠ACA′＝90°，∴AA′＝＝4；
(3)∵AC＝A′C，∠ACA′＝90°，
∴∠A′AC＝∠AA′C＝45°.
又根据旋转的性质可知∠B′A′C＝∠BAC＝25°，
∴∠AA′B′＝∠AA′C－∠B′A′C＝45°－25°＝20°.
18．(6分)图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中分别按下列要求选取一个涂上阴影(请将两个小题依次作答在图①、图②中，均只需画出一种符合条件的情形)：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
解：(1)轴对称图形如答图①所示；
(2)中心对称图形如答图②所示．
19．(8分)如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
解：(1)如图，点O即为所求；
(2)由题意，知△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长＝△ABC的周长＝6＋5＋4＝15；
(3)四边形ACDF是平行四边形．
理由：由题意，得OA＝OD，OC＝OF，∴四边形ACDF是平行四边形．
20．(8分)某中学要新建一块篮球场地(如图所示)，要求：①篮球场(阴影部分)的长和宽分别为28 m，15 m；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为510 m2.
(1)求安全区域的宽度；
(2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：(1)设安全区域的宽度为x m.
由题意，得(28＋2x)(15＋2x)＝510，
整理得2x2＋43x－45＝0，
解得x1＝1，x2＝－(不符合题意，舍去).
答：安全区域的宽度为1 m；
(2)设每次降价的百分率为a.
由题意，得45(1－a)2＝36.45，
解得a1＝1.9(舍去)，a2＝0.1＝10%.
答：每次降价的百分率为10%.
21．(8分)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′，CE.
求证：(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：(1)由正方形及旋转的性质得AD＝DC，∠ADC＝90°，AC＝A′C，
∠DA′E＝45°，∠ADA′＝∠CDE＝90°，∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°.∴DA′＝DE.∴△ADA′≌△CDE(SAS)； (2)由正方形及旋转的性质得CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°.又∵CE＝CE，∴Rt△CEB′≌Rt△CED(HL).∴∠B′CE＝∠DCE.∵AC＝A′C，∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
22．(10分)如图，在 ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)连接BF，DE，在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：(1)证明：∵旋转角为90°，∴∠AOF＝90°＝∠BAO.∴EF∥AB.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE.∴四边形ABEF是平行四边形；
(2)可以通过证△AOF≌△COE来说明AF与EC总保持相等；
(3)可能是菱形．理由：当EF⊥BD时，易证四边形BEDF为菱形．∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2.又∵OA＝OC，∴OA＝1＝AB.∴∠AOB＝45°.∵EF⊥BD，∴∠BOF＝90°，∴∠AOF＝45°.∴旋转的度数为45°.
23．(11分)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m＝______，n＝______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y＝－5t2＋vt.
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
解：(1)①3，6；
【解析】根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为(4，8)，∴解得∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x.当y＝时，－x2＋4x＝，解得x＝3或x＝5(舍去)，∴m＝3.
当x＝6时，n＝y＝－×62＋4×6＝6；
②联立得解得或
∴点A的坐标是；
(2)①8；
②∵y＝－5t2＋vt＝－52＋，则＝8，
解得v＝4(负值舍去).
24．(12分)如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF.
(1)求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图②的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系：______；
②求证：CD＝2BF.
解：(1)证明：在△ABE和△CBD中，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD.∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，∴AE＝2BF.∴CD＝2BF.∵BF＝AE＝AF，∴∠FAB＝∠FBA.∴∠FBA＝∠BCD.∵∠FBA＋∠FBC＝90°，∴∠FBC＋∠BCD＝90°.∴CD⊥BF；
(2)①BF⊥CD；
【解析】如答图①，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG.延长EB到点M，使BM＝BE，连接AM并延长交CD于点N.
易证△AGB≌△BDC(具体证法过程跟②一样).∴∠ABG＝∠BCD.∵F是AE中点，B是EM中点，∴BF是△AEM中位线．∴BF∥AN.∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD.∵∠ABC＝90°，∴∠BAN＋∠AOB＝90°，∴∠CON＋∠BCD＝90°，∴∠ANC＝90°.
∴AN⊥CD.∵BF∥AN，∴BF⊥CD；
②证明：如答图②，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG.∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，∴△AGF≌△EBF(SAS).∴∠FAG＝∠FEB，AG＝EB.∴AG∥BE.∴∠GAB＋∠ABE＝180°.∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABE＋∠DBC＝180°.∴∠GAB＝∠DBC.∵BE＝BD，∴AG＝BD.在△AGB和△BDC中，∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，∴△AGB≌△BDC(SAS)，∴CD＝BG.∵BG＝2BF，∴CD＝2BF.
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