/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
检测内容：第二十四章 圆
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．小明没有圆规，他用如图所示的方法成功画出了圆，他画圆时( C )
A．保持圆心的位置不变 B．保持圆的半径不变
C．保持圆心的位置和圆的半径均不变 D．圆心的位置可以改变
2．下列说法中，错误的是( B )
A．直径相等的两个圆是等圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．在同圆或等圆中，能重合的两条弧叫作等弧
3．如图，AB是⊙O的直径，＝，若∠AOC＝40°，则∠CPD的度数为( B )
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A．32° B．42° C．48° D．52°
5．如图，用一个直角三角板经过两次画图找到了圆形工件的圆心O，这种方法应用的道理是( D )
A．垂径定理 B．勾股定理
C．直径所对的圆周角是直角 D．90°的圆周角所对的弦是直径
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接 AC，若AC＝AD，∠B＝108°，则∠CAD的度数为( C )
A．30° B．35° C．36° D．40°
7．如图，在⊙O中，弦AB＝4，半径OC经过弦AB的中点，且∠B＝30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系为( C )
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外 D．无法确定
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，则∠ADB的度数为( B )
A．120° B．135° C．145° D．150°
9．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为( C )
A．12 B．13 C．14 D．15
10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙M的内接正六边形ABCDEF的边AB在x轴的正半轴上，顶点F在y轴的正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 45°，则经过第2 026次旋转后顶点D的坐标为( D )
A．(3，－2) B．(3，－3) C．(－2，3) D．(2，－3)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设：__圆的切线不垂直于过切点的半径__．
12．若一个圆锥的底面圆半径为4 cm，侧面积为20π cm2，则它的母线长为__5__cm.
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接AE，OD，若∠BCD＝2∠BAD，则∠DOE的度数为__60°__．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD的长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为__＋π__．
15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，D是AC边上的一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则：(1)连接AE，∠AEB＝__90°___；(2)线段CE长度的最小值为__－1___.
【解析】(1)∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°；
(2)由(1)得点E在以AB为直径的⊙O上．连接OE，OC，则OE＝AB＝1.∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝2，∴AB＝AC＝2.
∴OA＝1.∴OC＝＝＝.∴点E在线段OC上时，CE最小，此时CE＝OC－OE＝－1，∴线段CE长度的最小值为－1.
三、解答题(共75分)
16．(6分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF.求证：AC＝BD.
证明：连接OC，OD.∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°.在Rt△OEC和Rt△OFD中，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD(HL).∴∠COE＝∠DOF.∴AC＝BD.
17．(6分)如图，在等边△ABC中，AB＝6 cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与直线AB的位置关系：
(1)r＝3 cm；(2)r＝4.5 cm；(3)r＝6.8 cm.
解：过点D作DE⊥AB于点E.
∵等边△ABC的边长为6 cm，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3(cm)，∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°.
∴AD＝＝＝9(cm).∴DE＝AD＝×9＝4.5(cm).
(1)∵r＝3 cm＜4.5 cm，∴⊙D与直线AB相离；
(2)∵r＝4.5 cm，∴⊙D与直线AB相切；
(3)∵r＝6.8 cm＞4.5 cm，∴⊙D与直线AB相交．
18．(6分)中华饮食文化源远流长，“大碗面”是中华特色美食之一．如图②是从正面看到的一个“大碗”(图①)的形状示意图，是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知弦AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，求⊙O的半径长．
解：根据题意可知OD⊥AB于点C，
∴AC＝BC＝AB＝×24＝12(cm).
设⊙O的半径为r cm，则OA＝OD＝r cm.
∴OC＝OD－CD＝(r－8) cm.
∵在Rt△OAC中，AC2＋OC2＝OA2，
∴122＋(r－8)2＝r2，解得r＝13.
∴⊙O的半径长为13 cm.
19．(8分)如图，⊙O的直径AB经过其弦CD的中点E，F是上的一点，AF与CD的延长线交于点G，求证：∠AFC＝∠DFG.
证明：连接AC.∵⊙O的直径AB经过其弦CD的中点E，
∴＝，∴∠ACD＝∠AFC.
又∵四边形ACDF是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD＋∠AFD＝180°.
又∵∠AFD＋∠DFG＝180°，
∴∠ACD＝∠DFG.∴∠AFC＝∠DFG.
20．(8分)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径DE与母线AD的长度之比为1∶2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
(1)求这种等腰三角形材料的顶角∠BAC的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径DE为5 cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)
解：(1)设∠BAC＝n°.由题意得π·DE＝，AD＝2DE，∴n＝90.
∴∠BAC＝90°；
(2)由(1)易得BC＝2AD.∵AD＝2DE＝2×5＝10(cm)，∴BC＝ 20 cm.
∴S阴影＝BC·AD－S扇形AEF＝×20×10－＝(100－25π) cm2.
21．(8分)如图，直线AB与⊙O相切于点B，射线AO与⊙O交于点C，D，连接BC，BD.
(1)求证：∠ABC＝∠D；
(2)若AB＝2，AC＝2，求的长．
解：(1)证明：连接OB.
∵直线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB.∴∠OBA＝90°.∴∠OBC＋∠ABC＝90°.
∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°.
∴∠OBC＋∠OBD＝90°.∴∠ABC＝∠OBD.
又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D；
(2)设OB＝OC＝r，则OA＝OC＋AC＝r＋2.
∵在Rt△OAB中，AB2＋OB2＝OA2，
∴(2)2＋r2＝(r＋2)2，解得r＝2.
∴OC＝2，OA＝4.∴C为OA的中点．
∴BC＝OA＝OC＝OB.
∴△OBC是等边三角形．∴∠AOB＝60°.
∴的长为＝.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以OB为半径的⊙O分别与边AB，BC交于点D，E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相切于点G，AC＝8，CF＝1，求⊙O的半径．
解：(1)证明：连接OE.
∵OB＝OE，AB＝AC，
∴∠OEB＝∠B＝∠C.∴OE∥AC.
又∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.
∴∠OEF＝180°－∠EFA＝90°.∴OE⊥EF.
∵OE为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
(2)连接OG.
∵AC与⊙O相切，
∴OG⊥AC.∴∠OGF＝90°.
由(1)可知∠OEF＝∠EFG＝90°，OE＝OG，
∴四边形OEFG为正方形．∴GF＝OG.
设⊙O的半径为r，则GF＝OG＝OB＝r.
∴AG＝AC－CF－GF＝8－1－r＝7－r，OA＝AB－OB＝AC－OB＝8－r.
∵在Rt△AOG中，AG2＋OG2＝OA2，
∴(7－r)2＋r2＝(8－r)2，解得r＝3(负值已舍去).
∴⊙O的半径为3.
23．(11分)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上的一点，请根据以下步骤完成这个引理的作图过程：
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作线段AC的垂直平分线DE，交于点D，垂足为E；
②以点D为圆心，DA的长为半径作弧，交于点F(F，A两点不重合)，连接BF.
(2)引理的结论为BC＝BF，请将证明过程补充完整．
证明：连接DA，DC，DF，DB.
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC.∴∠DAC＝∠DCA.
又∵四边形ABFD为圆的内接四边形，
∴∠DAC＋∠__DFB__＝180°.
又∵∠DCA＋∠DCB＝180°，
∴∠__DCB__＝∠__DFB__．
又∵AD＝FD，
∴____＝____．
∴∠ABD＝∠DBF.
∴△BCD≌△BFD(AAS).∴BC＝BF.
解：(1)如图所示．
24．(12分)如图①，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC.
(1)求证：AC＝BC；
(2)如图②，在图①的基础上作⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；
(3)在(2)的条件下，若△ABD的面积为6，△ABD与△ABC的面积比为2∶9，求CD的长.
解：(1)证明：∵DC平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC.∴＝.
∴AC＝BC；
(2)连接AO并延长交⊙O于点J，连接CJ，如答图．∴∠AJC＝∠ABC，∠AJC＋∠CAJ＝90°.∵AH是⊙O的切线，且AH∥BC，∴∠CAH＝∠ACB，∠CAJ＋∠CAH＝90°.∴∠AJC＝∠CAH.∴∠ABC＝∠CAH＝∠ACB.∴AB＝AC＝BC.∴△ABC是等边三角形，∠ABC＝60°＝∠F.∵FC是直径，∴∠FAC＝90°.∴∠ACF＝90°－∠F＝90°－60°＝30°；
答图
(3)∵△ABC为等边三角形，∠ACF＝30°，∴AB⊥CF，∴AE＝BE.∵易得S△ABC＝AB2，S△ABD∶S△ABC＝2∶9，S△ABD＝6，∴S△ABC＝27.∴AB＝6.∴AE＝3，CE＝9.在Rt△AEO中，设EO＝x，则AO＝2x，∴AO2＝AE2＋OE2.∴(2x)2＝(3)2＋x2.∴x＝3(负值已舍去).∴⊙O的半径为6.∴CF＝12.过点D作DG⊥AB于点G.
∵S△ABD＝AB·DG＝×6DG＝6，∴DG＝2.过点D作DP⊥CF于点P，连接OD.∵AB⊥CF，DG⊥AB，∴四边形PDGE为矩形．∴PE＝DG＝2.∴CP＝PE＋CE＝2＋9＝11.∴OP＝CP－OC＝11－6＝5.在Rt△OPD中，DP＝＝＝.∴在Rt△CPD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
检测内容：第二十四章 圆
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．小明没有圆规，他用如图所示的方法成功画出了圆，他画圆时( C )
A．保持圆心的位置不变 B．保持圆的半径不变
C．保持圆心的位置和圆的半径均不变 D．圆心的位置可以改变
2．下列说法中，错误的是( B )
A．直径相等的两个圆是等圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．在同圆或等圆中，能重合的两条弧叫作等弧
3．如图，AB是⊙O的直径，＝，若∠AOC＝40°，则∠CPD的度数为( B )
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A．32° B．42° C．48° D．52°
5．如图，用一个直角三角板经过两次画图找到了圆形工件的圆心O，这种方法应用的道理是( D )
A．垂径定理 B．勾股定理
C．直径所对的圆周角是直角 D．90°的圆周角所对的弦是直径
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接 AC，若AC＝AD，∠B＝108°，则∠CAD的度数为( C )
A．30° B．35° C．36° D．40°
7．如图，在⊙O中，弦AB＝4，半径OC经过弦AB的中点，且∠B＝30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系为( C )
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外 D．无法确定
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，则∠ADB的度数为( B )
A．120° B．135° C．145° D．150°
9．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为( C )
A．12 B．13 C．14 D．15
10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙M的内接正六边形ABCDEF的边AB在x轴的正半轴上，顶点F在y轴的正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 45°，则经过第2 026次旋转后顶点D的坐标为( D )
A．(3，－2) B．(3，－3) C．(－2，3) D．(2，－3)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设：__圆的切线不垂直于过切点的半径__．
12．若一个圆锥的底面圆半径为4 cm，侧面积为20π cm2，则它的母线长为__5__cm.
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接AE，OD，若∠BCD＝2∠BAD，则∠DOE的度数为__60°__．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD的长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为__＋π__．
15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，D是AC边上的一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则：(1)连接AE，∠AEB＝__90°___；(2)线段CE长度的最小值为__－1___.
【解析】(1)∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°；
(2)由(1)得点E在以AB为直径的⊙O上．连接OE，OC，则OE＝AB＝1.∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝2，∴AB＝AC＝2.
∴OA＝1.∴OC＝＝＝.∴点E在线段OC上时，CE最小，此时CE＝OC－OE＝－1，∴线段CE长度的最小值为－1.
三、解答题(共75分)
16．(6分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF.求证：AC＝BD.
证明：连接OC，OD.∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°.在Rt△OEC和Rt△OFD中，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD(HL).∴∠COE＝∠DOF.∴AC＝BD.
17．(6分)如图，在等边△ABC中，AB＝6 cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与直线AB的位置关系：
(1)r＝3 cm；(2)r＝4.5 cm；(3)r＝6.8 cm.
解：过点D作DE⊥AB于点E.
∵等边△ABC的边长为6 cm，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3(cm)，∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°.
∴AD＝＝＝9(cm).∴DE＝AD＝×9＝4.5(cm).
(1)∵r＝3 cm＜4.5 cm，∴⊙D与直线AB相离；
(2)∵r＝4.5 cm，∴⊙D与直线AB相切；
(3)∵r＝6.8 cm＞4.5 cm，∴⊙D与直线AB相交．
18．(6分)中华饮食文化源远流长，“大碗面”是中华特色美食之一．如图②是从正面看到的一个“大碗”(图①)的形状示意图，是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知弦AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，求⊙O的半径长．
解：根据题意可知OD⊥AB于点C，
∴AC＝BC＝AB＝×24＝12(cm).
设⊙O的半径为r cm，则OA＝OD＝r cm.
∴OC＝OD－CD＝(r－8) cm.
∵在Rt△OAC中，AC2＋OC2＝OA2，
∴122＋(r－8)2＝r2，解得r＝13.
∴⊙O的半径长为13 cm.
19．(8分)如图，⊙O的直径AB经过其弦CD的中点E，F是上的一点，AF与CD的延长线交于点G，求证：∠AFC＝∠DFG.
证明：连接AC.∵⊙O的直径AB经过其弦CD的中点E，
∴＝，∴∠ACD＝∠AFC.
又∵四边形ACDF是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD＋∠AFD＝180°.
又∵∠AFD＋∠DFG＝180°，
∴∠ACD＝∠DFG.∴∠AFC＝∠DFG.
20．(8分)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径DE与母线AD的长度之比为1∶2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
(1)求这种等腰三角形材料的顶角∠BAC的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径DE为5 cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)
解：(1)设∠BAC＝n°.由题意得π·DE＝，AD＝2DE，∴n＝90.
∴∠BAC＝90°；
(2)由(1)易得BC＝2AD.∵AD＝2DE＝2×5＝10(cm)，∴BC＝ 20 cm.
∴S阴影＝BC·AD－S扇形AEF＝×20×10－＝(100－25π) cm2.
21．(8分)如图，直线AB与⊙O相切于点B，射线AO与⊙O交于点C，D，连接BC，BD.
(1)求证：∠ABC＝∠D；
(2)若AB＝2，AC＝2，求的长．
解：(1)证明：连接OB.
∵直线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB.∴∠OBA＝90°.∴∠OBC＋∠ABC＝90°.
∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°.
∴∠OBC＋∠OBD＝90°.∴∠ABC＝∠OBD.
又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D；
(2)设OB＝OC＝r，则OA＝OC＋AC＝r＋2.
∵在Rt△OAB中，AB2＋OB2＝OA2，
∴(2)2＋r2＝(r＋2)2，解得r＝2.
∴OC＝2，OA＝4.∴C为OA的中点．
∴BC＝OA＝OC＝OB.
∴△OBC是等边三角形．∴∠AOB＝60°.
∴的长为＝.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以OB为半径的⊙O分别与边AB，BC交于点D，E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相切于点G，AC＝8，CF＝1，求⊙O的半径．
解：(1)证明：连接OE.
∵OB＝OE，AB＝AC，
∴∠OEB＝∠B＝∠C.∴OE∥AC.
又∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.
∴∠OEF＝180°－∠EFA＝90°.∴OE⊥EF.
∵OE为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
(2)连接OG.
∵AC与⊙O相切，
∴OG⊥AC.∴∠OGF＝90°.
由(1)可知∠OEF＝∠EFG＝90°，OE＝OG，
∴四边形OEFG为正方形．∴GF＝OG.
设⊙O的半径为r，则GF＝OG＝OB＝r.
∴AG＝AC－CF－GF＝8－1－r＝7－r，OA＝AB－OB＝AC－OB＝8－r.
∵在Rt△AOG中，AG2＋OG2＝OA2，
∴(7－r)2＋r2＝(8－r)2，解得r＝3(负值已舍去).
∴⊙O的半径为3.
23．(11分)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上的一点，请根据以下步骤完成这个引理的作图过程：
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作线段AC的垂直平分线DE，交于点D，垂足为E；
②以点D为圆心，DA的长为半径作弧，交于点F(F，A两点不重合)，连接BF.
(2)引理的结论为BC＝BF，请将证明过程补充完整．
证明：连接DA，DC，DF，DB.
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC.∴∠DAC＝∠DCA.
又∵四边形ABFD为圆的内接四边形，
∴∠DAC＋∠__DFB__＝180°.
又∵∠DCA＋∠DCB＝180°，
∴∠__DCB__＝∠__DFB__．
又∵AD＝FD，
∴____＝____．
∴∠ABD＝∠DBF.
∴△BCD≌△BFD(AAS).∴BC＝BF.
解：(1)如图所示．
24．(12分)如图①，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC.
(1)求证：AC＝BC；
(2)如图②，在图①的基础上作⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；
(3)在(2)的条件下，若△ABD的面积为6，△ABD与△ABC的面积比为2∶9，求CD的长.
解：(1)证明：∵DC平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC.∴＝.
∴AC＝BC；
(2)连接AO并延长交⊙O于点J，连接CJ，如答图．∴∠AJC＝∠ABC，∠AJC＋∠CAJ＝90°.∵AH是⊙O的切线，且AH∥BC，∴∠CAH＝∠ACB，∠CAJ＋∠CAH＝90°.∴∠AJC＝∠CAH.∴∠ABC＝∠CAH＝∠ACB.∴AB＝AC＝BC.∴△ABC是等边三角形，∠ABC＝60°＝∠F.∵FC是直径，∴∠FAC＝90°.∴∠ACF＝90°－∠F＝90°－60°＝30°；
答图
(3)∵△ABC为等边三角形，∠ACF＝30°，∴AB⊥CF，∴AE＝BE.∵易得S△ABC＝AB2，S△ABD∶S△ABC＝2∶9，S△ABD＝6，∴S△ABC＝27.∴AB＝6.∴AE＝3，CE＝9.在Rt△AEO中，设EO＝x，则AO＝2x，∴AO2＝AE2＋OE2.∴(2x)2＝(3)2＋x2.∴x＝3(负值已舍去).∴⊙O的半径为6.∴CF＝12.过点D作DG⊥AB于点G.
∵S△ABD＝AB·DG＝×6DG＝6，∴DG＝2.过点D作DP⊥CF于点P，连接OD.∵AB⊥CF，DG⊥AB，∴四边形PDGE为矩形．∴PE＝DG＝2.∴CP＝PE＋CE＝2＋9＝11.∴OP＝CP－OC＝11－6＝5.在Rt△OPD中，DP＝＝＝.∴在Rt△CPD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
