周测17 第四章 指数函数与对数函数　单元检测卷(四)（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测17　单元检测卷(四)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=+(x+1)的定义域是(　　)
A.[-1，3) B.(-1，3)
C.(-1，3] D.[-1，3]
2.用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时，通过计算得f(-1)>0，f(-2)<0，则下一步应计算f(x1)，则x1等于(　　)
A.0 B.-
C.- D.-
3.设a=log310，b=20.3，c=0.83，则(　　)
A.bC.c4.函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
5.函数f(x)=ex(ln|x|+1)的图象大致是(　　)
6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数型函数模型K(n)=λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q=+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6，T=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为　　　天.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A.19.5 B.20.5
C.18.5 D.19
7.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(2)=0，则不等式ln·
[xf(x)]>0的解集为(　　)
A.(-2，0)∪(0，2)
B.(-∞，-2)∪(0，2)
C.(-2，0)∪(2，+∞)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
8.已知函数f(x)=g(x)=kx+6-2k(k>0)，若对任意的x1∈[-1，1]，总存在x2∈[-1，1]使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为(　　)
A.(0，2] B.
C.(0，3] D.(1，2]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知正实数a，b满足log3a-log3b<-，则下列结论正确的是(　　)
A.aC.2a-b<1 D.ln(b-a)>0
10.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-，函数g(x)=[f(x)]，则下列命题中为真命题的是(　　)
A.g(x)的图象关于直线x=0对称
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1，0，1}
11.已知函数f(x)=若方程[f(x)]2+bf(x)+=0有六个相异实根，则实数b可能的取值为(　　)
A.-2 B.-1
C.- D.-
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知函数y=loga(x+3)-(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，则b=　　　　.
13.已知函数f(x)=3x+1-4x-5，则不等式f(x)<0的解集是　　　　.
14.若函数f(x)=在(-∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)计算：
(1)+++80.25×+；(6分)
(2)++lg 5·lg 2+(lg 5)2.(7分)
16.(15分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.
(1)若f(x)<0，求x的取值范围；(7分)
(2)当≤x≤8时， 求函数f(x)的值域.(8分)
17.(15分)若函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)+g(x)=21-x.
(1)求f(x)和g(x)的解析式；(5分)
(2)记h(x)=，
①判断h(x)的奇偶性，并用定义证明h(x)的单调性；(5分)
②若h(5+t2)+h(4t-2t2)<0成立，求实数t的取值范围.(5分)
18.(17分)有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60 km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位：W·h)与速度x(单位：km/h)的数据如表所示.
x 0 10 40 60
Q 0 1 420 4 480 6 720
为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种函数模型供选择：①Q1(x)=x3-2x2+cx；②Q2(x)=1-；③Q3(x)=300logax+b.
(1)当0≤x≤60时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数表达式；(7分)
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A中学行驶到B中学，其中国道上行驶50 km，高速上行驶300 km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足(1)中的函数表达式；在高速路上车速x(单位：km/h)满足x∈[80，120]，且每小时耗电量N(单位：W·h)与速度x(单位：km/h)的关系满足N(x)=2x2-10x+200(80≤x≤120).则当在国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，总耗电量最少为多少？(10分)
19.(17分)已知函数f(x)=lo为奇函数.
(1)求常数k的值；(5分)
(2)当x>1时，判断f(x)的单调性；(6分)
(3)若函数g(x)=f(x)-+m在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围.(6分)
周测17　单元检测卷(四)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=+(x+1)的定义域是(　　)
A.[-1，3) B.(-1，3)
C.(-1，3] D.[-1，3]
答案　C
解析　由题意得，解得-12.用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时，通过计算得f(-1)>0，f(-2)<0，则下一步应计算f(x1)，则x1等于(　　)
A.0 B.-
C.- D.-
答案　C
解析　因为f(-1)>0，f(-2)<0，且函数f(x)=x3-2x+2的图象连续不断，
所以函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2，-1)内有零点，
所以下一步应计算f(x1)，x1==-.
3.设a=log310，b=20.3，c=0.83，则(　　)
A.bC.c答案　C
解析　c=0.83<0.80=1，20<20.3<21，即1log39=2，所以a>b>c.
4.函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　由题意，令f(x)=ex|ln x|-1=0，即|ln x|=e-x，
则函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数等价于函数y=e-x与y=|ln x| 图象的交点个数，y=e-x与y=|ln x|两函数的图象如图所示，由图知，两个函数图象有2个交点，
故函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数是2.
5.函数f(x)=ex(ln|x|+1)的图象大致是(　　)
答案　D
解析　因为f(x)=ex(ln|x|+1)的定义域为{x|x≠0}，
而f(-x)=e-x(ln|-x|+1)=e-x(ln|x|+1)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故排除A，B；
当x趋近于正无穷时，ex趋近于正无穷，ln|x|+1趋近于正无穷，故f(x)趋近于正无穷，
故C错误，D正确.
6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数型函数模型K(n)=λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q=+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6，T=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为　　　天.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A.19.5 B.20.5
C.18.5 D.19
答案　A
解析　因为Q=+1，Q=6，T=60，
所以6=+1，解得λ=12，
设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为K2，
则K2-K1=12log3(6n)-12log3n=12log36
=12×
≈12×=19.5(天).
7.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(2)=0，则不等式ln·
[xf(x)]>0的解集为(　　)
A.(-2，0)∪(0，2)
B.(-∞，-2)∪(0，2)
C.(-2，0)∪(2，+∞)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
答案　A
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递增，
则该函数在(-∞，0)上也单调递增，所以f(-2)=-f(2)=0，
由ln·[xf(x)]>0，可得xf(x)<0.
当x<0时，f(x)>0，解得-2当x>0时，f(x)<0，解得0综上所述，不等式ln·[xf(x)]>0的解集为(-2，0)∪(0，2).
8.已知函数f(x)=g(x)=kx+6-2k(k>0)，若对任意的x1∈[-1，1]，总存在x2∈[-1，1]使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为(　　)
A.(0，2] B.
C.(0，3] D.(1，2]
答案　C
解析　当-1≤x<0时，f(x)=-x3+2在[-1，0)上单调递减，则2当0≤x≤1时，f(x)=3-x+2在[0，1]上单调递减，
则≤f(x)≤3，
所以当x∈[-1，1]时，f(x)∈(2，3]，
所以f(x)max=3，
因为g(x)=kx+6-2k(k>0)在[-1，1]上单调递增，
所以g(x)max=k+6-2k=6-k，
因为对任意的x1∈[-1，1]，总存在x2∈[-1，1]使得f(x1)≤g(x2)成立，
所以f(x)max≤g(x)max，所以3≤6-k，解得0二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知正实数a，b满足log3a-log3b<-，则下列结论正确的是(　　)
A.aC.2a-b<1 D.ln(b-a)>0
答案　AC
解析　因为log3a-log3b<-，所以log3a-令f(x)=log3x-，其在(0，+∞)上单调递增，
∴b>a>0，
∴b-a>0，即a，2a-b<1，ln(b-a)∈(-∞，+∞)，故A，C正确；B，D错误.
10.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-，函数g(x)=[f(x)]，则下列命题中为真命题的是(　　)
A.g(x)的图象关于直线x=0对称
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1，0，1}
答案　BC
解析　∵g(1)=[f(1)]==0，
g(-1)=[f(-1)]==-1，
∴g(1)≠g(-1)，g(1)≠-g(-1)，
∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，
g(x)的图象不关于直线x=0对称，故A错误；
函数f(x)的定义域为R，f(x)=-=-=-，
∵f(-x)=-=-=-f(x)，
∴f(x)是奇函数，故B正确；
任取x1>x2，f(x1)-f(x2)=-=-=，
∵x1>x2，则>，即->0，且(1+)(1+)>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)=-在R上是增函数，故C正确；
∵ex>0，∴1+ex>1，∴0<<1，
则-<-<，即-∴g(x)=[f(x)]的值域为{-1，0}，故D错误.
11.已知函数f(x)=若方程[f(x)]2+bf(x)+=0有六个相异实根，则实数b可能的取值为(　　)
A.-2 B.-1
C.- D.-
答案　BD
解析　f(x)的图象如图所示，
令t=f(x)，则要使方程[f(x)]2+bf(x)+=0有六个相异实根，
即使t2+bt+=0在t∈(0，1)上有两个不相等的实根，
则解得-三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知函数y=loga(x+3)-(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，则b=　　　　.
答案　-1
解析　由题意，函数y=loga(x+3)-(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，故得A，
又点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，∴-=3-2+b，解得b=-1.
13.已知函数f(x)=3x+1-4x-5，则不等式f(x)<0的解集是　　　　.
答案　(-1，1)
解析　因为函数f(x)=3x+1-4x-5，
所以不等式f(x)<0，即3x+1<4x+5，
在坐标系中分别作出y1=3x+1，y2=4x+5的图象，如图所示，
观察图象可知，y1=3x+1，y2=4x+5都经过A(-1，1)，B(1，9)，
f(x)<0即y1=3x+1的图象在y2=4x+5图象的下方，
由图象知，不等式f(x)<0的解集是(-1，1).
14.若函数f(x)=在(-∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为　　　　.
答案　[1，17]
解析　因为f(x)=
当x∈(-∞，1]时，易知f(x)=2x+2在(-∞，1]上单调递增，
当x∈(1，+∞)时，易知f(x)=log2(x-1)在(1，+∞)上单调递增.
作出f(x)的大致图象，如图所示，
由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17-1)=4，
因为f(x)在(-∞，a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1，17].
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)计算：
(1)+++80.25×+；(6分)
(2)++lg 5·lg 2+(lg 5)2.(7分)
解　(1)+++80.25×+ =+++×+π-2
=-π++(-2)2+×+π-2=++4=9.
(2)++lg 5·lg 2+(lg 5)2
=+lg 2+lg 5(lg 2+lg 5)
=+lg 2+lg 5
=4+1=5.
16.(15分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.
(1)若f(x)<0，求x的取值范围；(7分)
(2)当≤x≤8时， 求函数f(x)的值域.(8分)
解　(1)设t=log2x，x>0，t∈R，
所以f(x)=(log2x)2-log2x-2<0，
即t2-t-2<0，
解得-1所以-1(2)由(1)得，当≤x≤8时，t∈[-2，3]，
所以函数可转化为y=t2-t-2，t∈[-2，3]，
当t=时，y取最小值为-，
当t=-2或t=3时，y取最大值为4，
即当x=时，f(x)取最小值为f()=-，
当x=或x=8时，f(x)取最大值为f
=f(8)=4，
即函数f(x)的值域为.
17.(15分)若函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)+g(x)=21-x.
(1)求f(x)和g(x)的解析式；(5分)
(2)记h(x)=，
①判断h(x)的奇偶性，并用定义证明h(x)的单调性；(5分)
②若h(5+t2)+h(4t-2t2)<0成立，求实数t的取值范围.(5分)
解　(1)由f(x)+g(x)=21-x， ①
得f(-x)+g(-x)=21+x，
根据f(x)和g(x)的奇偶性，得-f(x)+g(x)=21+x， ②
由①和②，得f(x)=2-x-2x，g(x)=2-x+2x.
(2)①因为h(-x)===-h(x)，
则h(x)为奇函数，
又h(x)=====-1+，
任取x1，x2∈R，且x1有h(x1)-h(x2)=-=，
因为函数y=4x在R上单调递增，
所以>，
因此h(x1)-h(x2)>0，即h(x1)>h(x2)，
则h(x)在R上单调递减.
②因为h(5+t2)+h(4t-2t2)<0，
所以h(5+t2)<-h(4t-2t2)，
所以h(5+t2)因此5+t2>2t2-4t，
则t2-4t-5<0，解得-1所以实数t的取值范围是(-1，5).
18.(17分)有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60 km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位：W·h)与速度x(单位：km/h)的数据如表所示.
x 0 10 40 60
Q 0 1 420 4 480 6 720
为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种函数模型供选择：①Q1(x)=x3-2x2+cx；②Q2(x)=1-；③Q3(x)=300logax+b.
(1)当0≤x≤60时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数表达式；(7分)
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A中学行驶到B中学，其中国道上行驶50 km，高速上行驶300 km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足(1)中的函数表达式；在高速路上车速x(单位：km/h)满足x∈[80，120]，且每小时耗电量N(单位：W·h)与速度x(单位：km/h)的关系满足N(x)=2x2-10x+200(80≤x≤120).则当在国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，总耗电量最少为多少？(10分)
解　(1)对于③，Q3(x)=300logax+b，
当x=0时，无意义，故不符合题意；
对于②，Q2(x)=1-，
当x=10时，Q2(10)=1-，
又0<<=1，
∴Q2(10)=1-<1，故不符合题意，
故选①Q1(x)=x3-2x2+cx，
由表中的数据可得，×103-2×102+c×10=1 420，解得c=160，
∴Q(x)=x3-2x2+160x，0≤x≤60.
(2)在高速上行驶300 km，所用时间为 h，
则所耗电量为f(x)=·N(x)=·(2x2-10x+200)=600-3 000，x∈[80，120]，
由对勾函数的性质可知，f(x)在[80，120]上单调递增，
∴f(x)min=f(80)=600×-3 000=45 750(W·h)；
在国道上行驶50 km，所用时间为 h，
则所耗电量为g(x)=·Q(x)=·=x2-100x+8 000=(x-50)2+5 500，x∈(0，60]
∴g(x)min=g(50)=5 500(W·h)，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为80 km/h，在国道上的行驶速度为50 km/h时，
该车的总耗电量最少，最少为45 750+5 500=51 250(W·h).
19.(17分)已知函数f(x)=lo为奇函数.
(1)求常数k的值；(5分)
(2)当x>1时，判断f(x)的单调性；(6分)
(3)若函数g(x)=f(x)-+m在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围.(6分)
解　(1)由f(-x)=-f(x)，
即=-=，
所以=，化简得k2x2-1=x2-1，则k=±1，
当k=1时，=-1显然不成立，
经验证，k=-1符合题意.
所以k=-1.
(2)当x>1时，由(1)知f(x)=，设x1>x2>1，
则f(x1)-f(x2)=-==，
而x1x2-x1+x2-1所以f(x1)-f(x2)>0，故f(x)在(1，+∞)上单调递增.
(3)g(x)=-+m，
令g(x)=0，
所以m=-，由(2)知f(x)在[3，4]上单调递增，而y=在[3，4]上单调递减，
所以h(x)=-在[3，4]上单调递减，则h(x)∈.
又m=h(x)在区间[3，4]上无解，
故m∈∪.