6.3 洛伦兹力的应用 学案 (3)

6.3
洛伦兹力的应用
学案3
【学习目标】
极值问题
【学习重点】　
如何确定极值
【知识要点】　
带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
1、刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2、当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
3、注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
【典型例题】
1、求带电粒子在有界磁场中运动的速度
例1、如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为
PQ、MN，一个质量为m，带电量为-q的微粒子沿
图示方向以速度v0垂直射入磁场，磁感应强度为B，
要使粒子不能从边界MN射出，粒子的入射速度v0
的最大值是多大？
解析：为了使带电粒子入射时不从边界MN射
出，则有临界轨迹与MN相切，如图所示。设粒子
做圆周运动的轨道半径为R，则有Bqv0=m，由几何
关系得Rcos60°+R=d，解得入射粒子的最大速度v0=。
2、求带电粒子通过磁场的最大偏转角
例2、如图所示，r=10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标O处相切，磁感应强度B=0.332T，方向垂直纸面向外，在O
处有一放射源S，可沿纸面向各个方向射出速率均
为v=3.2×106m/s的粒子，已知ma=6.64×10-27kg，
q=3.2×10-19C，则粒子通过磁场最大偏转角等于多少？
解析：设粒子在洛伦兹力作用下的轨道为R，则有
Bqv=m，所以R=0.2m，在图中，虽然粒子进
入磁场的速度方向不同，但入射点及轨道半径是确定的，
若使粒子飞出磁场有最大偏转角，应使粒子在磁场走过
圆弧最长，或对应的弦最长。显然最大弦长为磁场圆的直径，如图所示，由几何关系得sin，所以最大偏转角等于2=60°。
【反思】
收获
疑问
【达标训练】　
例1
如图所示一带电质点，质量为m，电量为q，
以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一
象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计）。
解析：设带电质点在洛伦兹力作用下的
轨道半径为R，则qvB=m，由题意知，质点在
磁场区域中的轨道为半径R的圆周，该段圆弧应
与入射速度方向，出射速度的方向相切。过a点作
平行于x轴的直线，过b点做平行于y轴的直线，则与这两条直线相距均为R的点O′就是轨道圆的圆心，如图所示。显然MN两点既是轨道圆上的点，也是磁场圆上的点，所以MN是磁场圆的一条弦。在以MN为弦的所有圆中以MN为直径的圆最小。由几何关系得，最小圆的半径r=，磁场区域为图中的实线图。
例2
在真空中，半径r=3×10-2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感强度B=0.2T，一个带正电的粒子，以初速度v0=106m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷108C/kg，不计粒子重力，求：
（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径是多少？
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射
时v0方向与ab的夹角及粒子的最大偏转角。
解析：（1）粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力充当圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有：
=5×10-2m。
（2）粒子在圆形磁场区域轨迹为一段半径R=5cm的圆弧，要使偏转角最大，就要求这段圆弧对应的弧最长，即为场区的直径，粒子运动轨迹的圆心O′在ab弦中垂线上，如图所示。
由几何关系可知：
37°
而最大偏转角
正确答案：R=5×10-2m
=37°
=74°
【达标训练】　
如图所示，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电荷量为q的正离子，速率都是v，对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能达到的最大x=
。最大y=
。
如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域
内具有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，
只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状
磁场的内半径R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚的带电粒子的荷质比为4×107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
解析：（1）若粒子沿半径方向射入磁场，设运行半径为r，由qvB=得v=，由此可见要使速度最大，只需半径最大即可。
当运动轨迹恰好与外圆相切时（如图所示）
半径最大，由图中的几何关系得
R12+r2=(R2-r)2
联立上面的速度表达式并代入数据可得v=1.5×107m/s。
此速度即为沿环状半径方向射入的粒子不能穿越磁场的最大速度。
（2）粒子沿内圆切线方向射入磁场，轨迹与外圆相切，此时
轨迹半径r′最短（如图所示），则有
要使所有粒子都不能穿越磁场区域，必须满足
代入数据得×107m/s，即为所有粒子都不能穿越磁场的最大速度。
方法指导：带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
（2）当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长
（3）注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿经向射入的粒子，必沿径向射出。
如图所示一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角30°，大小为v 0 的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，重力影响不计。
（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围。
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
解析：（1）找临界轨迹如图，因入射方向确定，圆心定都在一条线上，轨迹与ab边相切时，圆心为O1，R1=-R1cos60°，得R1=，轨迹与cd边相切时，圆心为O2
由几何知识得：
R2=
又：R=，得：v0=
故范围：
（2）经分析由ad边射出的粒子时间相等且最长
T=
圆心角=360°-60°=300°
所以t=
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a
b
c
d
O
30°
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