第6章 习题课　安培力的综合应用 学案

第2讲　习题课　安培力的综合应用
[目标定位]　1.知道安培力的概念，会用左手定则判定安培力的方向.2.理解并熟练应用安培力的计算公式F＝ILBsinθ.3.会用左手定则分析解决通电导体在磁场中的受力及平衡类问题．
1．通电导线周围的磁感线的方向可以根据安培定则(也叫右手螺旋定则)判断．
2．安培力
(1)大小：①磁场和电流垂直时，F＝ILB；
②磁场和电流平行时：F＝0；
③磁场和电流的夹角为θ时：F＝ILBsin_θ，其中L为通电导线垂直磁场的有效长度．
(2)方向：用左手定则判定，其特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B和I决定的平面．
一、安培力作用下物体运动方向的判断方法
通电导体在磁场中的运动实质是在磁场对电流的安培力作用下导体的运动．
1．电流元法
即把整段电流等效为多段直线电流元，运用左手定则判断出每小段电流元受安培力的方向，从而判断出整段电流所受合力的方向．
2．特殊位置法
把电流或磁铁转到一个便于分析的特殊位置后再判断所受安培力方向，从而确定运动方向．
3．等效法
环形电流和通电螺线管都可以等效成条形磁铁．条形磁铁也可等效成环形电流或通电螺线管．通电螺线管也可以等效成很多匝的环形电流来分析．
4．利用结论法
(1)两电流相互平行时无转动趋势，同向电流相互吸引，反向电流相互排斥；
(2)两电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向相同的趋势．
5．转换研究对象法
因为电流之间，电流与磁体之间的相互作用满足牛顿第三定律．定性分析磁体在电流磁场作用的受力和运动时，可先分析电流在磁体的磁场中受到的安培力，然后由牛顿第三定律，再确定磁体所受电流的作用力．
例1　如图1所示，两条导线相互垂直，但相隔一段距离．其中AB固定，CD能自由活动，当直线电流按图示方向通入两条导线时，导线CD将(从纸外向纸里看)(　　)
图1
A．顺时针方向转动同时靠近导线AB
B．逆时针方向转动同时离开导线AB
C．顺时针方向转动同时离开导线AB
D．逆时针方向转动同时靠近导线AB
答案　D
解析　根据电流元分析法，把电流CD等效成CO、OD两段电流．由安培定则画出CO、OD所在位置的AB电流的磁场，由左手定则可判断CO、OD受力如图甲所示，可见导线CD逆时针转动．
　
由特殊位置分析法，让CD逆时针转动90°，如图乙，并画出CD此时位置，AB电流的磁感线分布，据左手定则可判断CD受力垂直于纸面向里，可见导线CD靠近导线AB.
借题发挥　电流在非匀强磁场中受力运动的判断：不管是电流还是磁体，对通电导线的作用都是通过磁场来实现的，因此必须要清楚导线所在位置的磁场分布情况，然后结合左手定则准确判断导线的受力情况或将要发生的运动．
例2　如图2所示，把轻质导线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直线圈平面．当线圈内通以图示方向的电流后，线圈的运动情况是(　　)
图2
A．线圈向左运动
B．线圈向右运动
C．从上往下看顺时针转动
D．从上往下看逆时针转动
答案　A
解析　解法一　电流元法．
首先将圆形线圈分成很多小段，每一小段可看作一直线电流元，
取其中上、下两小段分析，其截面图和受安培力情况如图甲所示．根据对称性可知，线圈所受安培力的合力水平向左，故线圈向左运动．只有选项A正确．
甲
解法二　等效法．
将环形电流等效成小磁针，如
图乙所示，根据异名磁极相吸引知，线圈将向左运动，选A.也可将左侧条形磁铁等效成环形电流，根据结论“同向电流相吸引，异向电流相排斥”也可判断出线圈向左运动，选A.
乙
二、安培力作用下的导线的平衡
1．解决安培力作用下的平衡与解一般物体平衡方法类似，只是多画出一个安培力．
一般解题步骤为：
(1)明确研究对象．
(2)先把立体图改画成平面图，并将题中的角度、电流的方向、磁场的方向标注在图上．
(3)根据平衡条件：F合＝0列方程求解．
2．分析求解安培力时注意的问题
(1)首先画出通电导线所在处的磁感线的方向，再根据左手定则判断安培力方向．
(2)安培力的大小与导线放置的角度有关，但一般情况下只要求导线与磁场垂直的情况，其中L为导线垂直于磁场方向的长度为有效长度．
例3　如图3所示，质量m＝0.1kg的导体棒静止于倾角θ为30°的斜面上，导体棒长度L＝0.5m．通入垂直纸面向里的电流，电流大小I＝2A，整个装置处于磁感应强度B＝0.5T，方向竖直向上的匀强磁场中．求：(取g＝10m/s2)
图3
(1)导体棒所受安培力的大小和方向；
(2)导体棒所受静摩擦力的大小和方向．
答案　(1)0.5N　水平向右　(2)0.067N　沿斜面向上
解析　解决此题的关键是分析导体棒的受力情况，明确各力的方向和大小．
(1)安培力F安＝ILB＝2×0.5×0.5N＝0.5N，
由左手定则可知安培力的方向水平向右．
(2)建立如图所示坐标系，分解重力和安培力．在x轴方向上，设导体棒受的静摩擦力大小为f，方向沿斜面向下．
在x轴方向上有：
mgsinθ＋f＝F安cosθ，
解得f＝－0.067N.
负号说明静摩擦力的方向与假设的方向相反，即沿斜面向上．
三、安培力和牛顿第二定律的结合
解决安培力作用下的力学综合问题，首先做好全面受力分析是前提，无非就是多了一个安培力，其次要根据题设条件明确运动状态，再恰当选取物理规律列方程求解．
例4　如图4所示，光滑的平行导轨倾角为θ，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨中接入电动势为E、内阻为r的直流电源．电路中有一阻值为R的电阻，其余电阻不计，将质量为m、长度为L的导体棒由静止释放，求导体棒在释放瞬间的加速度的大小．
图4
答案　gsinθ－
解析　受力分析如图所示，导体棒受重力mg、支持力N和安培力F，
由牛顿第二定律：
mgsinθ－Fcosθ＝ma①
F＝ILB②
I＝③
由①②③式可得
a＝gsinθ－.
安培力作用下导体的运动
1．两个相同的轻质铝环能在一个光滑的绝缘圆柱体上自由移动，设大小不同的电流按如图5所示的方向通入两铝环，则两环的运动情况是
(　　)
图5
A．都绕圆柱体转动
B．彼此相向运动，且具有大小相等的加速度
C．彼此相向运动，电流大的加速度大
D．彼此背向运动，电流大的加速度大
答案　B
安培力作用下导体的平衡
2．如图6所示，在倾角为α的光滑斜面上，放置一根长为L，质量为m，通过电流为I的导线，若使导线静止，应该在斜面上施加匀强磁场B的大小和方向为(　　)
图6
A．B＝，方向垂直于斜面向下
B．B＝，方向垂直于斜面向上
C．B＝，方向竖直向下
D．B＝，方向水平向右
答案　AC
解析　根据电流方向和所给定磁场方向的关系，可以确定通电导线所受安培力分别如图所示．
又因为导线还受重力mg和支持力N，根据力的平衡知，只有A、C两种情况是可能的，其中A中F＝mgsinα，则B＝，C中F＝mgtanα，B＝.
安培力和牛顿第二定律的结合
3．澳大利亚国立大学制成了能把2.2g的弹体(包括金属杆EF的质量)从静止加速到10km/s的电磁炮(常规炮弹的速度约为2
km/s)．如图7所示，若轨道宽为2m，长为100m，通过的电流为10A，试求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度的大小．(轨道摩擦不计)
图7
答案　55T
解析　由运动学公式求出加速度a，由牛顿第二定律和安培力公式联立求出B.
根据2as＝v－v得炮弹的加速度大小为a＝＝m/s2＝5×105
m/s2.
根据牛顿第二定律F＝ma得炮弹所受的安培力F＝ma＝2.2×10－3×5×105N＝1.1×103N，
而F＝IlB，所以B＝＝T＝55T.
题组一　安培力作用下物体的运动方向
1．把一根柔软的螺旋形弹簧竖直悬挂起来，使它的下端刚好跟杯里的水银面相接触，并使它组成如图1所示的电路图．当开关S接通后，将看到的现象是(　　)
图1
A．弹簧向上收缩
B．弹簧被拉长
C．弹簧上下跳动
D．弹簧仍静止不动
答案　C
解析　因为通电后，弹簧线圈中每一圈之间的电流是同向的，互相吸引，弹簧线圈就缩短，电路就断开了，一断开没电流了，弹簧线圈就又掉下来接通电路……如此接通断开接通断开，就上下跳动．
2．通有电流的导线L1、L2处在同一平面(纸面)内，L1是固定的，L2可绕垂直纸面的固定转轴O转动(O为L2的中心)，各自的电流方向如图2所示．下列哪种情况将会发生(　　)
图2
A．因L2不受磁场力的作用，故L2不动
B．因L2上、下两部分所受的磁场力平衡，故L2不动
C．L2绕轴O按顺时针方向转动
D．L2绕轴O按逆时针方向转动
答案　D
解析　由右手螺旋定则可知导线L1上方的磁场的方向为垂直纸面向外，且离导线L1的距离越远的地方，磁场越弱，导线L2上的每一小部分受到的安培力方向水平向右，由于O点的下方磁场较强，则安培力较大，因此L2绕轴O按逆时针方向转动，D选项对．
3．一个可以自由运动的线圈L1和一个固定的线圈L2互相绝缘垂直放置，且两个线圈的圆心重合，当两线圈通以如图3所示的电流时，从左向右看，则线圈L1将(　　)
图3
A．不动　　　
B．顺时针转动
C．逆时针转动　　　
D．向纸面内平动
答案　B
解析　法一　利用结论法．
环形电流L1、L2之间不平行，则必有相对转动，直到两环形电流同向平行为止，据此可得L1的转动方向应是：从左向右看线圈L1顺时针转动．故正确答案为B.
法二　等效分析法．
把线圈L1等效为小磁针，该小磁针刚好处于环形电流I2的中心，通电后，小磁针的N极应指向该点环形电流I2的磁场方向，由安培定则知I2产生的磁场方向在其中心竖直向上，而L1等效成小磁针后转动前，N极应指向纸里，因此应由向纸里转为向上，所以从左向右看，线圈L1顺时针转动．故正确答案为B.
法三　直线电流元法．
把线圈L1沿转动轴分成上下两部分，每一部分又可以看成无数直线电流元，电流元处在L2产生的磁场中，据安培定则可知各电流元所在处磁场方向向上，据左手定则可得，上部电流元所受安培力均指向纸外，下部电流元所受安培力均指向纸里，因此从左向右看线圈L1顺时针转动．故正确答案为B.
4.一直导线平行于通电螺线管的轴线放置在螺线管的上方，如图4所示，如果直导线可以自由地运动且通以方向为由a到b的电流，则导线ab受安培力作用后的运动情况为(　　)
图4
A．从上向下看顺时针转动并靠近螺线管
B．从上向下看顺时针转动并远离螺线管
C．从上向下看逆时针转动并远离螺线管
D．从上向下看逆时针转动并靠近螺线管
答案　D
解析　本题考查安培定则以及左手定则，意在考查学生对安培定则以及左手定则的应用的理解，先由安培定则判断通电螺线管的南北两极，找出导线左右两端磁感应强度的方向，并用左手定则判断这两端受到的安培力的方向，如图(a)所示．可以判断导线受安培力后从上向下看是逆时针方向转动，再分析导线转过90°位置的磁场方向，再次用左手定则判断导线受安培力的方向，如图(b)所示，导线还要靠近螺线管，所以D正确，A、B、C错误．
题组二　通电导线在磁场中的平衡和加速
5．质量为m的如图5所示的条形磁铁放在水平面上，在它的上方偏右处有一根固定的垂直纸面的直导线，当直导线中通以图示方向的电流时，磁铁仍保持静止．下列结论正确的是(　　)
图5
A．磁铁对水平面的压力减小
B．磁铁对水平面的压力增大
C．磁铁对水平面施加向左的静摩擦力
D．磁铁所受的合外力增加
答案　BC
6．质量为m的通电细杆ab置于倾角为θ的导轨上，导轨的宽度为d，杆ab与导轨间的摩擦因数为μ.有电流时，ab恰好在导轨上静止，如图6所示．选项中是它的四个侧视图，标出了四种可能的匀强磁场方向，其中杆ab与导轨之间的摩擦力可能为零的图是(　　)
图6
答案　AB
解析　选项A中，通电细杆可能受重力、安培力、导轨的弹力作用处于静止状态，如图所示，所以杆与导轨间的摩擦力可能为零．当安培力变大或变小时，细杆有上滑或下滑的趋势，于是有静摩擦力产生．
选项B中，通电细杆可能受重力、安培力作用处于静止状态，如图所示，所以杆与导轨间的摩擦力可能为零．当安培力减小时，细杆受到导轨的弹力和沿导轨向上的静摩擦力，也可能处于静止状态．
选项C和D中，通电细杆受重力、安培力、导轨弹力作用具有下滑趋势，故一定受到沿导轨向上的静摩擦力，如图所示，所以杆与导轨间的摩擦力一定不为零．
7．如图7所示，金属棒MN两端由等长的轻质细线水平悬挂，处于竖直向上的匀强磁场中，棒中通以由M向N的电流，平衡时两悬线与竖直方向夹角均为θ，如果仅改变下列某一个条件，θ角的相应变化情况是(　　)
图7
A．棒中的电流变大，θ角变大
B．两悬线等长变短，θ角变小
C．金属棒质量变大，θ角变大
D．磁感应强度变大，θ角变小
答案　A
8．如图8所示，挂在天平底部的矩形线圈abcd的一部分悬在匀强磁场中，当给矩形线圈通入如图所示的电流I时，调节两盘中的砝码，使天平平衡．然后使电流I反向，这时要在天平的左盘上加质量为2×10－2kg的砝码，才能使天平重新平衡．求磁场对bc边作用力的大小．若已知矩形线圈共10匝，通入的电流I＝0.1A，bc边长度为10cm，求该磁场的磁感应强度的大小．(g取10m/s2)
图8
答案　0.1N　1T
解析　根据F＝IlB可知，电流反向前后，磁场对bc边的作用力大小相等，设为F，但由左手定则可知它们的方向是相反的．电流反向前，磁场对bc边的作用力向上，电流反向后，磁场对bc边的作用力向下．因而有2F＝2×10－2×10N＝0.2N，所以F＝0.1N，即磁场对bc边的作用力大小是0.1N．因为磁场对电流的作用力F＝NIlB，故B＝＝T＝1T.
9．如图9所示，光滑导轨与水平面成θ角，导轨宽度为L，匀强磁场的方向垂直于导轨平面向上(未画出)，金属杆的质量为m，长为L，水平放置在导轨上．已知电源的电动势为E，内阻为r，调节滑动变阻器使回路的总电流为I1，此时金属杆恰好处于静止状态(重力加速度为g，金属杆与导轨电阻不计)．求：
图9
(1)磁感应强度B的大小；
(2)若保持磁感应强度的大小不变，而将磁场方向改为竖直向上，则滑动变阻器接入电路的阻值调到多大才能使金属杆保持静止．
答案　(1)　(2)－r
解析　(1)在侧视图中，导体棒受力如图(a)所示，由平衡条件得
mgsinθ＝I1LB
解得B＝.
(2)导体棒受力如图(b)所示，由平衡条件得
mgsinθ＝BI2Lcosθ
I2＝
又B＝
解得R＝－r.
10．如图10所示，水平放置的两导轨P、Q间的距离L＝0.5m，垂直于导轨平面的竖直向上的匀强磁场的磁感应强度B＝2T，垂直于导轨放置的ab棒的质量m＝1kg，系在ab棒中点的水平绳跨过定滑轮与重量G＝3N的物块相连．已知ab棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2，电源的电动势E＝10V、内阻r＝0.1Ω，导轨的电阻及ab棒的电阻均不计．要想ab棒处于静止状态，R应在哪个范围内取值？(g取10m/s2)
图10
答案　1.9Ω≤R≤9.9Ω
解析　依据物体的平衡条件可得，
ab棒恰不右滑时：
G－μmg－I1LB＝0
ab棒恰不左滑时：
G＋μmg－I1LB＝0
依据闭合电路欧姆定律可得：
E＝I1(R1＋r)　E＝I2(R2＋r)
由以上各式代入数据可解得：R1＝9.9Ω，R2＝1.9Ω
所以R的取值范围为：
1．9Ω≤R≤9.9Ω.
11．如图11所示，在同一水平面的两导轨相互平行，并处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为0.2T，一根质量为0.6kg，有效长度为2m的金属棒ab放在导轨上，当金属棒中的电流为5A时，金属棒做匀速直线运动；当金属棒中的电流突然增大为8A时，求金属棒能获得的加速度的大小．
图11
答案　2m/s2
解析　设金属棒受到的滑动摩擦力为f.
当金属棒中的电流为5A时，金属棒做匀速直线运动，有I1lB＝f①
当金属棒中的电流为8A时，金属棒能获得的加速度为a，则I1lB－f＝ma②
联立①②解得a＝＝2m/s2.