3．动量守恒定律
[学习目标] 1．了解系统、内力和外力的概念。2．理解动量守恒定律的内容、表达式，掌握动量守恒定律的推导过程。3．掌握系统内动量守恒的条件。4．体会应用动量守恒定律分析实际问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
知识点一 系统、内力、外力
1．系统：两个或两个以上的物体组成的整体。
2．内力：系统中物体间的相互作用力。
3．外力：系统以外的物体对系统的作用力。
如图所示，大人和小孩在冰面上游戏，小孩用力推大人。以大人和小孩组成的系统，涉及重力、推力、摩擦力、支持力作用，这些力哪些是外力？哪些是内力？
提示：重力、 摩擦力、支持力是外力；推力是内力。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)某个力是内力还是外力是相对的，与系统的选取有关。 (√)
(2)在相互作用的系统内，内力冲量为零，外力冲量不为零。 (×)
知识点二 动量守恒定律
1．内容
如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。
2．表达式
对两个物体组成的系统，常写成：p1＋p2＝p1′＋p2′或m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。
3．适用条件
系统不受外力或者所受外力的矢量和为零。
4．动量守恒定律的普适性：既适用于一维情况，也适用于多维情况；既适用于宏观系统，也适用于微观系统。
如图所示，在风平浪静的水面上，停着一艘帆船，船尾固定一台电风扇，正在不停地把风吹向帆面，船能向前行驶吗？为什么？
提示：把帆船和电风扇看作一个系统，电风扇和帆船受到空气的作用力大小相等、方向相反，这是一对内力，系统总动量守恒，船原来是静止的，总动量为零，所以在电风扇吹风时，船仍保持静止。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)只要合外力对系统做功为零，系统动量就守恒。 (×)
(2)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零。 (√)
(3)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒。 (×)
(4)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。 (×)
3．填空
如图所示，游乐场上，两位同学各驾驶一辆碰碰车迎面相撞，此后，两车以共同的速度运动。设甲同学和他的车的总质量为120 kg，碰撞前水平向右运动，速度的大小为5 m/s；乙同学和他的车的总质量为180 kg，碰撞前水平向左运动，速度的大小为4 m/s。则碰撞后两车共同的运动速度大小为________，方向________。
碰碰车的碰撞示意图
[解析] 以碰撞前甲的速度为正方向，设碰撞后两车的共同速度为v，则系统碰撞前的总动量为
p＝m1v1＋m2v2＝－120 kg·m/s。
碰撞后的总动量为p′＝(m1＋m2)v。
根据动量守恒定律可知p＝p′，
代入数据解得v＝－0.4 m/s，
即碰撞后两车以0.4 m/s的共同速度运动，运动方向水平向左。
[答案] 0.4 m/s 向左
1666年在英国皇家学会的例会上有人表演了如下实验：用两根细绳竖直悬挂两个质量相等的钢球A和B，静止时两球恰好互相接触靠在一起，使A球偏开一角度后放下，撞击B球，B球将上升到A球原来的高度，而A球则静止，然后B球落下又撞击A球，B球静止，A球又几乎升到原来的高度，以后两球交替往复多次。你知道其中的规律吗？
提示：当时许多科学家对此百思不得其解，1668年，英国皇家学会对这一现象悬赏征答，解开了这一神秘现象的面纱，即在整个相互作用过程中有一个量(系统动量)恒定不变。
考点1 对动量守恒定律及守恒条件的理解
1．对动量守恒定律的理解
(1)研究对象：两个或两个以上相互作用的物体组成的系统。
(2)对系统“总动量保持不变”的理解。
①系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。
②系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化。
③系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。
2．动量守恒定律的“五性”
五性 具体内容
系统性 研究对象是相互作用的两个(或多个)物体组成的系统
相对性 应用时，系统中各物体在相互作用前后的动量，必须相对于同一惯性系，通常以大地为参考系
瞬时性 公式中，p1、p2…必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p1′、p2′…必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量，不同时刻的动量不能相加
矢量性 对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反的为负值
普适性 动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，而且适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统
3．动量守恒条件
(1)理想条件：系统不受外力时，动量守恒。
(2)实际条件：系统所受外力的矢量和为零时，动量守恒。
(3)近似条件：系统受外力，但外力远小于内力，则系统总动量近似守恒。
(4)推广条件：系统受力不符合以上三条中的任一条，则系统的总动量不守恒，但是，若系统在某一方向上符合以上三条中的某一条，则系统在该方向上动量守恒。
【典例1】 如图所示，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板有摩擦。用力向右推动车厢，使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
B [撤去推力，系统所受合外力为0，动量守恒，滑块和小车之间有滑动摩擦力，由于摩擦生热，故系统机械能减少，B正确。]
系统动量是否守恒的判定方法
(1)选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
(2)分析系统受到的外力矢量和是否为零，若外力矢量和为零，则系统动量守恒。
(3)若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化。
(4)多个物体情况下，选取不同的物体组成系统，会得出不同的结论。
[跟进训练]
1．如图所示，光滑水平面上静止着一辆质量为M的小车，小车上有一光滑的、半径为R的圆弧轨道。现有一质量为m的光滑小球从轨道的上端由静止开始释放，下列说法不正确的是( )
A．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒
B．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统总动量不守恒
C．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统在水平方向上动量守恒
D．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统机械能守恒
A [小车和小球在水平方向上的合力为零，此方向上动量守恒，总的合力不为零，所以总的动量不守恒；小球下滑过程中，系统只存在重力做功，小车和小球组成的系统机械能守恒，选项B、C、D正确，A错误。]
考点2 动量守恒定律的应用
1．动量守恒常见的表达式
(1)p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零。
2．应用动量守恒定律的解题步骤
【典例2】 [链接教材P14例题1]如图所示，甲车质量m1＝20 kg，车上有质量M＝50 kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围内才能避免两车相撞？(不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长，g取10 m/s2)
甲 乙
思路点拨：(1)人、甲车、乙车组成的系统水平动量守恒。
(2)人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞。
[解析] 以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，以向右为正方向，由水平方向动量守恒得
(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′，
解得v′＝1 m/s。
以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，设人跳离甲车时速度为u，则有
(m1＋M)v＝m1v′＋Mu，
解得u＝3.8 m/s，
因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8 m/s，
就可避免两车相撞。
[答案] 大于等于3.8 m/s
[母题变式]
在[典例2]中，当人跳出甲车的水平速度(相对地面)为多少时才能使甲车静止？此时乙车的速度是多少？
[解析] 人跳到乙车上后，甲车的速度等于零时，以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，设人与乙的共同速度为v′，由水平方向动量守恒得
(m1＋M)v－m2v0＝(m2＋M)v′，
解得v′＝1.2 m/s。
以人与甲车组成的系统为研究对象，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，设人跳离甲车的速度为u，则有
(m1＋M)v＝Mu，
解得u＝4.2 m/s。
[答案] 4.2 m/s 1.2 m/s
处理动量守恒问题的步骤
(1)分析题目涉及的物理过程，选择合适的系统、过程，这是正确解决此类题目的关键。
(2)判断所选定的系统、过程是否满足动量守恒的条件。
(3)确定物理过程及其系统内物体对应的初、末状态的动量。
(4)确定正方向，选取恰当的动量守恒的表达式求解。
【教材原题P14例题1】 如图1.3-3，在列车编组站里，一辆质量为1.8×104 kg的货车在平直轨道上以2 m/s的速度运动，碰上一辆质量为2.2×104 kg的静止的货车，它们碰撞后结合在一起继续运动。求货车碰撞后运动的速度。
分析 两辆货车在碰撞过程中发生相互作用，将它们看成一个系统，这个系统是我们的研究对象。系统所受的外力有：重力、地面支持力和摩擦力。重力与支持力之和等于0，摩擦力远小于系统的内力，可以忽略。因此，可以认为碰撞过程中系统所受外力的矢量和为0，动量守恒。
为了应用动量守恒定律解决这个问题，需要确定碰撞前后的动量。
解 已知m1＝1.8×104 kg，m2＝2.2×104 kg。沿碰撞前货车运动的方向建立坐标轴(图1.3-3)，有v1＝2 m/s。设两车结合后的速度为v。两车碰撞前的总动量为
p＝m1v1
碰撞后的总动量为
p′＝(m1＋m2)v
根据动量守恒定律可得
(m1＋m2)v＝m1v1
解出
v＝＝ m/s＝0.9 m/s
两车结合后速度的大小是0.9 m/s；v是正值，表示两车结合后仍然沿坐标轴的方向运动，即仍然向右运动。
[跟进训练]
2．如图所示，质量为mB的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一质量为mA的物体A，一颗质量为m0的子弹以初速度v0水平射入物体A，射穿A后速度变为v，子弹穿过物体A的时间极短。已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止。求：
(1)子弹射穿物体A的瞬间物体A的速度vA；
(2)平板车B和物体A的最终速度v共(设车身足够长)。
[解析] (1)子弹穿过物体A的过程中，外力远小于内力，子弹和物体A组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得
m0v0＝m0v＋mAvA，
解得vA＝。
(2)在子弹穿过物体A后，对物体A和平板车B，以A的速度方向为正方向，由动量守恒定律得
mAvA＝(mA＋mB)v共，
解得v共＝。
[答案] (1) (2)
1．关于动量守恒的条件，下面说法不正确的是( )
A．只要系统内有摩擦力，动量就不可能守恒
B．只要系统所受合外力为零，系统动量就守恒
C．系统加速度为零，系统动量一定守恒
D．虽然系统所受合外力不为零，但系统在某一方向上动量可能守恒
A [动量守恒的条件是系统所受合外力为零，与系统内有无摩擦力无关，选项A错误，B正确；系统加速度为零时，根据牛顿第二定律可得系统所受合外力为零，所以此时系统动量守恒，选项C正确；系统所受合外力不为零时，在某方向上所受合外力可能为零，此时在该方向上系统动量守恒，选项D正确。]
2．一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，木块A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹射入木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法正确的是( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
C [动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力的合力为零，本题中子弹、两木块、弹簧组成的系统，水平方向上不受外力，竖直方向上所受外力的合力为零，所以动量守恒。机械能守恒的条件是除重力、弹力对系统做功外，其他力对系统不做功，本题中子弹射入木块过程中克服摩擦力做功，有部分机械能转化为内能(发热)，所以系统的机械能不守恒，故C正确，A、B、D错误。]
3．质量为2 kg的小车以2.0 m/s的速度沿光滑的水平面向右运动。若将质量为0.5 kg的沙袋以3.0 m/s 的水平速度迎面扔上小车，则沙袋与小车一起运动的速度大小和方向是( )
A．1.0 m/s 向右 B．1.0 m/s 向左
C．2.2 m/s 向右 D．2.2 m/s 向左
A [设小车质量为m1，小车速度为v1，沙袋质量为m2，沙袋速度为v2，共同速度为v共，由动量守恒定律得m1v1－m2v2＝(m1＋m2)v共，解得v共＝1.0 m/s，方向与v1方向相同向右，选项A正确。]
4．(新情境题，以交通安全为背景，考查动量守恒的应用)冬季雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车尾随另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞，如图甲、乙所示)。若追尾前瞬间货车速度大小为36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，刚追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
甲 乙
[解析] 设货车质量为m1，轿车质量为m2，碰撞前货车速度为v1，轿车速度为v2，碰撞后两车速度为v。选定两车碰撞前的速度方向为正方向。
由题意可知，m1＝1.8×103 kg，m2＝1.2×103 kg，v1＝36 km/h，v2＝18 km/h。
由动量守恒定律得
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，
解得v＝
＝ km/h＝28.8 km/h，
所以，刚追尾后两车的速度大小为28.8 km/h。
[答案] 28.8 km/h
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的研究对象是什么？
提示：相互作用的系统。
2．合外力对系统做功为零，系统动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
3．一个系统初、末动量大小相等，动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
课时分层作业(三) 动量守恒定律
?题组一 动量守恒的判断
1．下列四幅图所反映的物理过程中，动量守恒的是( )
A B
C D
C [A图中子弹和木块组成的系统在水平方向上受外力，该系统动量不守恒；B图中在弹簧恢复原长的过程中，系统在水平方向上始终受墙的作用力，系统动量不守恒；C图中木球与铁球组成的系统所受合力为零，系统动量守恒；D图中木块下滑过程中，斜面体始终受到挡板的作用力，系统动量不守恒。]
2．如图所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，木块C(可视为质点)以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在木块B的右端。对此过程，下列叙述错误的是( )
A．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
B．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C三木块组成的系统动量都守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量守恒
A [当C在A上滑行时，对A、C组成的系统，B对A的作用力为外力，不等于0，系统动量不守恒，故选项A错误；当C在B上滑行时，A、B已分离，对B、C组成的系统，合外力为零，系统动量守恒，故选项B正确；若将A、B、C三木块视为一个系统，则所受合外力始终为零，系统动量守恒，故选项C、D正确。]
3．如图所示，A、B两物体的质量关系为mA>mB，A、B之间用一段细绳相连并有一被压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动过程中( )
A．若A、B与C之间的动摩擦因数相同，则A、B组成的系统动量守恒，A、B、C组成的系统动量也守恒
B．若A、B与C之间的摩擦力大小不相同，则A、B组成的系统动量不守恒，A、B、C组成的系统动量也不守恒
C．若A、B与C之间的摩擦力大小不相同，则A、B组成的系统动量不守恒，但A、B、C组成的系统动量守恒
D．以上说法均不对
C [当A、B两物体组成一个系统时，弹簧的弹力为内力，而A、B与C之间的摩擦力为外力。当A、B与C之间的摩擦力等大、反向时，A、B组成的系统所受合外力为零，则A、B组成的系统动量守恒。当A、B与C之间的摩擦力大小不相等时，A、B组成的系统所受合外力不为零，则A、B组成的系统动量不守恒。而对于A、B、C组成的系统，由于弹簧的弹力及A、B与C之间的摩擦力均为内力，故不论A、B与C之间的摩擦力的大小是否相等，A、B、C组成的系统所受合外力均为零，故A、B、C组成的系统动量守恒，故C正确，A、B、D错误。]
?题组二 动量守恒定律的应用
4．光滑水平桌面上有P、Q两个物块，Q的质量是P的n倍。将一轻弹簧置于P、Q之间，用外力缓慢压P、Q。撤去外力后，P、Q开始运动，P和Q的动量大小的比值为( )
A．n2 B．n
C． D．1
D [撤去外力后，系统所受外力之和为0，所以总动量守恒，设P的动量方向为正方向，则有pP－pQ＝0，故pP＝pQ，因此P和Q的动量大小的比值为1，选项D正确。]
5．如图所示，质量为m＝0.5 kg的小球在距离车底部一定高度处以初速度v0＝15 m/s向左平抛，落在以v＝7.5 m/s 的速度沿光滑水平面向右匀速行驶的小车中，小车足够长，质量为M＝4 kg，g取10 m/s2，则当小球与小车相对静止时，小车的速度大小是( )
A．4 m/s B．5 m/s
C．8.5 m/s D．9.5 m/s
B [小球和小车在水平方向上动量守恒，取向右为正方向，有Mv－mv0＝(M＋m)v′，解得v′＝5 m/s。]
6．质量为M的小孩站在质量为m的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板与地面间的摩擦。小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为v，此时滑板的速度大小为( )
A．v B．v
C．v D．v
B [设滑板的速度为v′，对小孩和滑板组成的系统，以小孩离开滑板时的速度方向为正方向，由动量守恒定律有0＝Mv＋mv′，解得v′＝－，即滑板的速度大小为，方向与v的方向相反，选项B正确。]
7．如图所示，我国自行研制的“歼-15”战斗机挂弹飞行时，接到命令，进行导弹发射训练，当战斗机水平飞行的速度为v0时，将总质量为M的导弹释放，刚释放时，导弹向战斗机飞行的反方向喷出对地速率为v1、质量为m的燃气，则喷气后导弹相对地面的速率v为( )
A． B．
C． D．
D [以导弹飞行的方向为正方向，导弹被战斗机释放后导弹喷出燃气前后瞬间，根据动量守恒定律得Mv0＝(M－m)v－mv1，解得v＝，选项D正确。]
?题组三 动量守恒定律的临界问题
8．水平冰面上有一固定的竖直挡板。一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为( )
A．48 kg B．50 kg C．58 kg D．63 kg
C [选运动员退行速度方向为正方向，设运动员的质量为M，物块的质量为m，物块被推出时的速度大小为v0，运动员第一次推出物块后的退行速度大小为v1。根据动量守恒定律，运动员第一次推出物块时有0＝Mv1－mv0，物块与挡板发生弹性碰撞，以等大的速率反弹；第二次推出物块时有Mv1＋mv0＝Mv2－mv0，依此类推，Mv2＋mv0＝Mv3－mv0，…，Mv7＋mv0＝Mv8－mv0，又运动员的退行速度v8＞v0，v7＜v0，解得13m9．算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零。如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔s1＝3.5×10-2 m，乙与边框a相隔s2＝2.0×10-2 m，算珠与导杆间的动摩擦因数μ＝0.1。现用手指将甲以0.4 m/s的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1 m/s，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取10 m/s2。
(1)通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a；
(2)求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
[解析] (1)甲算珠从被拨出到与乙算珠碰撞前，做匀减速直线运动，则
加速度大小a1＝＝1 m/s2。
设甲算珠与乙算珠碰撞前瞬间的速度为v1，则
＝2a1s1。
解得v1＝0.3 m/s。
甲、乙两算珠碰撞时，由题意可知碰撞过程中动量守恒，取甲算珠初速度方向为正方向，
则有mv1＝mv1′＋mv乙，其中v1′＝0.1 m/s，
解得碰撞后乙算珠的速度v乙＝0.2 m/s。
碰撞后，乙算珠做匀减速直线运动，加速度大小
a2＝＝1 m/s2。
设乙算珠能运动的最远距离为x，
则x＝＝0.02 m。
由于x＝s2，
所以乙算珠能够滑动到边框a。
(2)甲算珠从拨出到与乙算珠碰撞所用时间
t1＝＝0.1 s。
碰撞后甲算珠继续做匀减速直线运动直到停止，所用时间
t2＝＝0.1 s。
所以甲算珠从拨出到停下所需的时间
t＝t1＋t2＝0.2 s。
[答案] (1)能，计算过程见解析 (2)0.2 s
10．如图所示，质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹角为θ。一个质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上以初速度v0开始运动，当小物块沿斜面向上运动到最高点时，速度大小为v，距地面的高度为h。则下列关系式中正确的是( )
A．mv0＝(m＋M)v
B．mv0cos θ＝(m＋M)v
C．mgh＝m(v0sin θ)2
D．mgh＋(m＋M)v2＝m(v0cos θ)2
B [小物块上升到最高点时，速度与楔形物体的速度相同，系统水平方向动量守恒，全过程机械能守恒。以向右为正方向，在小物块上升过程中，由水平方向系统动量守恒得mv0cos θ＝(m＋M)v，选项A错误，B正确；由机械能守恒定律得mgh＋(m＋M)v2＝，选项C、D错误。]
11．如图所示，一个小孩在冰面上进行“滑车”练习，开始小孩站在A车前端与车以共同速度v0＝9 m/s向右做匀速直线运动，在A车正前方有一辆静止的B车，为了避免两车相撞，在A车接近B车时，小孩迅速从A车跳上B车，又立即从B车跳回A车，此时A、B两车恰好不相撞，已知小孩的质量m＝25 kg，A车和B车的质量为mA＝mB＝100 kg，若小孩跳离A车与跳离B车时对地速度的大小相等、方向相反，不计一切摩擦。则下列说法正确的是( )
A．小孩跳离A车和B车时对地速度的大小为5 m/s
B．小孩跳离A车的过程中对A车冲量的大小为250 kg·m/s
C．整个过程中，小孩对B车所做的功为1 050 J
D．小孩跳回A车后，他和A车的共同速度大小为 5 m/s
D [因为A、B恰好不相撞，则最后具有相同的速度。在小孩跳车的过程中，把小孩、A车、B车看成一个系统，该系统所受合外力为零，动量守恒，规定向右为正方向，由动量守恒定律得(m＋mA)v0＝(m＋mA＋mB)v，代入数据解得v＝5 m/s，方向向右，D正确；设小孩跳离A车和B车的速度大小为Δv，则在与B车相互作用的过程中，由动量守恒定律得mΔv＝mBv－mΔv，代入数据解得Δv＝10 m/s，A错误；设小孩跳离A车后，A车的速度为vA，则由动量守恒定律有(m＋mA)v0＝mΔv＋mAvA，解得vA＝8.75 m/s，方向向右，根据动量定理，该过程中小孩对A车的冲量大小等于A车动量的变化量大小，即I＝|Δp|＝mAv0－mAvA＝25 kg·m/s，B错误；整个过程中，小孩对B车做的功等于B车动能的变化量，即W＝mBv2＝1 250 J，C错误。]
12．如图所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3 kg的薄板，板上有质量m＝1 kg的物块，两者均以v0＝4 m/s的初速度朝相反方向运动，薄板与物块之间存在摩擦且薄板足够长，取水平向右为正方向。求：
(1)物块最后的速度；
(2)当物块的速度大小为3 m/s时，薄板的速度。
[解析] (1)由于地面光滑，物块与薄板组成的系统动量守恒，物块最后会和薄板共速，设共同运动速度为v，水平向右为正方向，由动量守恒定律得
Mv0－mv0＝(m＋M)v，
代入数据解得v＝2 m/s，方向水平向右。
(2)由(1)知，物块速度大小为3 m/s时，方向水平向左，设此时薄板的速度为v′，水平向右为正方向，由动量守恒定律得
Mv0－mv0＝－mv1＋Mv′，
代入数据解得v′＝ m/s，方向水平向右。
[答案] (1)2 m/s，方向水平向右 (2) m/s，方向水平向右
13．如图所示，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为θ，BC段水平，AB段和BC段由一小段光滑圆弧连接。一个质量为2 kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1 s后质量为48 kg的滑雪者从顶端以1.5 m/s的初速度、3 m/s2的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起。背包与滑道的动摩擦因数为μ＝，重力加速度g取10 m/s2，sin θ＝，cos θ＝，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化。求：
(1)滑道AB段的长度；
(2)滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
[解析] (1)设背包的质量为m，滑雪者的质量为M。对背包，由牛顿第二定律得
mg sin θ－μmg cos θ＝ma1，
解得背包的加速度a1＝2 m/s2。
设背包由A点运动到B点的时间为t，由匀变速直线运动的规律得
a1t2＝v0(t－1 s)＋a2(t－1 s)2，
解得t＝3 s，
则滑道AB段的长度xAB＝a1t2＝9 m。
(2)背包到达B点的速度
v1＝a1t＝6 m/s，
滑雪者到达B点的速度
v2＝v0＋a2(t－1 s)＝7.5 m/s。
滑雪者拎起背包的过程中，根据动量守恒定律得
mv1＋Mv2＝(M＋m)v，
解得滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度v＝7.44 m/s。
[答案] (1)9 m (2)7.44 m/s
11 / 183．动量守恒定律
[学习目标] 1．了解系统、内力和外力的概念。2．理解动量守恒定律的内容、表达式，掌握动量守恒定律的推导过程。3．掌握系统内动量守恒的条件。4．体会应用动量守恒定律分析实际问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
知识点一 系统、内力、外力
1．系统：____或____以上的物体组成的整体。
2．内力：系统__物体间的相互作用力。
3．外力：系统____的物体对系统的作用力。
如图所示，大人和小孩在冰面上游戏，小孩用力推大人。以大人和小孩组成的系统，涉及重力、推力、摩擦力、支持力作用，这些力哪些是外力？哪些是内力？
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)某个力是内力还是外力是相对的，与系统的选取有关。 ( )
(2)在相互作用的系统内，内力冲量为零，外力冲量不为零。 ( )
知识点二 动量守恒定律
1．内容
如果一个系统不受____，或者所受____的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。
2．表达式
对两个物体组成的系统，常写成：p1＋p2＝_____________或m1v1＋m2v2＝_______________。
3．适用条件
系统不受____或者所受____的矢量和为零。
4．动量守恒定律的普适性：既适用于一维情况，也适用于____情况；既适用于宏观系统，也适用于____系统。
如图所示，在风平浪静的水面上，停着一艘帆船，船尾固定一台电风扇，正在不停地把风吹向帆面，船能向前行驶吗？为什么？
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)只要合外力对系统做功为零，系统动量就守恒。 ( )
(2)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零。 ( )
(3)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒。 ( )
(4)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。 ( )
3．填空
如图所示，游乐场上，两位同学各驾驶一辆碰碰车迎面相撞，此后，两车以共同的速度运动。设甲同学和他的车的总质量为120 kg，碰撞前水平向右运动，速度的大小为5 m/s；乙同学和他的车的总质量为180 kg，碰撞前水平向左运动，速度的大小为4 m/s。则碰撞后两车共同的运动速度大小为________，方向________。
碰碰车的碰撞示意图
1666年在英国皇家学会的例会上有人表演了如下实验：用两根细绳竖直悬挂两个质量相等的钢球A和B，静止时两球恰好互相接触靠在一起，使A球偏开一角度后放下，撞击B球，B球将上升到A球原来的高度，而A球则静止，然后B球落下又撞击A球，B球静止，A球又几乎升到原来的高度，以后两球交替往复多次。你知道其中的规律吗？
考点1 对动量守恒定律及守恒条件的理解
1．对动量守恒定律的理解
(1)研究对象：两个或两个以上相互作用的物体组成的系统。
(2)对系统“总动量保持不变”的理解。
①系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。
②系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化。
③系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。
2．动量守恒定律的“五性”
五性 具体内容
系统性 研究对象是相互作用的两个(或多个)物体组成的系统
相对性 应用时，系统中各物体在相互作用前后的动量，必须相对于同一惯性系，通常以大地为参考系
瞬时性 公式中，p1、p2…必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p1′、p2′…必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量，不同时刻的动量不能相加
矢量性 对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反的为负值
普适性 动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，而且适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统
3．动量守恒条件
(1)理想条件：系统不受外力时，动量守恒。
(2)实际条件：系统所受外力的矢量和为零时，动量守恒。
(3)近似条件：系统受外力，但外力远小于内力，则系统总动量近似守恒。
(4)推广条件：系统受力不符合以上三条中的任一条，则系统的总动量不守恒，但是，若系统在某一方向上符合以上三条中的某一条，则系统在该方向上动量守恒。
【典例1】 如图所示，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板有摩擦。用力向右推动车厢，使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
[听课记录]
系统动量是否守恒的判定方法
(1)选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
(2)分析系统受到的外力矢量和是否为零，若外力矢量和为零，则系统动量守恒。
(3)若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化。
(4)多个物体情况下，选取不同的物体组成系统，会得出不同的结论。
[跟进训练]
1．如图所示，光滑水平面上静止着一辆质量为M的小车，小车上有一光滑的、半径为R的圆弧轨道。现有一质量为m的光滑小球从轨道的上端由静止开始释放，下列说法不正确的是( )
A．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒
B．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统总动量不守恒
C．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统在水平方向上动量守恒
D．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统机械能守恒
考点2 动量守恒定律的应用
1．动量守恒常见的表达式
(1)p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零。
2．应用动量守恒定律的解题步骤
【典例2】 [链接教材P14例题1]如图所示，甲车质量m1＝20 kg，车上有质量M＝50 kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围内才能避免两车相撞？(不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长，g取10 m/s2)
甲 乙
思路点拨：(1)人、甲车、乙车组成的系统水平动量守恒。
(2)人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞。
[听课记录]
[母题变式]
在[典例2]中，当人跳出甲车的水平速度(相对地面)为多少时才能使甲车静止？此时乙车的速度是多少？
处理动量守恒问题的步骤
(1)分析题目涉及的物理过程，选择合适的系统、过程，这是正确解决此类题目的关键。
(2)判断所选定的系统、过程是否满足动量守恒的条件。
(3)确定物理过程及其系统内物体对应的初、末状态的动量。
(4)确定正方向，选取恰当的动量守恒的表达式求解。
[跟进训练]
2．如图所示，质量为mB的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一质量为mA的物体A，一颗质量为m0的子弹以初速度v0水平射入物体A，射穿A后速度变为v，子弹穿过物体A的时间极短。已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止。求：
(1)子弹射穿物体A的瞬间物体A的速度vA；
(2)平板车B和物体A的最终速度v共(设车身足够长)。
1．关于动量守恒的条件，下面说法不正确的是( )
A．只要系统内有摩擦力，动量就不可能守恒
B．只要系统所受合外力为零，系统动量就守恒
C．系统加速度为零，系统动量一定守恒
D．虽然系统所受合外力不为零，但系统在某一方向上动量可能守恒
2．一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，木块A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹射入木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法正确的是( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
3．质量为2 kg的小车以2.0 m/s的速度沿光滑的水平面向右运动。若将质量为0.5 kg的沙袋以3.0 m/s 的水平速度迎面扔上小车，则沙袋与小车一起运动的速度大小和方向是( )
A．1.0 m/s 向右 B．1.0 m/s 向左
C．2.2 m/s 向右 D．2.2 m/s 向左
4．(新情境题，以交通安全为背景，考查动量守恒的应用)冬季雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车尾随另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞，如图甲、乙所示)。若追尾前瞬间货车速度大小为36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，刚追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
甲 乙
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的研究对象是什么？
2．合外力对系统做功为零，系统动量就守恒吗？
3．一个系统初、末动量大小相等，动量就守恒吗？
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